基于Inventor三維參數(shù)化動(dòng)畫(huà)探究圓擺線

嚴(yán)沁瑋

（南京市第一中學(xué)，南京210014）

0 引言

擺線問(wèn)題屬于動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題，它的解決需要相關(guān)的幾何知識(shí)、作圖能力、運(yùn)動(dòng)想象力和探究能力[1-2]。為了彌補(bǔ)運(yùn)動(dòng)想象力的不足，計(jì)算機(jī)虛擬模型和運(yùn)動(dòng)仿真受到了青睞，它有助于幫助探究擺線的生成過(guò)程和軌跡性質(zhì)[3-4]。

在三維實(shí)體動(dòng)畫(huà)和運(yùn)動(dòng)仿真動(dòng)畫(huà)的制作過(guò)程中，三維造型占了很大的工作量。由于參數(shù)化設(shè)計(jì)方法避免了重復(fù)建模，可以提高設(shè)計(jì)效率，因此，本文解析參數(shù)化動(dòng)畫(huà)的制作。

基于三維可視化實(shí)體模擬軟件AutodeskInventor[5-6]，本文創(chuàng)建了參數(shù)化實(shí)體模型，添加聯(lián)接，虛擬裝配，設(shè)置驅(qū)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)了圓擺線軌跡的動(dòng)態(tài)模擬和仿真分析。

1 圓擺線的Inventor三維參數(shù)化動(dòng)畫(huà)

1.1 三維實(shí)體建模與裝配

圓擺線的參數(shù)化模型由固定輪、滾動(dòng)輪和連桿組成，如圖1所示。運(yùn)動(dòng)仿真時(shí)，隱藏連桿不可見(jiàn)，其兩端通過(guò)鉸鏈分別聯(lián)接在固定輪的圓心和滾動(dòng)輪的圓心處。

主要設(shè)計(jì)參數(shù)有：固定輪上的定圓半徑R、滾動(dòng)輪上的動(dòng)圓半徑r。所有設(shè)計(jì)尺寸都可以在參數(shù)表中修改，連桿的長(zhǎng)度取決于定輪和動(dòng)輪的中心距，是關(guān)聯(lián)尺寸。參數(shù)化模型的特點(diǎn)是尺寸驅(qū)動(dòng)設(shè)計(jì)修改。如果改變了設(shè)計(jì)參數(shù)，那么裝配部件和零件的相應(yīng)模型尺寸和特征都可以自適應(yīng)地匹配更新。

圖1 圓擺線的實(shí)體模型與裝配關(guān)系

創(chuàng)建Inventor三維模型時(shí)，先繪制二維草圖，然后“拉伸”或者“旋轉(zhuǎn)-切除”即可完成。虛擬裝配時(shí)，先把定輪固定放置在坐標(biāo)原點(diǎn)處，再將連桿和動(dòng)輪都放置在裝配部件中。編輯“裝配-聯(lián)接”關(guān)系，可以創(chuàng)建和設(shè)置零部件的裝配關(guān)系和運(yùn)動(dòng)自由度。為了添加動(dòng)輪相對(duì)于定輪的公轉(zhuǎn)和自轉(zhuǎn)，需要分別編輯“裝配-聯(lián)接”關(guān)系。

在功能區(qū)面板上，單擊“裝配”選項(xiàng)卡-“關(guān)系”面板-聯(lián)接按鈕，可以開(kāi)啟“編輯聯(lián)接”對(duì)話框。如圖1所示，可以在連桿和動(dòng)輪之間設(shè)置旋轉(zhuǎn)鉸鏈聯(lián)接?！斑B接”1和2，是設(shè)置旋轉(zhuǎn)鉸鏈放置在圖示的綠色圓心處，即連桿一端與動(dòng)輪中心同軸?！皩?duì)齊”1和2，是設(shè)置動(dòng)輪的藍(lán)色對(duì)稱工作面和連桿的對(duì)稱工作面對(duì)齊，以便于旋轉(zhuǎn)角度的測(cè)控。

