問題引領(lǐng)探究 活動(dòng)積累經(jīng)驗(yàn)
——基于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)積累的教學(xué)設(shè)計(jì)

江蘇省太倉市第一中學(xué) 范瑜峰

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》就課程目標(biāo)明確提出了“四基”要求，把“基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”確定為教學(xué)目標(biāo)。數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是學(xué)習(xí)者在參與數(shù)學(xué)活動(dòng)的過程中所形成的感性知識(shí)、情境體驗(yàn)和應(yīng)用意識(shí)?；凇皢栴}取向”的教學(xué)設(shè)計(jì)是指對(duì)數(shù)學(xué)的好奇和求知欲、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中獲得的成功體驗(yàn)和解題策略。筆者嘗試通過設(shè)計(jì)問題啟迪學(xué)生探究、感悟，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。在問題求解中獲得解決數(shù)學(xué)方法，通過經(jīng)驗(yàn)的積累上升到抽象，從而達(dá)到思維的可持續(xù)發(fā)展，敬請同行指正。

一、創(chuàng)設(shè)學(xué)習(xí)平臺(tái)，提升學(xué)習(xí)能力

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的取得，應(yīng)該是一個(gè)自我經(jīng)歷、自主探究的過程。教學(xué)設(shè)計(jì)必須注重學(xué)生主觀能動(dòng)性的發(fā)揮，立足“從生活中來、到生活中去”，通過創(chuàng)設(shè)多樣化的探究情境，引導(dǎo)學(xué)生將學(xué)習(xí)興趣主動(dòng)融入生活實(shí)踐中去。通過教師的啟發(fā)引導(dǎo)，讓學(xué)生在課前開展充分的、開放性的自主探究，從而喚起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使求知成為一種獲取數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的直接內(nèi)動(dòng)力。

【案例1】蘇科版《數(shù)學(xué)》“多邊形內(nèi)角和”。

教學(xué)策略：創(chuàng)設(shè)探究情境，由生活體驗(yàn)導(dǎo)入新知。

(多媒體演示)小明沿廣場小路，從A處開始按逆時(shí)針方向沿圖1中的路線走一圈，返回到A處。

問題1：該小路圍成了什么圖形？圖中五個(gè)內(nèi)角的和是多少度？

問題2：小明由一條路轉(zhuǎn)入另一條路，身體轉(zhuǎn)過一個(gè)角度走完一圈，求身體轉(zhuǎn)過的角度和，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠5。

問題3：如何理解“轉(zhuǎn)過”的幾何意義？請用幾何語言敘述。

問題4：探究該圖形內(nèi)角和、外角和的求解方法？你發(fā)現(xiàn)了什么？

教學(xué)啟示：基于實(shí)踐的思考，小明五個(gè)華麗的“轉(zhuǎn)身”幫助學(xué)生形成結(jié)構(gòu)性、完整性的思維。本案例設(shè)計(jì)的問題引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與觀察、分析、思考、歸納出五邊形內(nèi)角和、外角和的求解方法，由五邊形的探索方法類比探究六邊形、n邊形邊數(shù)與內(nèi)角和、外角和的數(shù)量關(guān)系，幫助學(xué)生理解幾何圖形的基本特征，把握知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)。

二、深度挖掘，注重知識(shí)生成過程

圖1

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的取得必須依靠深入思考的探究活動(dòng)，但經(jīng)驗(yàn)的探究不僅僅通過參與活動(dòng)和簡單思考就可以實(shí)現(xiàn)的而更著重依賴于情景的實(shí)踐與認(rèn)知，依賴于對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)和體驗(yàn)。

由疑惑展開探究，學(xué)生在自主探究的基礎(chǔ)上展開觀察、猜想、驗(yàn)證、推理、歸納等一系列數(shù)學(xué)體驗(yàn)。教學(xué)設(shè)計(jì)貼近學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，由形象化、直觀化回歸到更有深度、更理性的探究上來，提升學(xué)生的思維水平，讓不同層次的學(xué)生都得到不同的發(fā)展。

