知識、方法、策略、思齷

劉新春

大家都知道每年的高考試題大多數(shù)是從課本例習(xí)題改編得到的，試題形式創(chuàng)新，但根在課本，解法依舊.很多同學(xué)對課本的重要性都高度重視，但到底如何回歸課本卻一片茫然，其實我們可以從課本的功能與內(nèi)容尋找答案，

一、建構(gòu)知識的整體結(jié)構(gòu)

高中三年我們學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識源于課本、源于老師、源于課堂，即使到了高考前夕，部分同學(xué)的數(shù)學(xué)知識仍然凌亂無序，不成體系，“孤獨零碎”地在頭腦中漂浮，更談不上形成整體結(jié)構(gòu).究其原因是我們沒有把握課本中知識體系的呈現(xiàn)方式和整體結(jié)構(gòu).其實每個模塊、章節(jié)的重點、難點、規(guī)律、結(jié)構(gòu)、相似的知識往往都是按照相同的體系與結(jié)構(gòu)編寫的.

如立體幾何研究空間線與面、面與面的位置關(guān)系總是從概念（定義）出發(fā)，探究判定方法（判定定理），尋找基本性質(zhì)（性質(zhì)定理），舉例應(yīng)用的順序線路展開，并且每一個性質(zhì)定理都是尋找低維平行（垂直）關(guān)系的判定方法.在本章結(jié)束復(fù)習(xí)時，給出全部知識的結(jié)構(gòu)圖，使大家既對微觀的知識點逐一知曉，又對宏觀的整體結(jié)構(gòu)了然于胸.

再如解析幾何中直線、圓、圓錐曲線內(nèi)容總是從研究它們的定義出發(fā)，建立相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程，再從數(shù)與形兩個角度研究曲線的基本性質(zhì)，最后應(yīng)用曲線方程和幾何性質(zhì)解決相關(guān)問題，

如果我們抓住了課本表達數(shù)學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)方式，并按照課本中表達數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)與聯(lián)系復(fù)習(xí)，就能準(zhǔn)確理解高中數(shù)學(xué)知識并建構(gòu)知識的整體結(jié)構(gòu).

二、理解解題的基本方法

學(xué)好數(shù)學(xué)的重要標(biāo)志之一是學(xué)會解題，高考考查的數(shù)學(xué)解題方法其實都在課本之中.由于我們對課本中的解題方法不甚了解，“刷題多多”，但總結(jié)反思甚少，因而事倍功半.

課本中重要的定理、公式、結(jié)論的證明方法，典型例習(xí)題的求解方法都是我們解決數(shù)學(xué)問題的“抓手”和“模板”，而課本中典型例題的解法步驟是我們規(guī)范解題，在高考中獲得高分的“航標(biāo)”.

如等差數(shù)列前“n和公式的逆序求和證明方法、等比數(shù)列前n項和公式的錯位相減證明方法、函數(shù)、解析幾何中運用定義求解問題的基本方法、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值的方法步

驟等等。

同學(xué)們在新課或第一輪復(fù)習(xí)時往往學(xué)得膚淺、理解不深，盡管做了大量題目，用了多次相似的方法，但由于不能總結(jié)反思，與課本提供的方法有機結(jié)合，導(dǎo)致平時大量練習(xí)用到的方法，像無根的“浮萍”，跟著感覺走，尤其是部分同學(xué)把數(shù)學(xué)知識與解題方法割裂開來，導(dǎo)致數(shù)學(xué)知識會背不會用.

如函數(shù)的單調(diào)性概念是一個重要的知識點，同時又提供了判斷函數(shù)單調(diào)性的一種方法，既是對一個函數(shù)中兩個變量大小對應(yīng)關(guān)系的揭示，也是描述函數(shù)圖象變化趨勢的數(shù)量表達方式，是集數(shù)形于一身的概念與方法.

同學(xué)們只有熟練掌握了課本上的解題方法，才能靈活運用、舉一反三.

三、掌握數(shù)學(xué)研究的策略

初學(xué)高中數(shù)學(xué)時，我們往往會囫圇吞棗學(xué)知識，就題論題做題目，滿足于掌握具體的解題方法等等.其實，課本中對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的策略、探究問題的策略、提升數(shù)學(xué)能力的策略都有相應(yīng)的介紹.

