地震荷載作用下確定土的阻尼比的頻域分析法

馬倩倩， 劉保健， 吳明玉，3， 韓 玨

(1.南陽(yáng)理工學(xué)院， 河南 南陽(yáng) 473000； 2.長(zhǎng)安大學(xué) 公路學(xué)院， 陜西 西安 710064；3.西北農(nóng)林科技大學(xué)， 陜西 楊凌 712100； 4.商洛學(xué)院， 陜西 商洛 726000)

1 研究背景

土的阻尼比是土的一個(gè)重要?jiǎng)恿μ匦詤?shù)[1]，它的確定一直是土動(dòng)力學(xué)研究中的重要問(wèn)題?，F(xiàn)行土的動(dòng)阻尼比室內(nèi)試驗(yàn)確定方法，僅適用于周期荷載作用下土的阻尼比的確定，并且這些確定土阻尼比的方法都依據(jù)單自由度和阻、彈系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)理論，將所有阻尼力產(chǎn)生的能量損耗都等效為土黏彈性的能量損耗；因而采用傳統(tǒng)的方法不能合理地計(jì)算隨機(jī)地震荷載作用下土的阻尼比，更不能分析地震荷載作用下的不同頻率對(duì)阻尼比的影響。地震荷載是比較常見(jiàn)的隨機(jī)荷載，在實(shí)際工程中相關(guān)場(chǎng)地的抗震設(shè)計(jì)要求的阻尼參數(shù)都是依據(jù)現(xiàn)有的參考值來(lái)確定的，與實(shí)際地震荷載作用下土的阻尼比是不相符的。為了合理確定地震荷載作用下土的阻尼比，為工程提供合理的動(dòng)力特性參數(shù)，有必要對(duì)隨機(jī)荷載作用下土的阻尼比的確定方法進(jìn)行研究。

許多研究采用等效線性模型法計(jì)算土的阻尼比，通過(guò)試驗(yàn)分析動(dòng)應(yīng)變、循環(huán)次數(shù)、孔隙比等因素對(duì)不同類型的土的動(dòng)阻尼比的影響[2-11]；李晶晶等[12]、黃志全等[13]和張雨廷等[14]采用對(duì)數(shù)衰減率法計(jì)算了共振柱試驗(yàn)中土的阻尼比；應(yīng)懷樵等[15]采用半功率帶寬法與INV阻尼計(jì)法求材料的阻尼比；劉保健等[16]提出了不考慮土性、固結(jié)類型、動(dòng)載類型、頻率等因素影響的互相關(guān)函數(shù)法，計(jì)算土的阻尼比。

常規(guī)的土阻尼比的計(jì)算方法沒(méi)有考慮參數(shù)頻率的影響，但在隨機(jī)荷載作用下土的阻尼比是與頻率相關(guān)的，而此方面的研究較少，因此有必要在此方面展開(kāi)研究。本文將隨機(jī)過(guò)程理論引入土動(dòng)力學(xué)特性測(cè)試與分析中，將動(dòng)應(yīng)力時(shí)程、動(dòng)應(yīng)變時(shí)程和動(dòng)孔壓時(shí)程均視為隨機(jī)過(guò)程，在此基礎(chǔ)上提出一種基于傅里葉變換的頻域分析法，并通過(guò)試驗(yàn)及數(shù)值分析手段驗(yàn)證了利用該方法確定土的阻尼比的可行性。

2 土阻尼比確定的頻域分析法

頻域分析的傅里葉變換是將一般的時(shí)域函數(shù)x(t)轉(zhuǎn)化成頻域函數(shù)x(f)來(lái)進(jìn)行研究的，其基本關(guān)系為：

(1)

(2)

其中x(f)為復(fù)變量，可以寫(xiě)成：

x(f)=|x(f)|ejφ(f)

(3)

