基于奇異譜分析的滑坡變形預(yù)測(cè)

王 鳴，許勝才，易 武

(1.賀州學(xué)院建筑工程學(xué)院，廣西賀州542800；2.三峽大學(xué)土木與建筑學(xué)院，湖北宜昌443002；3.三峽地區(qū)地質(zhì)災(zāi)害與生態(tài)環(huán)境湖北省協(xié)同創(chuàng)新中心，湖北宜昌443002)

0 引 言

滑坡對(duì)資源環(huán)境極具破壞性，而且威脅人類生命財(cái)產(chǎn)安全，因此開展滑坡災(zāi)害的預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)研究已成為當(dāng)下的熱點(diǎn)和難點(diǎn)問題，具有重要的理論和實(shí)際意義。當(dāng)然，滑坡預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)的最理想的目標(biāo)是災(zāi)害的臨滑時(shí)間預(yù)報(bào)，但臨滑時(shí)間預(yù)報(bào)一般以滑坡的動(dòng)態(tài)實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)信息為基礎(chǔ)，如反映滑體自身運(yùn)動(dòng)狀況的位移變化信息，就當(dāng)前監(jiān)測(cè)手段和國(guó)內(nèi)外研究特點(diǎn)來(lái)看，主要以滑坡位移變化信息作為臨滑狀態(tài)信息預(yù)測(cè)的切入點(diǎn)[1-3]。GPS監(jiān)測(cè)是當(dāng)前滑坡位移變化監(jiān)測(cè)的主流手段，但由于各種各樣的誤差及傳播系統(tǒng)的缺陷，或多或少都會(huì)對(duì)監(jiān)測(cè)的精度產(chǎn)生影響，進(jìn)而影響滑坡變形的預(yù)測(cè)預(yù)報(bào)效果。因此，有效進(jìn)行監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的前期處理，減少誤差影響，直接關(guān)系到變形預(yù)測(cè)值的準(zhǔn)確性。

奇異譜分析(SSA)是在Karhumen-Loeve分解理論的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的，是一種廣義功率譜分析方法，采用時(shí)域性的頻域特征分析方式對(duì)信號(hào)進(jìn)行描述和識(shí)別，能夠穩(wěn)定強(qiáng)化和識(shí)別周期信號(hào)。因此，奇異譜分析(SSA)能夠從包含噪聲的數(shù)據(jù)中提取可靠信息，并把主要的趨勢(shì)和周期分量聚集到若干個(gè)時(shí)間序列中，然后選擇趨勢(shì)分量進(jìn)行序列重構(gòu)，以降低噪聲[4-5]。本文擬采用奇異譜對(duì)原始序列進(jìn)行預(yù)處理，提取可靠成分，建立二階差分-指數(shù)平滑模型對(duì)滑坡位移進(jìn)行預(yù)測(cè)，并從誤差平方和(SSE)、平均絕對(duì)誤差(MAE)、均方誤差(MSE)、平均絕對(duì)百分比誤差(MAPE)、均方百分比誤差(MSPE)等5個(gè)方面進(jìn)行全方位綜合衡量。

1 預(yù)測(cè)模型原理

1.1 奇異譜分析(SSA)原理

假定一維時(shí)間序列X=(x1,x2,…,xN)，SSA過(guò)程主要分為以下幾個(gè)步驟：

(1)

式中,Xi=(xi,xi+1,…,xk+L-1),軌跡矩陣X的(i,j)處的元素xij=xi+j-1，其中,i=1,2，…,L,j=1,2，…,K，即所有反對(duì)角線上的元素相等。

X=X1+X2+…+Xd

(2)

(3)分組。初等矩陣可以按照下標(biāo){1,2,…,d}分成p個(gè)不相交的子集I1,I2,…,Ip，計(jì)算每個(gè)合成矩陣，則式(2)的分解式為

X=XI1+XI2+…+XIp

(3)

