論反例在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用
——以貴州大學(xué)附屬中學(xué)為例

黃新旭

（貴州大學(xué)明德學(xué)院 貴州貴陽(yáng) 550000）

1 引言

在現(xiàn)實(shí)的學(xué)習(xí)及實(shí)踐中，我們有如此的經(jīng)歷：當(dāng)對(duì)某問(wèn)題苦思而無(wú)果時(shí)，從反面切入，常能茅塞頓開(kāi)，獲得驚喜性的成功。又或，要否定一個(gè)命題，只要舉出一個(gè)滿足命題條件，而不滿足命題結(jié)論的例子就行了。這在數(shù)學(xué)中稱為舉反例。G·波利亞說(shuō)：“類(lèi)比和反例是獲得發(fā)明的偉大源泉?！痹趯W(xué)習(xí)日常中，我們會(huì)總結(jié)出一系列的結(jié)論，而當(dāng)結(jié)論是錯(cuò)誤的，那么舉出反例就可以推翻。

同樣，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，某些數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)生僅從正面去思考會(huì)很模糊，然構(gòu)建適當(dāng)?shù)姆蠢Ｄ苁盏匠龊跻饬系奶鸸瑢W(xué)生既深刻地理解了知識(shí)，又培養(yǎng)優(yōu)良的數(shù)學(xué)品質(zhì)。故，僅靠正面示范，沒(méi)有反例的參照，無(wú)法凸顯知識(shí)的本真，對(duì)知識(shí)的理解就會(huì)失真。

2 反例的概念

數(shù)學(xué)中的反例，是指符合命題的條件，而又不符合該命題結(jié)論的例子。簡(jiǎn)稱，反例就是一個(gè)指出某命題不成立的例子。從廣義上來(lái)講，所有的例子都可稱為反例，因?yàn)樗偪梢酝瞥瞿趁}不成立。反例教學(xué)是指在概念、定理等教學(xué)過(guò)程中，教師有針對(duì)地構(gòu)建看起來(lái)正確而實(shí)質(zhì)完全錯(cuò)誤的解答，進(jìn)一步巧妙地引領(lǐng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、頓悟、歸納出錯(cuò)誤，最終得出正確結(jié)論的教學(xué)方法。

精準(zhǔn)說(shuō)來(lái)，反例教學(xué)法中的反例是指教師在教學(xué)實(shí)踐中，收集的典型例題的典型誤解、重要知識(shí)點(diǎn)的典型錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)。然而，如果反例龐雜，則學(xué)生反而會(huì)被引入歧途，倘若是教師信手拈來(lái)的反例，那么其意義就很微小，因此，反例必須具體有典型性、精準(zhǔn)性、簡(jiǎn)煉性。

3 運(yùn)用反例的調(diào)研

貴州大學(xué)附屬中學(xué)始建于1947年，目前是一所全日制封閉精細(xì)管理的貴州省屬中學(xué)，含有初高中數(shù)學(xué)教師24名。通過(guò)對(duì)這24名教師進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查得出以下結(jié)論：

表1

表2

表3

表4

4 目前數(shù)學(xué)反例使用存在的主要問(wèn)題

①新課標(biāo)對(duì)反例沒(méi)有具體要求，關(guān)于反例的考題基本沒(méi)有；②教師認(rèn)為反例的作用微乎其微缺乏運(yùn)用反例的意識(shí)；③教師對(duì)反例的了解甚少，無(wú)法有效的把反例運(yùn)用于教學(xué)中；④教師構(gòu)造反例的能力低，不能系統(tǒng)地教給學(xué)生構(gòu)造反例的方法；⑤關(guān)于反例的資料缺乏，獲取反例的渠道單一，主要從教材及教材參考書(shū)和自己的經(jīng)驗(yàn)獲??；⑥大部分的教師都是在平時(shí)教學(xué)過(guò)程中少量的穿插使用反例。

5 反例在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用

5.1 反例可以加深學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念及原理的理解

教學(xué)中，概念、定理、公式一般采用正面闡述的形式，學(xué)生往往對(duì)一些關(guān)鍵性詞句、條件理解不透徹，看不到本質(zhì)，只是機(jī)械地強(qiáng)記。如果遇到名稱相似或結(jié)構(gòu)相類(lèi)似的知識(shí)點(diǎn)，就會(huì)混淆得一塌糊涂。

