各向異性球顆粒的古斯-漢森位移

陳久愷，朱雯琦，高東梁，高 雷

（蘇州大學(xué) 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，江蘇 蘇州 215006）

在幾何光學(xué)中，當(dāng)一束光從光密介質(zhì)n1入射到光疏介質(zhì)n2，且入射角大于全反射臨界角θc=n2/n1時(shí)，反射光線在兩種介質(zhì)的界面會(huì)發(fā)生全反射現(xiàn)象，即入射光全部反射到光密介質(zhì)中。人們通常認(rèn)為反射光線和入射光線在界面上是同一點(diǎn)，只是反射光產(chǎn)生了相移。然而實(shí)際上發(fā)生全反射時(shí)光與界面相互作用，會(huì)使反射光相對(duì)幾何光學(xué)中的反射光有一段位移，這個(gè)位移就是古斯-漢森（GH）位移[1]。古斯-漢森（GH）效應(yīng)[2-3]自發(fā)現(xiàn)以來(lái)就引起了人們廣泛的興趣。到目前為止，人們已經(jīng)研究了各種特殊材料和結(jié)構(gòu)中的GH位移，這些特殊材料和結(jié)構(gòu)包括左手材料[4-5]、光學(xué)薄膜[6]、伴有表面等離子激發(fā)的金屬[7]和一些吸收媒質(zhì)[8-9]等。GH位移在集成光學(xué)系統(tǒng)中應(yīng)用極為廣泛，如光波導(dǎo)、近場(chǎng)掃描光學(xué)顯微鏡等結(jié)構(gòu)[10]。古斯-漢森效應(yīng)還延伸到了其他物理領(lǐng)域：如聲學(xué)、量子力學(xué)、非線性光學(xué)等[11-12]。近年來(lái)，各向異性特異材料中的GH位移也引起了人們很大的研究興趣[13-15]，各向異性材料是指材料的物理、化學(xué)等性質(zhì)依賴于方向，在不同的方向上有所變化。各向異性材料可有負(fù)的介電常數(shù)和負(fù)的磁導(dǎo)率，具有一些與正折射材料不同的電磁性質(zhì)。在各向異性特異材料里面，可以在部分方向?qū)崿F(xiàn)負(fù)的介電常數(shù)或負(fù)的磁導(dǎo)率，這比用各向同性特異材料實(shí)現(xiàn)這一性質(zhì)容易得多，而且更有現(xiàn)實(shí)意義。近零材料也屬于特異材料中的一種，它是指材料的介電常數(shù)或磁導(dǎo)率非常小，甚至可以忽略，因此，材料的光學(xué)特性都會(huì)相應(yīng)發(fā)生變化，普通近零材料中的GH位移已經(jīng)有學(xué)者做了深入分析[16]。近年來(lái)，電共振現(xiàn)象被越來(lái)越多學(xué)者研究，因?yàn)槠洚a(chǎn)生的作用效果對(duì)光散射或者GH位移的影響非常顯著，其中討論最多的是電偶極共振[17]。 筆者以各向異性的球顆粒為研究對(duì)象，通過(guò)理論分析和數(shù)值模擬研究了在不同參數(shù)下的GH位移，分析了各向異性參數(shù)對(duì)GH位移的影響。

圖1 研究模型示意圖

1 理論計(jì)算

考慮一個(gè)半徑為a的各向異性球放在介電常數(shù)ε0和磁導(dǎo)率μ0都為1的真空中，其相對(duì)介電常數(shù)和磁導(dǎo)率張量可以寫(xiě)成球坐標(biāo)形式：，其中 εθ=εφ=εt，μθ=μφ=μt。如圖1所示，一束線極化的平面波波矢為k0=，沿著z軸正方向照射過(guò)來(lái)，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假設(shè)入射波的電場(chǎng)振幅為1，方向沿著x軸正方向：其中k0=2π/λ。

可以推廣Lorenz-Mie散射理論，運(yùn)用德拜勢(shì)來(lái)嚴(yán)格求解各向異性球顆粒的電磁波散射。從麥克斯韋方程組出發(fā)，把球的散射波看成是橫磁波（TM，特征是徑向磁場(chǎng)值Hr=0，來(lái)自電振動(dòng)的貢獻(xiàn)）和橫電波（TE，特征是徑向電場(chǎng)值Er=0，來(lái)自磁振動(dòng)的貢獻(xiàn)）的疊加，因而矢量麥克斯韋方程組可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于德拜勢(shì)的標(biāo)量方程組