【案例2】蘇科版“垂直于弦的直徑”。

教學(xué)策略：教學(xué)設(shè)計(jì)靠近學(xué)生直觀感受，由直覺猜想到邏輯證明，引領(lǐng)學(xué)生數(shù)學(xué)思考漸入佳境。

問題1：如圖2，如何證明點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于直線MN對(duì)稱？

問題2：⊙O是軸對(duì)稱圖形嗎？為什么？如果是，它的對(duì)稱軸是什么？

圖2

圖3

問題3：思考圖3中有哪些位置關(guān)系？可能會(huì)有哪些等量關(guān)系？

問題4：如圖3，連接OA、OB，用數(shù)學(xué)語言表述幾個(gè)條件和結(jié)論，請折疊紙片演示，寫出推理過程。

教學(xué)啟示：由軸對(duì)稱圖形的原有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上建構(gòu)新知，把“等腰三角形是軸對(duì)稱圖形”作為探究的固著點(diǎn)，讓學(xué)生折紙重疊“動(dòng)”起來，在實(shí)驗(yàn)中感悟，明晰幾何原理，教學(xué)設(shè)計(jì)使課堂有趣，幾何推理變抽象為具體，將數(shù)學(xué)思維引向深入。

三、縱深思考，拓展思維水平

有效的教學(xué)設(shè)計(jì)在于根據(jù)學(xué)生的年齡特征、各階段的認(rèn)識(shí)水平和知識(shí)特點(diǎn)，逐步滲透方法訓(xùn)練，把一類問題一眼看“穿”，數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練螺旋上升，將舊知識(shí)提高深化或延伸擴(kuò)展，進(jìn)行思維訓(xùn)練的變通，將學(xué)生的知識(shí)與以往的學(xué)習(xí)能力融會(huì)貫通，真正學(xué)會(huì)高效解決問題，理解數(shù)學(xué)，揭示本質(zhì)。

【案例3】蘇科版“圓周角復(fù)習(xí)”。

教學(xué)策略：內(nèi)外關(guān)聯(lián)，站在圓的結(jié)構(gòu)特征高度，延伸拓展，復(fù)習(xí)圓周角的相關(guān)知識(shí)內(nèi)容。

問題1：如圖4，在 ⊙O中，直徑AB=10，

弦AC=6，CD平分∠ACB交 ⊙O于點(diǎn)D。（1）求BC、AD、BD長；（2）求CD的長。

問題2：如圖4，在 ⊙O中，AB為 ⊙O的直徑，弦AC=6，CD平分∠ACB交 ⊙O于點(diǎn)D，求AB、BC、CD的長。

圖4

問題3：如圖4，在 ⊙O中，直徑AB=10，弦AC=6，CD平分∠ACB交 ⊙O于點(diǎn)D，試探求線段AC、BC、CD之間的數(shù)量關(guān)系。

問題4：如圖5，在 ⊙O中，點(diǎn)C為劣弧AB上一點(diǎn)，∠ADB=60°，CD平分∠ACB交 ⊙O于點(diǎn)D。（1）判斷△ADB的形狀；（2）試探求線段AC、BC、CD之間的數(shù)量關(guān)系。

問題5：請類比上述問題，提出新問題。

圖5

教學(xué)啟示：通過條件轉(zhuǎn)換特征，類比結(jié)論，搭建思維坡度，提出問題，再探究，借原題發(fā)揮，把相關(guān)聯(lián)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行有機(jī)整合，以點(diǎn)帶面，形成一個(gè)解題策略的交織網(wǎng)點(diǎn)，融會(huì)貫通知識(shí)體系。實(shí)現(xiàn)“由知識(shí)取向”向“能力取向”的轉(zhuǎn)化。

四、領(lǐng)悟本質(zhì)，探求自然解法

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)需要充分地經(jīng)歷觀察、思考、比較的過程，從數(shù)學(xué)現(xiàn)象中去個(gè)別的、非本質(zhì)的屬性，抽象出共同的本質(zhì)屬性，多層次、多角度地認(rèn)識(shí)問題，掌握通法，這也印證了張景中院士所說的“一種方法解很多題，要好過很多方法解一個(gè)題”的真諦。

