一種低成本測量材料楊氏模量的方法*

顏剛毅， 房 凱

(南京電子技術(shù)研究所, 江蘇 南京 210039)

引 言

楊氏模量是一項極為重要的材料參數(shù)，在幾何尺寸確定的情況下，材料的楊氏模量直接影響結(jié)構(gòu)的剛度、固有頻率等重要結(jié)構(gòu)力學(xué)參數(shù)。

準(zhǔn)確的楊氏模量有利于設(shè)計師在對結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元仿真時得出準(zhǔn)確的共振頻率、剛度等，有利于進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計[1-2]。

楊氏模量的測量已有非常成熟的方法，比如拉伸法，彎曲法，共振法等。拉伸法需要將材料制成細(xì)絲狀，利用光杠桿以觀察測量微小的材料伸長量。而共振法通過測量某個結(jié)構(gòu)的共振頻率，利用振動力學(xué)公式反推出楊氏模量。這些方法一般都要用到較為復(fù)雜的設(shè)備及貴重的傳感器[3-6]。

本文提出了一種低成本測量材料楊氏模量的方法，將待測材料制成懸臂梁結(jié)構(gòu)，在懸臂梁上貼有壓電片，讓懸臂梁自由振動，通過壓電材料的壓電效應(yīng)將機(jī)械振動轉(zhuǎn)換為電信號，直接輸出振動波形，通過測量懸臂梁自由振動頻率反推出材料楊氏模量。這種方法優(yōu)點在于試件制作簡單，無需貴重的傳感器就能實現(xiàn)材料楊氏模量的測量。這種低成本的測量方法在工程上有一定的實用價值。

1 原理

1.1 懸臂梁自由振動方程

根據(jù)振動力學(xué)計算，一端固定，一端自由的等截面梁的1階固有頻率為：

(1)

式中：E為楊氏模量；I為截面對中性軸的慣性矩；ρ為密度；A為梁截面積；l為梁的長度。

當(dāng)梁截面為矩形，設(shè)寬度為b，厚度為h，則有：

A=bh

(2)

(3)

代入式(1)，可得：

(4)

將楊氏模量E作為待求解量，頻率f作為已知量，可得：

(5)

懸臂梁的幾何參數(shù)可以通過游標(biāo)卡尺或螺旋測微器測量得到，密度也較容易通過體積質(zhì)量測量得出，關(guān)鍵在于測量自由振動頻率。

1.2 壓電傳感器

用激光位移傳感器、電渦流傳感器等都可以測量懸臂梁的自由振動頻率，但是這些傳感器成本較高，一般單位沒有條件采購。本文用壓電片作為傳感器使用，壓電片很容易購買，且成本非常低。

壓電材料既能傳感又能致動，在智能結(jié)構(gòu)中有相當(dāng)多的應(yīng)用[7]。描述壓電材料的狀態(tài)變量有應(yīng)力T、應(yīng)變S、電位移D及電場E，四者關(guān)系可以用壓電方程描述。壓電方程根據(jù)自變量的不同，共有4 種，這4 種壓電方程本質(zhì)上是等價的。以應(yīng)變S和電位移D為自變量時，稱為h型壓電方程：

T=cDS-htD
E=-hS+βSD

(6)

式中：h為壓電應(yīng)變常數(shù)；cD為電位移強(qiáng)度D恒定時的彈性模量；βS為應(yīng)變S恒定時的介電誘導(dǎo)率；下標(biāo)t表示轉(zhuǎn)置。

當(dāng)外界測量電阻極大，壓電片相當(dāng)于處于開路狀態(tài)時，電位移D可認(rèn)為保持不變，假設(shè)初始電荷為0 C，則D=0，這樣E=-hS，產(chǎn)生的電場大小僅與應(yīng)變有關(guān)，且成線性比例關(guān)系。簡單來說，懸臂梁的應(yīng)變帶動壓電片產(chǎn)生應(yīng)變，壓電片因壓電效應(yīng)輸出電壓。壓電片的輸出電壓波形的周期就是懸臂梁振動的周期。

給懸臂梁一初始位移并松開，懸臂梁將處于自由振動狀態(tài)。此時的頻率即為1階共振頻率，將此頻率代入式(5)即可得到材料楊氏模量。

2 實驗設(shè)計與分析

2.1 壓電片對懸臂梁固有頻率的影響

在懸臂梁上貼壓電片，理論上會提升懸臂梁的固有頻率。顯然，在尺寸一定的情況下，壓電片越“軟”，對懸臂梁影響越小，壓電片越“剛”，影響越大。壓電片本身的剛度不僅僅與所用的壓電材料有關(guān)，也與壓電片所處的電連接狀態(tài)有關(guān)，因為壓電材料的楊氏模量在開路狀態(tài)和短路狀態(tài)略有不同。開路狀態(tài)時，受外力影響，壓電片因壓電效應(yīng)產(chǎn)生的電荷沒有回路，整體偏剛性，楊氏模量偏大。而短路狀態(tài)時，壓電片因壓電效應(yīng)產(chǎn)生的電荷可以自由移動，整體偏軟，楊氏模量偏小。給壓電片接入一定的電阻時，壓電片便介于完全開路與完全短路兩個狀態(tài)之間，楊氏模量也處于開路楊氏模量與短路楊氏模量之間。測量壓電片輸出電壓時，外部測量系統(tǒng)與壓電片相連，相當(dāng)于給壓電片接入一定的負(fù)載，由于測量系統(tǒng)一般要求擁有較大的輸入阻抗，所以分析壓電片力學(xué)性學(xué)性能時，可按電學(xué)開路狀態(tài)處理。

