為學(xué)生的思維發(fā)展而教

吳曉雄

摘 要：數(shù)學(xué)思維就是數(shù)學(xué)地思考問題和解決問題的思維活動(dòng)形式。如何在教學(xué)活動(dòng)中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，特級教師丁杭纓的做法給人以啟迪。

關(guān)鍵詞：思維；教學(xué)；思考

中圖分類號：G623.5文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2018）22-010-2

近日，浙江省杭州市長青小學(xué)的特級教師丁杭纓老師上了一節(jié)精彩的數(shù)學(xué)課《三角形三邊的關(guān)系》，“為學(xué)生的思維發(fā)展而教”的思想貫穿全課，給聽課老師留下了深刻的印象，現(xiàn)摘取其中的一個(gè)教學(xué)片段與大家共賞。

【教學(xué)片段】

媒體出示：在能拼成三角形的各組小棒右面括號里畫“√”。（單位：厘米）

師：你能用算式來表示它們能否組成三角形嗎？

生1：第一組3+4>5，所以，這三根小棒能拼成三角形。

生2：第二組3+3>3，所以，這三根小棒能拼成三角形。

生3：第三組2+2<6，所以，這三根小棒不能拼成三角形。

生4：第四組3+3>5，所以，這三根小棒能拼成三角形。

師：同學(xué)們真會(huì)判斷，請大家繼續(xù)觀察，先看看第一組有什么特點(diǎn)？

生1：我發(fā)現(xiàn)這三個(gè)數(shù)都差一。

生2：我發(fā)現(xiàn)只要是三個(gè)相鄰的自然數(shù)就一定能拼成三角形。

師：為什么呀？

生2：因?yàn)槿齻€(gè)相鄰的自然數(shù)相差很小，也就是三條邊的長短差不多，就一定能拼成三角形。

師：這位同學(xué)憑直覺，發(fā)現(xiàn)了這個(gè)了不起的規(guī)律，你們同意嗎？

生都點(diǎn)頭同意。

生3：我不同意。

師：說說你的理由？

生3：如果是1+2﹦3就不行。

師：是嗎？同學(xué)們，你們怎么沒想到呢？我們應(yīng)該謝謝他，那么除了1、2、3不行，其它三個(gè)相鄰的自然數(shù)就一定能拼成三角形，你們同意嗎？

生4：不同意。像0、1、2這三個(gè)自然數(shù)，0+1<2，就不行。

師：0表示什么？

生4：0表示沒有。

師：既然0表示沒有，那就表示只有2條邊，能拼成三角形嗎？

生一致表示不能拼成三角形。

師：那除了剛才的兩組：1、2、3和0、1、2，其它三個(gè)相鄰的自然數(shù)就一定能拼成三角形嗎？

生一致表示同意。

師：你能舉例說明嗎？

生1：4+5>6，這三條邊就能拼成三角形。

師：難道只有這些小的數(shù)？能來大點(diǎn)的數(shù)嗎？

生2：1000+1001>1002，這三條邊也能拼成三角形。

師：想象一下，用3、4、5這三條邊拼成的三角形會(huì)是怎樣一個(gè)三角形？

生1：像黑板上的第二類。

師：你的想象力真好，這個(gè)三角形有個(gè)特點(diǎn)，它有一個(gè)角是直角，所以它是個(gè)直角三角形。那第二組3、3、3這三條邊拼成的三角形又會(huì)是怎樣一個(gè)三角形呢？

生2：是個(gè)等邊三角形。

師：是嗎？（媒體演示：三邊拼成一個(gè)等邊三角形）由此你可以斷定，只要三條邊……

生2：只要三條邊相等，拼成的就是等邊三角形。

師：能舉例嗎？

生2：1000、1000、1000。

師：哦，你要拼一個(gè)大大的等邊三角形。請大家再看第三組的三條邊2、2、6，能改變一下數(shù)據(jù)，使它們能組成三角形嗎？

生1：改為2、2、3，2+2>3。

生2：改為2、2、1，1+2>2。

生3：改為2、5、6，2+5>6。

師：你們的辦法真多。那想象一下第四組3、3、5拼成的三角形又會(huì)是怎樣的呢？

生1：拼成的三角形有2條邊是相等的。

生2：拼成的三角形是等腰三角形。

師：你知道得真多，它確實(shí)叫做等腰三角形。（媒體演示：三邊拼成一個(gè)等腰三角形）

師：同學(xué)們，如果我把第四組3、3、5中的5換成別的數(shù)據(jù)，使它還能拼成三角形，可以換成哪些呢？

生1：可以換成1、2、3、4。

師：你是怎么知道的？

生1：我想，三角形中兩條短邊之和大于第三邊，底邊作為短邊，與3相加要大于3，底邊最短是1；如果把3作為短邊，底邊作為長邊的話，3+3必須大于底邊，所以底邊最長是5，由此我斷定是1、2、3、4、5。