【案例4】蘇科版“一次函數(shù)圖像與性質(zhì)的探究”。

教學(xué)重點(diǎn)：理解關(guān)于直線l1：y1=k1x+b1，直線l2：y2=k2x+b2，如果k1=k2，則有直線l1∥l2。

問題1：（1）畫函數(shù)y=-2x，y=-2x+1，y=-2x-3的圖像；（2）畫函數(shù)y=3x，y=3x+4的圖像。

問題2：觀察圖中所畫直線，發(fā)現(xiàn)了什么？得出什么結(jié)論？

問題3：如圖6，直線AB：y=3x+4，直線PO：y=3x，取點(diǎn)過點(diǎn)P作PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，發(fā)現(xiàn)了什么？

問題4：如何通過平移直線AB得到直線PO、CD的位置？

五、成其必然，積累情感經(jīng)驗(yàn)

許多數(shù)學(xué)活動(dòng)都會(huì)要求學(xué)生有多種經(jīng)驗(yàn)參與其中，不僅有操作的經(jīng)驗(yàn)、探究的經(jīng)驗(yàn)，也有思考的經(jīng)驗(yàn)，更需要有應(yīng)用的意識(shí)。富于智慧的教學(xué)設(shè)計(jì)，要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷反思推廣的過程，數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累需要學(xué)生的自我反思，真正喚起學(xué)生的主體意識(shí)。

【案例5】蘇科版“反比例函數(shù)的圖像畫法”。

教學(xué)策略：由本源性的數(shù)學(xué)問題引導(dǎo)學(xué)生理解雙曲線的結(jié)構(gòu)特征，理解“形”與“數(shù)”的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

問題1：回憶：什么樣的函數(shù)是反比例函數(shù)？如何定義？問題2：你學(xué)習(xí)了反比例函數(shù)，還準(zhǔn)備研究它的哪些知識(shí)？

問題3：研究函數(shù)的圖像，你已經(jīng)具備了哪些有效途徑和經(jīng)驗(yàn)？

圖6

問題5：有學(xué)生畫的圖7、圖8，函數(shù)圖像正確嗎？為什么？

問題6：如何說明你的圖像正確？你不畫圖像，能否猜出它的大致形狀？

教學(xué)啟示：此案例的教學(xué)設(shè)計(jì)旨在積累分析圖像特征的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提升學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)圖像的想象和判斷力。問題設(shè)計(jì)中沒有交流互助的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，從宏觀到微觀，從大致到精致，在精確作圖中發(fā)現(xiàn)問題，找出錯(cuò)因，自我糾正，更有

效地增加了學(xué)生的自信心，形成研究函數(shù)圖像的新經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的智慧價(jià)值。

基于問題驅(qū)動(dòng)思考，思考如何發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，形成了什么可以借鑒的經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)知從量變到質(zhì)變的跨越。教學(xué)設(shè)計(jì)嘗試構(gòu)建一個(gè)“自然、和諧、高效”的生態(tài)課堂，以“問題探究”為突破口，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，挖掘?qū)W生的潛能。通過“如何學(xué)”的思考，深入理解數(shù)學(xué)，思考幫助學(xué)生促進(jìn)“積極地學(xué)”，通過問題引導(dǎo)去觸及數(shù)學(xué)的深層結(jié)構(gòu)，更新積累數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)。

圖7

圖8

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是需要學(xué)生親身經(jīng)歷體驗(yàn)學(xué)習(xí)過程的活動(dòng)；通過學(xué)生親身經(jīng)歷，獲得最具本質(zhì)和價(jià)值的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。教育家陶行知做了這樣一個(gè)比喻：我們要有自己的經(jīng)驗(yàn)做“根”，以這經(jīng)驗(yàn)所發(fā)現(xiàn)的知識(shí)做“枝”，然后別人的知識(shí)才能接得上去，別人的知識(shí)方才成為我們知識(shí)有機(jī)體的一個(gè)部分。因此，在教學(xué)中嘗試讓學(xué)生在親歷中體驗(yàn)，在體驗(yàn)中累積，讓經(jīng)驗(yàn)的“根”長得更深。