式中： |x(f)|為x(f)的模;φ(f)為x(f)的相角;x(f)為信號(hào)x(t)的頻譜。

隨機(jī)過(guò)程理論將動(dòng)載試驗(yàn)所得的動(dòng)應(yīng)力時(shí)程、動(dòng)應(yīng)變時(shí)程和動(dòng)孔壓時(shí)程均視為隨機(jī)過(guò)程。試驗(yàn)測(cè)試和分析出的動(dòng)應(yīng)力功率譜用Gxx(f)來(lái)表示，動(dòng)應(yīng)變功率譜用Gyy(f)來(lái)表示，其互功率譜用Gxy(f)表示。用互功率譜定義的傳遞函數(shù)表示為：

H(f)=Gxy(f)/Gxx(f)

=|H(f)|e-jφ(f)=A(f)-jB(f)

(4)

(5)

(6)

式中： |H(f)|為傳遞函數(shù)H(f)的模；φ(f)為其相位角。

公式(6)表明，輸出動(dòng)應(yīng)變和輸入動(dòng)應(yīng)力的相位角φ(f)在物理意義上即為動(dòng)應(yīng)變滯后動(dòng)應(yīng)力的相角，反映了土的阻尼特性。

使用頻域分析法進(jìn)行地震荷載下土的阻尼比求解的具體流程為：

(1)采用Matlab編程對(duì)原始時(shí)間信號(hào)(輸入信號(hào)x(t)、輸出信號(hào)y(t))進(jìn)行自相關(guān)函數(shù)Rx(τ)、Ry(τ)和互相關(guān)函數(shù)Rxy(τ)求解；

(2)對(duì)自相關(guān)函數(shù)、互相關(guān)函數(shù)進(jìn)行如公式(1)傅里葉變換求得自功率譜Gxx(f)、Gyy(f)，對(duì)互相關(guān)函數(shù)進(jìn)行快速傅里葉變換求得互功率譜Gxy(f)；

(3)由公式(4)表示出傳遞函數(shù)H(f)，然后進(jìn)一步利用公式(6)求出輸出動(dòng)應(yīng)變和輸入動(dòng)應(yīng)力的相位差φ(f)；

3 試驗(yàn)概況

3.1 試樣制備

試驗(yàn)所用土樣為取自某地鐵現(xiàn)場(chǎng)的砂性土。土樣的基本物理特性指標(biāo)參數(shù)見(jiàn)表1。試樣尺寸為100 mm(高)×50 mm(直徑)，見(jiàn)圖1。重塑土樣的制備方法為水中落砂法。

圖1 重塑砂樣

3.2 試驗(yàn)過(guò)程

采用長(zhǎng)安大學(xué)GDS空心圓柱扭剪試驗(yàn)系統(tǒng)的動(dòng)三軸模塊進(jìn)行試驗(yàn)。

地震荷載作用下砂土的動(dòng)三軸試驗(yàn)分為固結(jié)、動(dòng)載兩個(gè)階段。固結(jié)階段的固結(jié)應(yīng)力比K(K=σ1/σ3)分別為1、1.5、2，固結(jié)圍壓分別為100、200、300 kPa，固結(jié)過(guò)程中當(dāng)孔壓消散為0且保持不變時(shí)固結(jié)完成；動(dòng)載階段的振動(dòng)波形為埃而森特羅波(EL Centro)南北方向的地震波，歷時(shí)為40 s，其中σd max分別為20、40、60、80、120 kPa。試驗(yàn)操作和數(shù)據(jù)整理均依據(jù)《土工試驗(yàn)規(guī)程》(SL237-1999)的步驟進(jìn)行。

4 試驗(yàn)結(jié)果與分析

通過(guò)試驗(yàn)所得的EL Centro地震波的動(dòng)應(yīng)力時(shí)程曲線和動(dòng)應(yīng)變時(shí)程曲線分別如圖2、3所示。