蘇教版必修5“解三角形”第1章1.1正弦定理，如何證明正弦定理，書本上給出了以下策略：

（1）轉(zhuǎn)化為直角三角形中的邊角關(guān)系；

（2）建立直角坐標(biāo)系，利用三角函數(shù)的定義；

（3）通過三角形的外接圓，將任意三角形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題；

（4）利用向量的投影或向量的數(shù)量積（產(chǎn)生三角函數(shù)）.

上述四種途徑其實也是我們解決一般三角問題的策略.

策略（1）將斜三角形問題轉(zhuǎn)化為直角三角形中的問題求解.

策略（2）將三角問題運用三角函數(shù)定義求解，或建立坐標(biāo)系，運用坐標(biāo)法（解析法）借助解析幾何知識方法求解.

策略（3）是將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，借助平面幾何知識求解.

策略（4）是將三角問題轉(zhuǎn)化為向量問題，運用向量工具求解，

這些策略離不開等價轉(zhuǎn)化與數(shù)形結(jié)合思想指引，也是解決其他數(shù)學(xué)問題的基本策略，如果我們復(fù)習(xí)正弦定理、余弦定理時在證明兩個定理的基礎(chǔ)上能夠關(guān)注證明正（余）弦定理的基本策略，則數(shù)學(xué)問題就能迎刃而解，并在理解上獲得升華.

課本還十分重視知識的交叉聯(lián)系和綜合運用，采取交叉出現(xiàn)、螺旋式上升的策略提供解決問題的方法策略.如函數(shù)在數(shù)列、解析幾何、不等式中的應(yīng)用，向量在三角函數(shù)、解析幾何中的應(yīng)用等等，請看蘇教版必修4第二章“平面向暈”P.87例3.

在平面解析幾何直線與圓的方程一章中只研究兩直線垂直，而沒有涉及兩直線的夾角，但用向量方法可以比較簡單地解決.

以上問題由于使用課本順序的變化，先學(xué)習(xí)向量后學(xué)習(xí)直線方程，導(dǎo)致在兩個模塊均未學(xué)習(xí)求直線夾角的方法.回歸課本時就必須補上這一課.

四、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的基本思想

回歸課本最難的是如何領(lǐng)悟課本中的數(shù)學(xué)思想，其實課本中始終有兩條線貫穿始終，一條是知識主線，一條是思想方法線，兩條線有時交叉，有時并行，共同建構(gòu)主體數(shù)學(xué).

對于函數(shù)與方程思想，高中課本中，從兩個特殊集合之間的特殊對應(yīng)關(guān)系構(gòu)建函數(shù)定義，但在研究函數(shù)表示與性質(zhì)時，又大量使用變量的變化規(guī)律加以闡釋.已知自變量的變化規(guī)律研究函數(shù)值的變化要充分運用函數(shù)關(guān)系和性質(zhì).反之，已知函數(shù)值求自變量的值則是通過解方程獲得.方程思想就是通過等量關(guān)系研究變量數(shù)值的變化關(guān)系，如函數(shù)的零點，是函數(shù)值為零時對應(yīng)自變量的值，也是函數(shù)的圖象與x軸的交點的橫坐標(biāo)，還可以視為兩個函數(shù)的圖象的交點.函數(shù)與方程思想貫穿于整個函數(shù)、三角函數(shù)之中.

等價轉(zhuǎn)化與化歸思想貫穿于所有課本內(nèi)容之中，特別是定理、公式、典型例題的證明求解之中.如在蘇教版必修4第3章三角恒等變換中，從證明兩角差的余弦公式出發(fā)，導(dǎo)出和（差）角公式、倍角公式以及幾組三角恒等式，并以它們?yōu)楣ぞ?，研究了有關(guān)三角函數(shù)式的化簡、計算、恒等式的證明等有關(guān)問題.在這一過程中，化歸的數(shù)學(xué)思想被多次運用，既有從已知到未知的化歸（如由余弦的差角公式，推出其余的和“差”角公式），也有一般到特殊的化歸（如從和角公式推出倍角公式）.各個公式之間的等價轉(zhuǎn)化使我們明了公式之間的相互聯(lián)系，并在化歸思想指導(dǎo)下理解掌握了推導(dǎo)公式的賦值法、特殊化法、逆向變形法等具體方法.

其他數(shù)學(xué)思想在課本中都有明確的表述.

只有從課本出發(fā)，我們才能走得更遠！