嘗試：數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的源泉

尤善培

“發(fā)現(xiàn)”，是一個(gè)美妙的詞.

發(fā)現(xiàn)引人注目.在長(zhǎng)篇大論里忽然看到“發(fā)現(xiàn)”二字，讀者的眼睛頓時(shí)會(huì)為之一亮.電視劇的人物對(duì)話中飄過(guò)來(lái)“發(fā)現(xiàn)”二字，電視機(jī)前的觀眾立刻會(huì)安靜下來(lái)，電視機(jī)旁的過(guò)客會(huì)好奇地探過(guò)頭來(lái)，想探尋：發(fā)現(xiàn)了什么呢？

發(fā)現(xiàn)使人鼓舞.一宗迷案發(fā)現(xiàn)了偵破線索，辦案人員頃刻間忘記了疲勞，忘記了饑渴.一道數(shù)學(xué)題發(fā)現(xiàn)了解法，解題者馬上會(huì)變愁容為笑容，樂(lè)滋滋地說(shuō)：眾里尋她千百度，“發(fā)現(xiàn)”原來(lái)在此處.

發(fā)現(xiàn)令人神往.法國(guó)著名數(shù)學(xué)家彭加勒有一天夜晚違反習(xí)慣，喝了黑咖啡，久久不能人眠，各種想法紛至沓來(lái)，結(jié)果第二天早晨發(fā)現(xiàn)了一類(lèi)新的高等超越函數(shù).

在各種各樣的發(fā)現(xiàn)里，最容易接近的是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn).因?yàn)閿?shù)學(xué)就在我們的身旁，就在我們的生活里.那么怎樣走向數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)呢？嘗試：是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的源泉！

一、善于嘗試，發(fā)現(xiàn)解法

下面我們來(lái)欣賞一個(gè)探求數(shù)列通項(xiàng)的實(shí)例.

問(wèn)題請(qǐng)按照規(guī)律填充適當(dāng)?shù)臄?shù).2，4，16，（ ）.

1.如果我是小學(xué)生

嘗試：2與4相差2，4與16相差12，因而猜測(cè)16與后面的一個(gè)數(shù)應(yīng)該相差22，于是他認(rèn)為答案應(yīng)是38.

現(xiàn)在，我們“慢鏡頭”展示這位小學(xué)生嘗試的思維歷程.

盡管小學(xué)生習(xí)慣于最低層次的加減運(yùn)算，卻揭示了一個(gè)二階等差數(shù)列的本質(zhì).進(jìn)一步研究，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是N=5N2-13n+10，當(dāng)然小學(xué)生很難得到這樣的結(jié)果.

2.如果我是初中生

嘗試：由于22 =4，42=16，于是下面一個(gè)數(shù)應(yīng)該是l62=256.

顯然，這位初中生嘗試的思維過(guò)程是這樣的：

第一個(gè)數(shù)是2，第二個(gè)數(shù)是第一個(gè)數(shù)的平方，第三個(gè)數(shù)是第二個(gè)數(shù)的平方，因而有理由推測(cè)，第四個(gè)數(shù)應(yīng)該是第三個(gè)數(shù)的平方，

因?yàn)槌踔猩煜さ氖瞧椒竭\(yùn)算，揭示的規(guī)律是后一個(gè)數(shù)是前一個(gè)數(shù)的平方.

進(jìn)一步思考，這位初中生很可能發(fā)現(xiàn)此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=22n-1.

3.如果我是高中生

嘗試：原來(lái)的數(shù)是2，翻一番是4，然后從4到16是“翻二番”了，所以下一步是16“翻三番”了，即16-32—64—128.

顯然，這里高中生著眼于指數(shù)運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題本質(zhì)是每一個(gè)數(shù)都是形如2n的數(shù)，只要找到指數(shù)的變化規(guī)律，問(wèn)題就解決了.其實(shí)，已知的幾個(gè)數(shù)為21，22，24，其指數(shù)分別為1，2，4；顯然，下一個(gè)指數(shù)應(yīng)該是7（這已經(jīng)是小學(xué)生都會(huì)的了）.于是，下一個(gè)數(shù)應(yīng)該是2 7，即128.“翻番”的實(shí)質(zhì)是指數(shù)函數(shù).至此，這位高中生也能求出這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=2

至此，筆者在這里分別扮演了小學(xué)生、初中生和高中生，從各自的知識(shí)基礎(chǔ)出發(fā)，借助各自的解題經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行嘗試，較為輕松地發(fā)現(xiàn)了第四個(gè)數(shù)，實(shí)際上也就是發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題的規(guī)律，揭示了問(wèn)題的本質(zhì).

這里的思維過(guò)程可以這樣來(lái)描述：從數(shù)學(xué)問(wèn)題情境出發(fā)，進(jìn)行嘗試活動(dòng)，打開(kāi)了發(fā)現(xiàn)的窗戶，踏上了發(fā)現(xiàn)的道路，從根本上來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)解題的歷程，就是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程.

二、繼續(xù)嘗試，看透本質(zhì)

現(xiàn)在，我們?cè)賮?lái)看一道曾是“開(kāi)心辭典”節(jié)目中的“闖關(guān)題”：已知一列數(shù)的前五個(gè)數(shù)是O，4，18，48，100，求第六個(gè)數(shù).

1.“闖關(guān)者”向“小學(xué)生”學(xué)習(xí)

用小學(xué)生的方法也能解這個(gè)問(wèn)題.

2.“本科生”向“中學(xué)生”學(xué)習(xí)

進(jìn)一步思考：本題的答案并不唯一.