壓電片的尺寸大小不同對懸臂梁固有頻率的影響亦有不同。具體的影響程度需要通過仿真進(jìn)行定量分析。以尺寸為49 mm × 4.4 mm × 0.39 mm的懸臂梁和尺寸為4 mm × 4 mm × 0.2 mm的壓電片為例，壓電片左端與梁的固定端距離d定為4 mm，以此為基準(zhǔn)條件，仿真各參數(shù)變化對固有頻率的影響。為了仿真出定量的結(jié)果，需暫定待測金屬的楊氏模量為141 GPa，泊松比0.33，密度為7 840 kg/m3。

圖1 仿真模型

將壓電片左端距離梁固定端距離d作為變量，仿真出不同d時懸臂梁的1階固有頻率，并將此頻率與無壓電片時的固有頻率(112.1 Hz)相比較，結(jié)果見表1。

表1 壓電片所貼位置的影響

可以看出壓電片對懸臂梁頻率影響較小，均在3%范圍內(nèi)，壓電片越靠近根部，對懸臂梁頻率影響越大。所以從力學(xué)角度，壓電片最好遠(yuǎn)離根部，但從電學(xué)考慮，壓電片越靠近根部，應(yīng)變越大，輸出電壓也越大，越利于測量。這時，力學(xué)的影響與電學(xué)的影響需要平衡。

仍以之前的參數(shù)為基準(zhǔn)，改變壓電片的大小，結(jié)果見表2。

表2 壓電片大小的影響

可見當(dāng)壓電片尺寸變大時，對懸臂梁影響越大，當(dāng)壓電片尺寸接近梁的尺寸時，會帶來較大誤差，所以壓電片應(yīng)盡量小。

改變壓電片厚度，仿真結(jié)果見表3。

表3 壓電片厚度的影響

可見壓電片越薄，壓電片對懸臂梁影響越小，但考慮成本問題，一般0.2 mm的壓電陶瓷片較易購買，故可使用0.2 mm厚度。

顯然壓電片尺寸一定時，懸臂梁越厚、越寬、越長，則懸臂梁受壓電片影響越小，但有額外因素需考慮：1)過厚的懸臂梁的自由振動頻率過高，由于阻尼的存在，振幅衰減較快，不利于測量輸出波形；2)從力學(xué)理論上講，增加懸臂梁的長度，使之遠(yuǎn)大于壓電片的尺寸是有利的，但由于壓電片有漏電流，頻率過低時(比如小于1 Hz)壓電片輸出電壓會減小，不利于測量；3)寬度一般要遠(yuǎn)小于懸臂長度，否則懸臂梁自由振動時一些力學(xué)近似不成立，需按板來計算，增加復(fù)雜程度。

2.2 壓電片輸出電阻的影響

由于壓電片的輸出阻抗較大，故后續(xù)放大電路必須要有足夠的輸入阻抗，如果測量系統(tǒng)的輸入阻抗較小，信號會大幅衰減，影響信噪比，無法觀察到有用信號。一般可以用常見的運放芯片OP07或OP37外接電阻搭建成簡單的同相運算放大電路，這樣輸入阻抗就是運放的輸入電阻(與壓電片電阻相比可認(rèn)為是無窮大)，也可以采用儀用放大芯片INA116進(jìn)行放大，電路都簡單易實現(xiàn)。此實驗中，由于壓電片輸出電壓足夠，且示波器表筆輸入阻抗極大，故直接用示波器觀察壓電片的電壓輸出也沒有太大問題，可以省去前置放大電路的設(shè)計。

2.3 實驗裝置及過程

將待測楊氏模量的材料制成一根懸臂梁作為測試件，本實驗中，懸臂梁尺寸為59 mm × 4.4 mm × 0.39 mm。值得注意的是，由于懸臂梁端部需要固定，有一段長度將會用于夾持，所以在仿真及計算時，按懸臂梁實際露出的尺寸為準(zhǔn)，這里為49 mm × 4.4 mm × 0.39 mm。該尺寸不需要嚴(yán)格限定，以實際加工為準(zhǔn)，可適當(dāng)調(diào)整，但要求厚度均勻。

使用夾具將懸臂梁端部進(jìn)行固定。夾具應(yīng)遠(yuǎn)重于懸臂梁，且具有足夠的剛度，這樣才能盡量減小夾具的影響。將一薄壓電片貼于懸臂梁根部，壓電片與懸臂梁壓緊，使用環(huán)氧膠DP460進(jìn)行粘接。壓電片厚度0.2 mm，尺寸約為4 mm × 4 mm，位置離懸臂梁固定端約4 mm。壓電片電極用極細(xì)的引線引出，引線直徑約70 μm，引線越細(xì)，則引線的質(zhì)量影響越小。引線連接到示波器表筆。整個實驗裝置如圖2、圖3所示。