師：同學(xué)們，你們聽明白他的意思了嗎？掌聲送給他！

學(xué)生鼓掌。

師：同學(xué)們想象一下，底邊是1的三角形會(huì)是怎樣一個(gè)三角形？

生1：是一個(gè)高高的、瘦瘦的等腰三角形。（媒體演示：三邊3、3、1拼成一個(gè)等腰三角形）

師：底邊是2的三角形又是怎樣一個(gè)三角形呢？

生2：比剛才這個(gè)三角形要矮一點(diǎn)，胖一點(diǎn)。（媒體演示：三邊3、3、2拼成一個(gè)等腰三角形）

師：底邊是3的三角形又是怎樣一個(gè)三角形呢？

生3：是個(gè)等邊三角形。（媒體演示：三邊3、3、3拼成一個(gè)等邊三角形）

師：底邊是4的三角形又會(huì)是怎樣一個(gè)三角形呢？

生4：比剛才第二個(gè)三角形還要矮一點(diǎn)，胖一點(diǎn)。（媒體演示：三邊3、3、4拼成一個(gè)等腰三角形）

師：如果我把第四組3、3、5中的3換成別的數(shù)據(jù)，使它還能拼成三角形，可以換成哪些呢？媒體出示題目。

生1：大于3，小于8。

師：大于3，小于8是什么意思？

生1：就是4、5、6、7。

師：如果換成4cm，想象一下，會(huì)是怎樣一個(gè)三角形？

生2：會(huì)是一個(gè)直角三角形。（媒體演示：三邊4、3、5拼成一個(gè)直角三角形）

師：如果換成5cm，又是怎樣一個(gè)三角形？

生3：會(huì)是一個(gè)等腰三角形。（媒體演示：三邊5、3、5拼成一個(gè)等腰三角形）

師：如果換成6cm，會(huì)是怎樣一個(gè)三角形？你能比劃一下嗎？

生比劃。（媒體演示：三邊6、3、5拼成一個(gè)三角形）

師：繼續(xù)想象，如果換成7cm，這個(gè)三角形與剛才的三角形又有什么不同？

生4：這個(gè)三角形會(huì)越來越高。（媒體演示：三邊7、3、5拼成一個(gè)三角形）

師：除了同學(xué)們所說的越來越矮以外，你們還發(fā)現(xiàn)了什么？

生5：我發(fā)現(xiàn)了有兩條邊3cm和5cm沒有變化，第三條邊在變化，三角形的形狀也在變化。

生6：我發(fā)現(xiàn)第三條變在逐漸變長，它所對的角也在逐漸變大。

師：你的發(fā)現(xiàn)真了不起，老師佩服你的觀察力。

……

【我的思考】

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，其實(shí)就是學(xué)生、教師、文本之間的一種精神的溝通和心靈上的碰撞。數(shù)學(xué)教學(xué)就是要對學(xué)生的思維能力和思維品質(zhì)進(jìn)行訓(xùn)練和提升，并且在學(xué)生的思維發(fā)展過程中完成數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)。如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中更好地訓(xùn)練學(xué)生的思維，丁老師給我們上了生動(dòng)的一課。

