軟I-代數(shù)

董 麗，孔祥智，吳 聰

江南大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 無錫 214122

1 引言

近幾十年來，研究不確定性問題的新型工具主要是1965年Zadeh提出的模糊集理論以及隨后發(fā)展起來的粗糙集等數(shù)學(xué)理論[1]。1999年Mololdtsov指出這些理論在處理某些問題時都有各自的不足之處[2]，由于他提出的軟集概念對事物的描述沒有限制，從而不僅能夠覆蓋上述概念，也能夠克服上述概念的缺陷。而后Maji等[3-6]深入研究了軟集理論與模糊軟集理論。Maji[7]、Kong[8]、Feng[9]等利用軟集的概念，研究了軟決策問題的理論及算法。軟集與已有的代數(shù)概念相結(jié)合，不但獲得代數(shù)研究的新思路，同時為軟集的深入研究提供了理論基礎(chǔ)，如軟 BCK/BCI代數(shù)[10]、軟群[11]、軟半群[12]等。這些模糊數(shù)學(xué)概念為解決經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)、社會科學(xué)、醫(yī)療科學(xué)等復(fù)雜的不確定問題的決策提供了有力的工具。I-代數(shù)（Incidence Algebra）的概念首先由Rota[13]提出，由于其在組合數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，一直是代數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)之一[14-17]。本文首次將I-代數(shù)與軟集相結(jié)合，提出軟I-代數(shù)的概念，并研究其基本代數(shù)性質(zhì)，為進(jìn)一步研究打下基礎(chǔ)。據(jù)文獻(xiàn)[14]，I-代數(shù)的定義為：

稱I(X,K)為X上的I-代數(shù)。

無論是軟集還是I-代數(shù)，它們都有很好的理論及應(yīng)用價值[18-20]。本文試圖將軟集和I-代數(shù)聯(lián)系在一起，這樣做不僅可以把二者的研究方法及理論應(yīng)用到對方的研究中去，還能為二者的研究提供新思路，并為以后的深入研究奠定基礎(chǔ)。

2 預(yù)備知識

定義1[1]設(shè)U為初始全集，E為參數(shù)集，P(U)為U的冪集，且A?E。 fA:E→P(U)滿足條件，對x?A,fA(x)=φ的映射，稱

為U上的軟集，簡而言之，軟集是指標(biāo)化的冪集。

以下如無說明，總記B為一非空偏序集，B的冪集記為 P(B)，μ:B×B→P(B)為 B2=B×B上的軟集，即該軟集的指標(biāo)集為B2,若軟集μ滿足：

（1）μ(x,y)?[x,y]={u∈B,x≤u≤y}，當(dāng) x＜y時；

（2）μ(x,x)={x}；

（3）μ(x,y)為空集，其他。稱μ為B2上的有限軟集。

定義2設(shè)B、C為非空偏序集，μ、ν分別為B2、C2上的有限軟集，稱一一映射 f:B→C為軟同構(gòu)映射。若對任意的 x,y∈B，有 f(μ(x,y))=ν(f(x),f(y)),也稱 μ 與ν同構(gòu)。

設(shè)K為域，μ為B2上的有限軟集，I(B)為B2到K的映射的全體，如下定義I(B)上的加法與乘法：

稱I(B)為B上的基于K的軟I-代數(shù)，簡稱軟I-代數(shù)，而稱μ為I(B)的基礎(chǔ)軟集。

例1若在局部有限偏序集X上定義基礎(chǔ)軟集：當(dāng)x≤y時，μ(x,y)=[x,y]，其余的 μ(x,y)均為空集，則該軟I-代數(shù)的一個子代數(shù)即為Rota定義的I-代數(shù)。

3 主要定理及證明

設(shè)K為域，μ、ν分別為偏序集B、C上的有限軟集，而I(B)、I(C)分別為B、C上的軟I-代數(shù)，將證明如下主要結(jié)果：

定理1 I(B)與I(C)同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng)偏序集B、C同構(gòu)且μ與ν同構(gòu)。