(4)對(duì)角平均。將通過(guò)式(3)分組分解得到的每個(gè)矩陣轉(zhuǎn)換為N的新序列。設(shè)Y是1個(gè)L×K的矩陣，其元素為yij，令L*=min{L,K},K*=max{L,K},且N=L+K-1，采用對(duì)角平均公式將矩陣Y轉(zhuǎn)換為y1,y2,…,yN的時(shí)間序列，即重構(gòu)時(shí)間序列，對(duì)角平均公式如下

(4)

1.2 二階差分-指數(shù)平滑模型

給定觀測(cè)時(shí)間序列yt，t=1,2,…,n為觀測(cè)期數(shù)。一般當(dāng)時(shí)間序列數(shù)據(jù)呈現(xiàn)曲線增長(zhǎng)時(shí)，可以用二階差分-指數(shù)平滑模型來(lái)預(yù)測(cè)[6-10]，計(jì)算公式如下

yt=yt-yt-1

(5)

2yt=yt-yt-1

(6)

(7)

2 實(shí)例計(jì)算

2.1 奇異譜分析(SSA)

選取三峽庫(kù)區(qū)某滑坡2007年1月～2014年9月期間，XS112號(hào)GPS監(jiān)測(cè)點(diǎn)采集到的每期點(diǎn)位水平投影相對(duì)于首期點(diǎn)位水平投影的變化值(每采集1次數(shù)據(jù)為1期，作為計(jì)算起點(diǎn)的1期數(shù)據(jù)為首期)，該滑坡監(jiān)測(cè)網(wǎng)點(diǎn)布置見圖1。其中，2個(gè)GPS監(jiān)測(cè)基點(diǎn)分別位于滑坡體外兩側(cè)。2007年1月～2014年9月期間采集到的XS112號(hào)GPS監(jiān)測(cè)點(diǎn)共計(jì)95期位移數(shù)據(jù)見圖2。

圖1 某滑坡監(jiān)測(cè)網(wǎng)點(diǎn)布置

圖2 XS112號(hào)GPS監(jiān)測(cè)點(diǎn)95期位移

實(shí)際上，GPS監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)采集存在各種各樣的誤差，這一點(diǎn)可以從圖2中體現(xiàn)出來(lái)。為構(gòu)建更加合理的變形預(yù)測(cè)模型，采用SSA法，從包含噪聲的數(shù)據(jù)序列中盡可能多地提取可靠信息，把最可預(yù)測(cè)的分量聚集到若干個(gè)時(shí)間序列中，以此選擇若干有意義的分量進(jìn)行序列重建，降低噪聲。為驗(yàn)證預(yù)測(cè)效果，選取前90期數(shù)據(jù)作為樣本集，后5期數(shù)據(jù)作為預(yù)測(cè)集。

首先，嵌入維度的選取非常重要，若嵌入維數(shù)L太大，會(huì)導(dǎo)致奇異值分解得到的不同的部分產(chǎn)生混疊，信號(hào)分離效果較差且太小，無(wú)法使信號(hào)從弱到強(qiáng)漸進(jìn)區(qū)分，導(dǎo)致部分信號(hào)無(wú)法獲取。但SSA的嵌入維數(shù)L一般是主觀選擇的，并沒有統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)。本文選取嵌入維度L=30，編程計(jì)算得到降序排列的30個(gè)代表時(shí)間序列變化趨勢(shì)的特征值。而重構(gòu)階次p表示這前p個(gè)分量是信號(hào)，若p太小，則表示后面部分信號(hào)被當(dāng)作噪聲剔除掉；p太大，則會(huì)使得部分噪聲被當(dāng)作信號(hào)而提取出來(lái)[5]。