有一位數(shù)學(xué)系的本科生，用高等數(shù)學(xué)的方法，人為地造出了一個(gè)統(tǒng)管前面五個(gè)數(shù)的“規(guī)律”.

an=n2（n-1）+（n-1）（n-2） （n-3）（n-4）（n-5）a.

顯然，它由二項(xiàng)構(gòu)成.在n=l，2，3，4，5時(shí)，第二項(xiàng)的值統(tǒng)統(tǒng)都是O，只剩下第一項(xiàng)了.而它的值，在n=l，2，3，4，5時(shí)的值就分別得出 0，4，18，48，100.當(dāng)n=6時(shí)，“規(guī)律”產(chǎn)生的數(shù)是180+120a，式子中出現(xiàn)了參數(shù)以，正是有了這個(gè)a，第六個(gè)數(shù)就“寬松”自由得很，你隨便說(shuō)一個(gè)數(shù)，總是正確的答案，譬如，你說(shuō)第六個(gè)數(shù)是o，只要讓a=-3/2即可，你若說(shuō)第六個(gè)數(shù)是2 010，只要取a=15.25就行了.

3.“研究生”更會(huì)“研究”

說(shuō)得更深刻一些，找規(guī)律的問(wèn)題的實(shí)質(zhì)等同于以下的問(wèn)題：已知在等間距上各端點(diǎn)處的函數(shù)值，試確定這個(gè)函數(shù).顯然本題有無(wú)數(shù)解，這就發(fā)現(xiàn)了本科生解決問(wèn)題的本質(zhì).

4.“教授”更為“睿智”

陜西師范大學(xué)數(shù)科院羅增儒教授則發(fā)現(xiàn)了一個(gè)“以不變應(yīng)萬(wàn)變”的“妙解”.他把這個(gè)數(shù)列看成一個(gè)以5為周期的數(shù)列，且前五項(xiàng)分別為O，4，18，48，100.顯然，第六項(xiàng)應(yīng)該是O，真是“棋高一著”，“妙不可言”.

因此，看透本質(zhì)（由數(shù)列的有限項(xiàng)不能確定其他項(xiàng)），追求實(shí)質(zhì)就是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要路徑.

三、化簡(jiǎn)嘗試，追求實(shí)質(zhì)

面對(duì)紛繁的數(shù)學(xué)問(wèn)題，只要我們化繁為簡(jiǎn)，撩開(kāi)迷人的面紗，看透本質(zhì)，就能“水落石出”，發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的突破口，抓住本質(zhì)，就會(huì)使問(wèn)題迎刃而解.

問(wèn)題 已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn.

（1）若a10 =100，a1oo一10，求a110.

（2）若S10=100，S100=10，求S110.

1.化簡(jiǎn)，看透本質(zhì)

先求解第（1）小題，

思考：要求a110，而已知a10=100，a100=10，根據(jù)等差數(shù)列的定義，只要知道公差d就可以了，這就是問(wèn)題的本質(zhì)，而公差d的實(shí)質(zhì)就是等差數(shù)列所決定的直線的斜率，聯(lián)想到斜率公式，立得

現(xiàn)在來(lái)求解第（2）小題，

思考：要求S110，只要知道a1和d.怎樣求出a1和d，可以通過(guò)S10=100，S100=10，求出1和D，進(jìn)而求出S110=-110.

2.聯(lián)想，追求實(shí)質(zhì)

第（2）小題的結(jié)論：當(dāng)S10=100，S100=10時(shí)，成立SlO+100=-（10 +100），似乎偶然，出于巧合，難道其中沒(méi)有必然性？細(xì)想想，總覺(jué)得意猶未盡！這是一個(gè)有益的念頭，再想想本題的必然本質(zhì)到底是什么？

其實(shí)，對(duì)于等差數(shù)列{an}而言，an的通項(xiàng)公式是n的一次函數(shù)，它的前n項(xiàng)的和Sn是常數(shù)項(xiàng)為O的二次函數(shù)，這就給我們一個(gè)啟發(fā)， 是一次函數(shù)，因而bn= 是一個(gè)等差數(shù)列.至此，我們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)極其漂亮的解法.

因而問(wèn)題就化為在等差數(shù)列{bn}中，求b110，這正好就與第（1）小題類(lèi)似，因而很快求出b110=-1，于是S110=-110.

3.抽象，優(yōu)化素質(zhì)

我們嘗試著將上面的問(wèn)題一般化，擴(kuò)大戰(zhàn)果.

已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的和為Sn

（1）如果an=q，aq =p，求ap+q.

（2）如果Sp=q，Sq=p，求Sp+q.

先解第（1）小題：

由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，點(diǎn)M（p，q），N（q，p）在直線x+y= p+q上，所以當(dāng)x=p+q時(shí)，ap+q=0.

再解第（2）小題.

這里問(wèn)題（1）的輕松解決靠的是發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題中的數(shù)與形的關(guān)系，當(dāng)然也可用前述斜率方法求解；問(wèn)題（2）用的是整體代換的思想方法，當(dāng)然也可仿前用Sn為等差數(shù)列快速求解，

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程實(shí)際上是一個(gè)“嘗試、猜想、發(fā)現(xiàn)”的過(guò)程.在數(shù)學(xué)解題的過(guò)程中，我們要向發(fā)現(xiàn)要潛力，向發(fā)現(xiàn)要時(shí)間；我們要積極探索和嘗試，從而揭示本質(zhì)，優(yōu)化素質(zhì).