圖2 實驗裝置示意圖

圖3 實驗裝置實物圖

給懸臂梁一個初始位移后放開，這時，懸臂梁處于自由振動狀態(tài)。懸臂梁因振動產(chǎn)生形變，帶動壓電片產(chǎn)生形變，壓電片因壓電效應(yīng)產(chǎn)生電壓，此電壓大小隨著懸臂梁的振動而周期變化，在示波器上出現(xiàn)周期變化的電壓波形。當(dāng)然，由于阻尼的存在，懸臂梁振動幅度會慢慢變小。通過示波器的暫停功能可以凍結(jié)當(dāng)前波形，并測量波形周期，可以多次測量取平均值以減小誤差，或者利用示波器的采集功能，將采集的數(shù)據(jù)傳入電腦進(jìn)行多次擬合得到更準(zhǔn)確的值。

測量出懸臂梁的自由振動周期后，就可以計算出自由振動頻率，進(jìn)而用于計算楊氏模量。

2.4 測量誤差

實驗測得頻率f=112Hz，材料密度已事先測得，為7 840 kg/m3。代入式(5)求得楊氏模量為143 GPa。

楊氏模量的測量誤差ΔE由密度誤差Δρ、長度誤差Δl、厚度誤差Δh及頻率誤差Δf組成。

(7)

現(xiàn)假設(shè)密度、長度、厚度可以測量非常準(zhǔn)確，誤差主要來源于頻率誤差，則有：

(8)

將f=112Hz，ρ=7840kg/m3，l=0.049m，h=3.9×10-4m代入，并認(rèn)為Δf=3 Hz，則ΔE=7.6 GPa。

若要提高測量精度，一方面要使頻率測得更加準(zhǔn)確，另一方面，要合理設(shè)計懸臂梁及壓電片的尺寸，使得懸臂梁的自由振動頻率受壓電片的影響盡可能小。采用壓電薄膜來替代壓電片可以減小壓電片對懸臂梁的影響，因為壓電薄膜可以比壓電片做得更薄。但壓電薄膜沒有壓電片容易購買，這是它的缺點。目前一端固定的方式可能也會引入夾持裝置的誤差，如果夾持裝置剛度不夠的話，懸臂梁的共振頻率會有所降低，應(yīng)盡可能使用較為穩(wěn)固的夾持裝置。也可以考慮采用懸吊方式，這種方式可以去除夾持裝置的影響，但是吊點需要合理選取，應(yīng)盡量在振動節(jié)點處，最好在測量時能夠調(diào)整，或者吊點能有一定自由移動的空間，這樣當(dāng)結(jié)構(gòu)件振動起來后，吊點能自動移動到節(jié)點位置。然而，激勵起來就沒有像目前這樣只需用手撥動方便，而需采用額外的壓電片進(jìn)行振動激勵，并引入驅(qū)動電路設(shè)備。

3 結(jié)束語

本文提出了一種測量材料楊氏模量的方法，利用壓電片輸出懸臂梁共振時的波形得到振動周期，再通過力學(xué)公式反推出楊氏模量。此方法適用于大部分材料的測量，但存在的問題是所貼壓電片始終會影響待測件的共振頻率。通過合理設(shè)計尺寸，可以減小誤差，但不可能完全去除該影響。通過類似的動態(tài)法測量材料楊氏模量目前已有大量學(xué)者進(jìn)行了研究，包括固定方法、激振方法及從試件形狀等方面來提升測量精度。然而，本文致力于實現(xiàn)測量的低成本、簡單易行，并盡量不使用到昂貴儀器。本方法與一般的動態(tài)法測楊氏模量相比，避免了使用激振設(shè)備(包含功放、信號發(fā)生器等)、拾振器，懸吊裝置等一系列設(shè)備。在工程上需要快速估計一種新材料的楊氏模量時，非常有效。有時，就連示波器這樣的儀器對一些企業(yè)來說并不常備，故為了進(jìn)一步降低測量門檻，可以考慮采購幾片運放芯片及電阻搭建前置放大電路，并可以利用電腦麥克風(fēng)采集并用軟件處理振動信號，這些器件與設(shè)備比示波器更容易獲取。

當(dāng)然，若不考慮成本因素，僅考慮測量精度的話，可以采用以下方法：1)非接觸式的傳感器(如激光位移傳感器)，可以去除壓電片貼于結(jié)構(gòu)帶來的共振頻率的改變；2)更高速率的數(shù)據(jù)采集卡，可以在后期更好地擬合波形，得到更精確的振動周期；3)使用激振設(shè)備，給結(jié)構(gòu)以持續(xù)的激勵，這樣得到的波形就是穩(wěn)定的振動波形，而非因阻尼存在而不斷衰減的波形，調(diào)整激勵信號的頻率(通常使用信號發(fā)生器)，使振動信號達(dá)到最大，可以直接得到共振頻率。