橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同

徐錢誠

高中三角函數(shù)部分的公式很多，初學時老師反復(fù)要求“理解、記憶、應(yīng)用”：不僅要記住公式，而且要學會正用、逆用、變用，感覺十分痛苦.進入一輪復(fù)習后，經(jīng)歷大量習題的反復(fù)演練，三角公式已不再覺得枯燥和繁雜，我反而感覺“三角問題”相對比較簡單.尤其是同角三角函數(shù)的基本關(guān)系之一“sin2 α+COS2α=1”（往下簡稱“平方關(guān)系”），從不同視角觀察公式的結(jié)構(gòu)，能得到不一樣的理解，進而產(chǎn)生多樣的應(yīng)用，可謂“橫看成嶺側(cè)成峰，遠近高低各不同”.

一、圓上點的“坐標”

三角函數(shù)的定義有“終邊定義法”和“單位網(wǎng)定義法”.按照單位圓定義法，正弦、余弦是單位圓上的任一點的“坐標”，由此我們可以迅速地得出同角三角函數(shù)的基本關(guān)系公式：設(shè)角α的終邊與單位圓交于P點（如圖），則點P的坐標為（COSα，sinα）.義由PO長為1，可得sin2α+COS2α=1.推導(dǎo)過程蘊含著數(shù)形結(jié)合的方法，根據(jù)“平方關(guān)系”可以用三角函數(shù)來表示“網(wǎng)上點的坐標”.

二、正弦、余弦的“等式”

我喜歡這個常常被直接使用的得力助手：“sin2α+COS2α=1”.這個“平方關(guān)系”其實就是關(guān)于正弦（sinα）、余弦（cosα）的一個等式，最基本的運用就是相互表示或相互轉(zhuǎn)化，尤其是某一個為“平方”時，可以簡化為同一個函數(shù).

三、代數(shù)式的“變形”

如果從“平方關(guān)系”的特征看，等式的左邊是“兩個同角三角函數(shù)的平方和”，而等式的右邊是常數(shù)“1”，于是我覺得還可以這樣來理解這種特征：“平方關(guān)系”可以將“代數(shù)式”轉(zhuǎn)化為“常數(shù)”.以這樣的理解視角，平方關(guān)系可以應(yīng)用于“化簡”、“求值”.

四、常數(shù)1的“代換”

如果從逆用“平方關(guān)系”的視角看，等式的右邊是常數(shù)“1”，等式的左邊是“兩個同角三角函數(shù)的平方和”，我們可以將“1”用“sin2α+ cos2α”進行代換.