例1：不少學(xué)生片面地認(rèn)為函數(shù)就是：一個(gè)變量隨著另一個(gè)變量的變化而變化，它們就是函數(shù)關(guān)系，可提出這兩個(gè)例子：

（1）人的體重與年齡成函數(shù)關(guān)系嗎？

（2）若 y=cotx·tanx，則 y是 x的函數(shù)嗎？

解析：①學(xué)生認(rèn)為體重隨年齡的增加而增加，因而構(gòu)成函數(shù)關(guān)系。實(shí)際上，年齡無(wú)法確定體重，即當(dāng)年齡發(fā)生變化時(shí)，體重沒(méi)有確定的值和它對(duì)應(yīng)，故不符合函數(shù)的定義。②學(xué)生認(rèn)為y=cotx·tanx=1，故y不是x的函數(shù)。實(shí)際上對(duì)每一個(gè)定義域內(nèi)的x值，y總有唯一確定的值（y=1）和它對(duì)應(yīng)，只不過(guò)y的值始終不變罷了，因此是函數(shù)。

5.2 反例是一種糾正錯(cuò)誤的常用辦法

反例之所以被稱為反例，是因?yàn)榧m錯(cuò)是它最凸顯的也是最根本的作用。講授習(xí)題上，舉反例是反駁與糾正錯(cuò)誤的有效方法，是學(xué)生加強(qiáng)學(xué)習(xí)的有力武器。面對(duì)學(xué)生解題中所出現(xiàn)的共性錯(cuò)解，教師可以示以反例，曲中窺直，用反例說(shuō)明解法有誤，從而引導(dǎo)學(xué)生去找到錯(cuò)誤的根源，最終讓師生共同品嘗成功的“蛋糕”。

例2：若a=A，b=B，則a+b=A+B，反之是否成立？

解析：反之不成立。顯然直接說(shuō)明不好入手，借助反例：若a=6，b=4，則 a+b=10，若 A=2，B=8，則 A+B=10，但是 a≠A，b≠B。

5.3 借助反例可以引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題

課本中的例題所提供的解題思路清楚明確，學(xué)生只需機(jī)械記憶與模仿，長(zhǎng)此以往會(huì)使學(xué)生缺乏勇于探索、質(zhì)疑的能力。為了補(bǔ)缺，在例題講授中教師設(shè)置適當(dāng)反例，故意制造陷阱，讓學(xué)生透過(guò)現(xiàn)象，看到問(wèn)題的本質(zhì)，養(yǎng)成善于發(fā)現(xiàn)的品質(zhì)。例如在講授分式方程的解法時(shí)，書(shū)本都是給出解方程的規(guī)范步驟，而照本宣科的教學(xué)不易發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，同時(shí)學(xué)生也懶得去探索、發(fā)現(xiàn)。巧用反例，可以使學(xué)生發(fā)現(xiàn)漏洞，自主發(fā)現(xiàn)，獲得正確的結(jié)論。

解：方程兩邊同乘以x-1，得：

-3+4（x-1）=1，

解之得x=2，

經(jīng)檢驗(yàn)知x=2是原方程的解。

面對(duì)這樣的反例，學(xué)生的興趣就提上來(lái)了，一眼就能發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的原因是去分母時(shí)方程右邊漏乘了（x-1）。通過(guò)這個(gè)反例，加深了學(xué)生去分母不要漏乘的印象。

5.4 反例可以培養(yǎng)學(xué)生思維的多重維度

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的任務(wù)就是要培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，從而正確地解答數(shù)學(xué)問(wèn)題，并能優(yōu)化其他問(wèn)題的解決。新課標(biāo)明確指出：“發(fā)展思維能力是培養(yǎng)能力的核心?！彼季S的縝密性、靈活性、發(fā)散性、深刻性、創(chuàng)新性都是思維重要的品質(zhì)。根據(jù)中學(xué)生的心理特點(diǎn)和學(xué)科自身的特點(diǎn)，運(yùn)用反例培養(yǎng)這些思維品質(zhì)是一個(gè)行之有效的方法。設(shè)置巧妙的反例，能讓學(xué)生學(xué)會(huì)多維度考慮問(wèn)題，靈活思維。然而，構(gòu)造反例的方法并不是唯一的，需要學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)有透徹的理解，充分挖掘數(shù)學(xué)功底，展開(kāi)想象，故構(gòu)造反例的過(guò)程也是學(xué)生發(fā)散思維和創(chuàng)新思維的訓(xùn)練過(guò)程。