通過(guò)一些數(shù)學(xué)處理過(guò)程，可以得到各向異性球顆粒的第n階TM和TE模式的散射系數(shù)an和bn

這里 Jn+1/2（x）和分別代表第（n+1/2）階貝塞爾函數(shù)和第（n+1/2）階第一類漢克爾函數(shù)。Ae和 Am則表示各向異性電參數(shù)和各向異性磁參數(shù)，若為各向同性，那么Ae=Am=1，表達(dá)式（3）和（4）化簡(jiǎn)之后與經(jīng)典Mie理論完全吻合。

最后，GH位移可以通過(guò)以下表達(dá)式計(jì)算[18]

其中 πn，τn是關(guān)于 θ的表達(dá)式，其中Pn1代表勒讓德函數(shù)（Legendre function）。

2 數(shù)值模擬

因?yàn)殡姽舱駥?duì)材料的光學(xué)特性一般都有所加強(qiáng)，近零材料由于其特殊的介電常數(shù)/磁導(dǎo)率可能會(huì)使得GH位移與某些參數(shù)無(wú)關(guān)，所以筆者選取電共振和近零材料兩種情況研究了各向異性參數(shù)對(duì)GH位移的影響，入射波的波長(zhǎng)都取632.8 nm。當(dāng)εt=-ν11-1時(shí)，散射系數(shù)第一項(xiàng)的分母為0，即產(chǎn)生電偶極共振，不同半徑的各向異性球發(fā)生電共振時(shí)GH位移與θ的關(guān)系如圖2所示。當(dāng)半徑較小時(shí)，電共振對(duì)GH位移影響很大，主要是由于此時(shí)顆粒內(nèi)部和表面會(huì)出現(xiàn)場(chǎng)增強(qiáng)，并且遠(yuǎn)場(chǎng)反射也會(huì)發(fā)生改變，通過(guò)調(diào)節(jié)電各向異性參數(shù)，可以改變GH位移的大小，由圖2（a）可知：隨著Ae不斷變大，峰值會(huì)越來(lái)越小，并且峰值位置會(huì)漸漸向右移動(dòng)。但是當(dāng)各向異性顆粒半徑達(dá)到340 nm或者更大時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)電共振對(duì)GH位移的影響微乎其微，并且此時(shí)各向異性參數(shù)對(duì)GH影響也不是非常顯著，如圖2（b）所示。

圖2 μr=μt=1，半徑a分別為50 nm（a）和340 nm（b）時(shí)古斯-漢森位移與入射角度的關(guān)系

隨后，筆者研究了近零材料中各向異性參數(shù)對(duì)GH位移的影響。圖3分別表示εr近0和εt近0時(shí)半徑為50 nm的各向異性顆粒的GH位移與θ的關(guān)系。由圖3可知，近零材料中的GH位移比非近零材料大得多。圖3（a）表示的是εr=0.001時(shí)，改變?chǔ)舤對(duì)GH位移的影響?？梢悦黠@看出當(dāng)εr近0時(shí)，隨著εt變大，即Ae變大，GH位移的峰值會(huì)越來(lái)越小，并且峰值位置也相應(yīng)向左偏移。但當(dāng)εt=0.001時(shí)，εr對(duì)GH位移的沒(méi)有影響，如圖 3（b）所示，無(wú)論如何改變 εr，GH 位移圖像均不變，主要是因?yàn)楫?dāng) εt近 0時(shí)，Ae=0，散射系數(shù)與 εr的取值無(wú)關(guān)。

圖3 μr=μt=1，εr=0.001（a）、εt=±0.001（b），εr=2 時(shí)古斯-漢森位移與入射角度的關(guān)系

3 結(jié)語(yǔ)

從Lorenz-Mie散射理論出發(fā)，推導(dǎo)出了各向異性球顆粒的散射系數(shù)及其古斯-漢森（GH）位移，通過(guò)數(shù)值模擬研究了GH位移與各向異性參數(shù)的關(guān)系。發(fā)現(xiàn)了電共振對(duì)GH位移有增強(qiáng)效應(yīng)以及近零材料 （εr近零）中各向異性參數(shù)與GH位移的關(guān)系。這一系列結(jié)論，對(duì)光開(kāi)關(guān)的研發(fā)以及光學(xué)檢測(cè)方面的應(yīng)用具有指導(dǎo)意義。