1.在不斷深入的活動(dòng)中訓(xùn)練思維的深刻性

思維的深刻性指的是通過事物的表面現(xiàn)象認(rèn)識事物的本質(zhì)及事物間的本質(zhì)聯(lián)系的能力。思維深刻性是思維品質(zhì)的基礎(chǔ)。可以促進(jìn)思維的準(zhǔn)確性、概括性和預(yù)見性，主要表現(xiàn)為對數(shù)學(xué)現(xiàn)象、結(jié)論能不僅知其然，還知其所以然，能透過現(xiàn)象認(rèn)識其本質(zhì)。我們數(shù)學(xué)課要做的也就是和學(xué)生一起經(jīng)歷一個(gè)從事物現(xiàn)象到本質(zhì)的認(rèn)識過程。因此在不斷深化的學(xué)習(xí)活動(dòng)中定能助長學(xué)生對客觀事物現(xiàn)象的深刻、敏銳的觸角。丁老師一開始出示了“在能拼成三角形的各組小棒右面括號里畫√”這樣一個(gè)實(shí)際的經(jīng)驗(yàn)情境，作為思維的開發(fā)階段。在判斷完之后，又讓學(xué)生找找每一組數(shù)的特點(diǎn)，此刻的學(xué)生思維的閘門已經(jīng)打開，學(xué)生的思維與自己原有的知識在交鋒，與原有的思維在碰撞，學(xué)生通過自己思維的努力，突破了原有知識和思維的偏狹，實(shí)現(xiàn)了思維的跨越：等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、胖的三角形、瘦的三角形、高高的三角形、矮矮的三角形等等全在學(xué)生的口中“順勢而出”，并隨著教師的引導(dǎo)，學(xué)生的思維伴隨著觀察一步步走向深入，逐漸認(rèn)識到事物現(xiàn)象后面的本質(zhì)，并在這個(gè)過程中促使學(xué)生思維深刻性，對客觀事物的敏銳性得到進(jìn)一步的滋養(yǎng)。

2.在相互表達(dá)和傾聽中提升思維的嚴(yán)密性

思維的嚴(yán)密性是在思考問題時(shí)能考慮到涉及問題的各個(gè)方面。思維是語言的內(nèi)核，語言是思維的外殼，兩者有著密切的聯(lián)系。學(xué)生的表達(dá)往往反映了他的內(nèi)在思維過程，對學(xué)生表達(dá)的指導(dǎo)，讓學(xué)生對他人表達(dá)的“挑刺”其實(shí)就是一個(gè)思維的鍛煉過程，一種科學(xué)思維方法的學(xué)習(xí)。在我們的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師若能關(guān)注學(xué)生的表達(dá)和傾聽，抓住其中的缺陷，引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識自身回答的不足，則對學(xué)生思維的嚴(yán)密性培養(yǎng)也能起到極為重要的作用。在這個(gè)教學(xué)片段中，當(dāng)一個(gè)學(xué)生提出了：我發(fā)現(xiàn)只要是三個(gè)相鄰的自然數(shù)就一定能拼成三角形時(shí)，丁老師并沒有急于否定，而是在表揚(yáng)了這位同學(xué)過后又向?qū)W生提出了這樣一個(gè)問題：這位同學(xué)憑直覺，發(fā)現(xiàn)了這個(gè)了不起的規(guī)律，你們同意嗎？學(xué)生通過討論、修正、完善，最后明白了：除了1、2、3和0、1、2這兩組不能拼成三角形外，其它三個(gè)相鄰的自然數(shù)都能拼成三角形。在數(shù)學(xué)課的交流中，我們應(yīng)該像丁老師那樣關(guān)注學(xué)生的表達(dá)，培養(yǎng)學(xué)生的傾聽習(xí)慣，并在表達(dá)和傾聽中讓學(xué)生思維嚴(yán)密性得到進(jìn)一步的發(fā)展。

3.在解決具體問題的情境中鍛煉思維的靈活性

思維的靈活性是創(chuàng)新思維的必要條件。思維的靈活性，表現(xiàn)在對具體問題的解決能從實(shí)際出發(fā)，隨機(jī)應(yīng)變，能根據(jù)問題的具體特點(diǎn)采取行之有效的解決方法，而不是墨守陳規(guī)。例如在本片段的教學(xué)中，丁老師要求學(xué)生把第四組3、3、5中的5換成別的數(shù)據(jù)，使它還能拼成三角形時(shí)，學(xué)生心扉自然敞開，處于完全自由的狀態(tài)，思維活躍，閘門一下被打開：3、3、1；3、3、2；3、3、3；3、3、4；學(xué)生在這樣的問題解決過程中，體驗(yàn)到了成功的樂趣，更重要的是在不知不覺中鍛煉了學(xué)生思維的靈活性。

“冰凍三尺，非一日之寒”。提高學(xué)生的思維能力，是一個(gè)長期的過程。如果在數(shù)學(xué)課堂上我們能像丁老師那樣帶著“發(fā)展學(xué)生思維”的理念指導(dǎo)學(xué)生開展學(xué)習(xí)活動(dòng)，相信我們的數(shù)學(xué)課會(huì)產(chǎn)生更大的效益，為孩子們的終身幸福奠下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。