例4：帶根號(hào)的數(shù)都是無(wú)理數(shù)。

5.5 反例可以極速解題的速度

反例的學(xué)習(xí)和運(yùn)用可以提高我們的數(shù)學(xué)能力，優(yōu)化解題過(guò)程，并在日積月累中提高解題速度。反例教學(xué)實(shí)際上是教師為了清晰學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識(shí)過(guò)程中的模糊印象，亂套公式等毛病所挖的坑。通過(guò)正反對(duì)比，構(gòu)造極端的反差，使學(xué)生對(duì)錯(cuò)誤留下極為深刻印象，從而，降低再犯類(lèi)似的錯(cuò)誤的幾率，最終使學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)得到進(jìn)一步鞏固升華。

例5：在學(xué)習(xí)反比例時(shí)可舉出反例：倩倩總共要背18首詩(shī)，問(wèn)已經(jīng)背的和沒(méi)背的數(shù)是否成反比例？

解析：“對(duì)的”，顯然這些學(xué)生沒(méi)有充分掌握成反比例的條件：兩個(gè)量的乘積為定植。這個(gè)題是兩個(gè)量的和一定，學(xué)生頓時(shí)豁然開(kāi)朗。

5.6 反例是鑒別假命題簡(jiǎn)易的方法

反例是否定一個(gè)命題的絕佳手段。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生通過(guò)類(lèi)比或歸納等方法得到一些看似正確實(shí)則錯(cuò)誤的結(jié)論，要否定它，反例是一種行之有效的利器。判斷一句話（或一個(gè)結(jié)論）的真?zhèn)?，首?dāng)其充的方法就是構(gòu)造反例。這是由反例本身的特性決定的，在澄清是非，揭示黑白，否定命題時(shí)它具有直觀、簡(jiǎn)明、說(shuō)服力強(qiáng)等特點(diǎn)。

例6：負(fù)數(shù)就是在一個(gè)數(shù)的前面加一個(gè)負(fù)號(hào)。

解析：許多理解不清的學(xué)生認(rèn)為是對(duì)的，只要亮出反例，如果是負(fù)數(shù)，在它的前面加一個(gè)負(fù)號(hào)就變成了一個(gè)正數(shù)了。再如果是0，在0的前面加個(gè)負(fù)號(hào)還是0。

5.7 教學(xué)相長(zhǎng)的助推

教學(xué)包含教師的教與學(xué)生的學(xué)兩部分。教學(xué)離不開(kāi)教師和學(xué)生這兩個(gè)相對(duì)主體，在教學(xué)中，教師不僅是講授者和組織者，也是參與討論的一位，學(xué)生的思維“動(dòng)”起來(lái)后，他們?cè)谘芯繂?wèn)題的廣度和深度上可能會(huì)超越教師，使教師和學(xué)生之間能相互學(xué)習(xí)。反例在教學(xué)中雖處于次要地位或輔助教學(xué)地位，但它是培養(yǎng)學(xué)生主動(dòng)性和能力的一種途徑，它有利于教師更有效地教授知識(shí)，也有利于學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)各類(lèi)知識(shí)，達(dá)到雙贏的局面。

例7：兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和是否一定是無(wú)理數(shù)？

6 結(jié)束語(yǔ)

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，適時(shí)地引入一些反例或啟發(fā)學(xué)生構(gòu)建反例，往往能使學(xué)生在認(rèn)識(shí)上產(chǎn)生質(zhì)的飛躍，有助于他們掌握并能靈活運(yùn)用。教師根據(jù)學(xué)習(xí)過(guò)程中學(xué)生容易出錯(cuò)的地方，開(kāi)展反例教學(xué)，講解精選的反例，往往能引起學(xué)生內(nèi)心的共鳴，增加學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情，使認(rèn)識(shí)與體驗(yàn)相融合，打破對(duì)數(shù)學(xué)的慣性思維：“枯燥、繁瑣、難如登天”，激勵(lì)其上進(jìn)的欲望，并形成學(xué)好數(shù)學(xué)的堅(jiān)定信念，癡于與數(shù)學(xué)談一場(chǎng)永不分手的戀愛(ài)。