本文從這30個(gè)特征值的累積貢獻(xiàn)率(見圖3)來(lái)分析。由圖3可知，前7個(gè)特征值的累積貢獻(xiàn)率達(dá)到99.8%，故可取前7個(gè)特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量進(jìn)行重構(gòu)。重構(gòu)后的數(shù)據(jù)見圖4。從圖4可知，重構(gòu)后的數(shù)據(jù)基本符合原始數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)，且明顯比原始數(shù)據(jù)更加平滑。本文采用判定系數(shù)R2進(jìn)行檢驗(yàn)，一方面，判定系數(shù)可從數(shù)據(jù)變異的角度指出可解釋的變異占總變異的百分比，從而說(shuō)明預(yù)測(cè)的優(yōu)良程度；另一方面，還可從相關(guān)性的角度，說(shuō)明變量之間相關(guān)程度。經(jīng)編程求解，得到重構(gòu)后數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)的判定系數(shù)為0.99，說(shuō)明奇異譜分析所得到的重構(gòu)序列精度極高。

2.2 預(yù)測(cè)

為了得到后5期變形數(shù)據(jù)，采用二階差分-指數(shù)平滑模型進(jìn)行預(yù)測(cè)。根據(jù)預(yù)測(cè)原理，編程計(jì)算得到預(yù)測(cè)結(jié)果(見圖5)，預(yù)測(cè)期數(shù)為91～95期的累積位移數(shù)據(jù)。從圖5可知，后5期的預(yù)測(cè)變形數(shù)據(jù)基本符合數(shù)據(jù)整體變化趨勢(shì)，但仍需要定量的評(píng)價(jià)其預(yù)測(cè)效果。為證明采用SSA處理后的時(shí)間序列能夠得到更好的預(yù)測(cè)精度，體現(xiàn)SSA在變形數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)上的作用，首先分別對(duì)未進(jìn)行預(yù)處理的原始序列和進(jìn)行SSA處理后的時(shí)間序列，均采用二階差分-指數(shù)平滑模型進(jìn)行預(yù)測(cè)，對(duì)預(yù)測(cè)得到的結(jié)果均按預(yù)測(cè)效果評(píng)價(jià)原則和慣例，采用均方誤差(MSE)、誤差平方和(SSE)、均方百分比誤差(MSPE)、平均絕對(duì)誤差(MAE)、平均絕對(duì)百分比誤差(MAPE)等5項(xiàng)預(yù)測(cè)誤差指標(biāo)作為評(píng)判準(zhǔn)則進(jìn)行評(píng)判，預(yù)測(cè)結(jié)果的評(píng)判指標(biāo)對(duì)比詳見表1。

圖3 不同特征值的累積貢獻(xiàn)率

圖4 重構(gòu)數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)對(duì)比

圖5 二階差分-指數(shù)平滑模型預(yù)測(cè)結(jié)果

預(yù)測(cè)方法SSEMAEMSEMAPE/%MSPE/%SSA處理385.237.503.933.441.79未處理4297.4026.1613.1112.05.9

從表1可知，采用SSA重構(gòu)的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)可以得到較好的精度，均方百分比誤差MSPE僅為1.79%。從全部5項(xiàng)指標(biāo)來(lái)看，采用SSA重構(gòu)進(jìn)行預(yù)測(cè)比未采用的數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)在精度上全面占優(yōu)。通過(guò)2種模型的預(yù)測(cè)精度對(duì)比可知， SSA在時(shí)間序列預(yù)測(cè)上有明顯的優(yōu)化效果。

3 結(jié) 語(yǔ)

本文采用奇異譜分析(SSA)對(duì)滑坡變形時(shí)間序列進(jìn)行趨勢(shì)項(xiàng)分離，并重構(gòu)有效時(shí)間序列，建立二階差分-指數(shù)平滑預(yù)測(cè)模型對(duì)其進(jìn)行滑坡后期變形數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)。從預(yù)測(cè)結(jié)果看，奇異譜分析(SSA)的前期趨勢(shì)分量提取，對(duì)時(shí)間序列預(yù)測(cè)有明顯效果。但針對(duì)SSA的嵌入維度未能全面考慮，以及與不同預(yù)測(cè)方法的組合是否亦能體現(xiàn)SSA的優(yōu)勢(shì)還要做進(jìn)一步的分析。