由圖2、3可以看出動(dòng)應(yīng)力達(dá)到試驗(yàn)的設(shè)定值，動(dòng)應(yīng)變的發(fā)展趨勢(shì)與動(dòng)應(yīng)力的基本相同；在荷載加載到20 s時(shí)動(dòng)應(yīng)變開(kāi)始向負(fù)方向發(fā)展，這是與地震波的類型、動(dòng)應(yīng)力的幅值、固結(jié)圍壓等因素相關(guān)的。因?yàn)樵诰鶋汗探Y(jié)的情況下，當(dāng)較大的動(dòng)應(yīng)力幅值出現(xiàn)的時(shí)間比較早時(shí)，土樣在拉伸階段較大的固結(jié)圍壓導(dǎo)致試樣產(chǎn)生較大的拉伸形變，故在接下來(lái)小的動(dòng)應(yīng)力幅值下會(huì)產(chǎn)生更大的拉伸形變，均壓固結(jié)情況下，固結(jié)圍壓越大，軸向動(dòng)應(yīng)力幅值越大，則這種現(xiàn)象越明顯；由于是均壓固結(jié)，所得的動(dòng)應(yīng)力時(shí)程曲線和動(dòng)應(yīng)變時(shí)程曲線均可看做是平穩(wěn)的時(shí)間過(guò)程。

在基于傅里葉變換的地震荷載作用下土的阻尼比的確定過(guò)程中采用Matlab編程對(duì)土的阻尼比進(jìn)行求解，可得到阻尼比λ與頻率f之間的關(guān)系如圖4所示。

表1 土樣的基本物理參數(shù)

圖2動(dòng)應(yīng)力時(shí)程曲線圖3動(dòng)應(yīng)變時(shí)程曲線

圖4 阻尼比λ與頻率f的關(guān)系曲線

由圖4可以看出，阻尼比不是確定值，而是隨著頻率的變化不斷變化。在頻率很小時(shí)，阻尼比受頻率影響的波動(dòng)較大；當(dāng)頻率逐漸增大，阻尼比受頻率影響的波動(dòng)較小，并逐漸減小。當(dāng)固結(jié)圍壓相同時(shí)，隨著固結(jié)應(yīng)力比的增大，阻尼比隨頻率的波動(dòng)情況在減弱；當(dāng)固結(jié)應(yīng)力比相同時(shí)，隨著固結(jié)圍壓的增大，阻尼比隨頻率的波動(dòng)也逐漸減弱。

(7)

動(dòng)應(yīng)變?chǔ)興為動(dòng)載時(shí)間段統(tǒng)計(jì)的動(dòng)應(yīng)變時(shí)程曲線的標(biāo)準(zhǔn)差，具體的計(jì)算公式為：

(8)

圖5 阻尼比與動(dòng)應(yīng)變?chǔ)興的關(guān)系曲線

5 結(jié) 論

將隨機(jī)過(guò)程理論引入土動(dòng)力阻尼比的確定過(guò)程中，將動(dòng)應(yīng)力時(shí)程、動(dòng)應(yīng)變時(shí)程和動(dòng)孔壓時(shí)程均視為隨機(jī)過(guò)程。提出了一種基于傅里葉變換的頻域分析法，并通過(guò)試驗(yàn)及數(shù)值分析手段驗(yàn)證了利用該方法確定土的阻尼比的可行性。有如下結(jié)論：

(1)采用基于傅里葉變換的頻域分析法得到地震荷載作用下土的阻尼比λ是關(guān)于頻率f的函數(shù)。任意一種土及地震波均可得到一條“阻尼比-頻率譜”。

(3)工程應(yīng)用上，建議將土阻尼比看作隨地震波輸入過(guò)程而動(dòng)態(tài)變化的參數(shù)。只要通過(guò)頻域分析法找到每類土、每種地震波作用下的“阻尼比-頻率譜”，即可真正實(shí)現(xiàn)阻尼比參數(shù)的動(dòng)態(tài)輸入。并以此來(lái)考慮隨機(jī)動(dòng)荷載效應(yīng)對(duì)土動(dòng)力特性參數(shù)的影響。