在軟I-代數(shù)I(B)中有乘法單位元σ，這里：

在 {φα:α∈A}上定義一個偏序關(guān)系，即，若 φψ=0 ，稱 I(B)中

記B={xα,α∈A}，其中A為B中元素的下標(biāo)集，并如下定義φα∈I(B)：的兩個元素φ、ψ正交。若I(B)中的元素φ不能表示成兩個非零正交冪等元素的和，稱φ是本原的。關(guān)于φα(α∈A)，有如下五個引理。

引理1（冪等性）

證明對 xβ,xγ∈B ，由 φα的定義及有：

引理2（正交性）

證明對xβ,xγ∈B，由定理知：

即命題成立。

引理3 φα(α∈A)是本原性的。

證明設(shè)φα=f+g，這里 f、g是非0正交冪等元，故gφα=φαg=g ，再 ?xβ,xγ∈B ，g(xβ,xγ)=gφα(xβ,xγ)，只有α=β=γ時，才可能g(xα,xα)≠0又g≠0,故 g(xα,xα)≠0。同理 f(xα,xα)≠0。這樣 gf(xα,xα)≠0，這與 g、f正交相矛盾，故有g(shù)=0或 f=0，這又與假設(shè)矛盾，因此φα是本原的。

引理4（極大性） {φα:α∈A}是極大正交本原冪等元集。

證明設(shè)也是非0本原正交冪等元集。由冪等性知 f2(xα,xα)=f(xα,xα),從而有 f(xα,xα)=0或 f(xα,xα)=1 。 由 正 交 性 知 f(xα,xα)=fφα(xα,xα)=φαf(xα,xα)=0 ，故 f(xα,xα)=0 。同樣由正交性，對任意的 β,γ∈A，有：

則g、φβ為正交冪等元集且 f=g+φβ。這與{f:f∈I(B)}是另一極大本原正交冪等元集矛盾，故至多存在一個α∈A 使得 f(xα,xα)=1 ，其余 f(xβ,xβ)=0 。若對任意的 α∈A有 f(xα,xα)=0 ，則當(dāng) μ(xα,xβ)={xα,xβ}時，有：

同樣由 f的冪等性及卷積的定義，可以利用歸納法證明對任意的 xα、xβ,f(xα,xβ)=0 ，這與 f 為非零元矛盾，從而存在唯一的α∈A，使得 f(xα,xα)=1，而對其余的 β∈A，f(xβ,xβ)=0，記此 f為 fα，這樣可記極大本原正交冪等元集 {f:f∈I(B)}為 {fα:α∈A}，即 I(B)中極大正交本原冪等元集的勢相同。

定理1的證明：

首先，在 I(B)的極大正交本原冪等元集{φα:α∈A}

故 f=0，這與假設(shè)矛盾。故{φα:α∈A}是極大非0正交本原冪等元集。

引理5 I(B)中的任一極大正交本原冪等元集的勢相同。

證明設(shè){f:f∈I(B)}是另一極大本原正交冪等元集。由冪等性 f2=f 可知 f(xα,xα)=0 或 f(xα,xα)=1 。若存在 α≠β ，使得 f(xα,xα)=1，f(xβ,xβ)=1，令：上定義偏序“當(dāng)且僅當(dāng)，由,知偏序“”滿足自反性，若 xα≤xβ,令：

（1）σ=φασ+σφα+σ2

（2）υ=φβυ+υφβ+υ2

令τ∈I(B)，則有：

由于 φατφβ=0。將（1）、（2）替換上述等式中的 σ、v，可得：

再用式（1）、（2）替換上述等式中的 σ、v ，可得gατgβ∈J4。經(jīng)過一系列這種代入運(yùn)算，不難歸納得到gατgβ∈J2m。又因?yàn)?，所?gατgβ=0 。

這樣證明了軟I-代數(shù)I(B)的極大正交本原冪等元集上的偏序在同構(gòu)意義下是唯一的，均與(B,≤)同構(gòu)，從而由。在此結(jié)果下，軟集。故定理的必要性成立。由定義知，充分性是顯然的，證畢。