1.2 運(yùn)動(dòng)仿真和軌跡輸出

在功能區(qū)面板上，單擊“環(huán)境”選項(xiàng)卡-“開(kāi)始”面板-“運(yùn)動(dòng)仿真”按鈕，可以進(jìn)入“運(yùn)動(dòng)仿真”界面，Inventor自動(dòng)將裝配聯(lián)接約束轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)類型的運(yùn)動(dòng)連接約束。

在左側(cè)的結(jié)構(gòu)樹(shù)瀏覽器上，選擇“標(biāo)準(zhǔn)類型-鉸鏈（旋轉(zhuǎn)）運(yùn)動(dòng)”，單擊鼠標(biāo)右鍵并選擇“特性”，開(kāi)啟對(duì)話框。選擇相應(yīng)的“自由度”選項(xiàng)卡，單擊最右側(cè)的“編輯驅(qū)動(dòng)條件”圖標(biāo)，啟用驅(qū)動(dòng)條件，速度設(shè)置為常量。

為了滿足純滾動(dòng)的運(yùn)動(dòng)條件，速度值要關(guān)聯(lián)設(shè)計(jì)參數(shù)。設(shè)θ為動(dòng)圓相對(duì)定圓公轉(zhuǎn)的角度，σ為動(dòng)圓自轉(zhuǎn)的角度。當(dāng)動(dòng)圓相對(duì)定圓做純滾動(dòng)時(shí)，存在幾何關(guān)系R·θ=r·σ。也就是說(shuō)，動(dòng)輪自轉(zhuǎn)與公轉(zhuǎn)的角速度之比，等于定輪與動(dòng)輪的半徑之比，令k=R/r。

在功能區(qū)面板上，單擊“管理”面板-“仿真播放器”按鈕，設(shè)置仿真時(shí)間和仿真過(guò)程要保存的圖像數(shù)。單擊“動(dòng)畫(huà)制作”面板-“發(fā)布電影”按鈕，錄制并保存動(dòng)畫(huà)。

如圖2所示，單擊“結(jié)果”面板-“輸出圖示器”按鈕，打開(kāi)“運(yùn)動(dòng)仿真-輸出圖示器”對(duì)話框，選擇左側(cè)的“軌跡”，單擊鼠標(biāo)右鍵并選擇“新建軌跡”，打開(kāi)“軌跡”對(duì)話框。在圖形區(qū)域中，選擇動(dòng)圓圓周上的一個(gè)位置，從而定義新軌跡。

圖2 圓擺線軌跡的動(dòng)態(tài)模擬

2 圓擺線的仿真分析

2.1 內(nèi)擺線

內(nèi)擺線，是一個(gè)動(dòng)圓在一個(gè)定圓的內(nèi)側(cè)作純滾動(dòng)時(shí)，動(dòng)圓圓周上一個(gè)定點(diǎn)的軌跡。

如圖3所示，不需要重復(fù)建模，可以通過(guò)設(shè)計(jì)參數(shù)驅(qū)動(dòng)，使三維實(shí)體模型自動(dòng)匹配更新，從而高效地動(dòng)態(tài)模擬出多種內(nèi)擺線運(yùn)動(dòng)軌跡。仿真結(jié)果表明：

第一，內(nèi)擺線的瓣數(shù)與封閉性。輸入不同的設(shè)計(jì)參數(shù)R和r，令k=R/r。當(dāng)k=2時(shí)，軌跡是定圓的直徑；當(dāng)k>2取整數(shù)時(shí)，軌跡是定圓內(nèi)側(cè)的有周期性封閉性的k瓣圖案；當(dāng)k為無(wú)理數(shù)時(shí)，軌跡沒(méi)有周期封閉性。

第二，當(dāng)定圓半徑R為定值時(shí)，動(dòng)圓半徑取r或者R-r，軌跡重合。

圖3 多種內(nèi)擺線軌跡

2.2 外擺線

外擺線，是一個(gè)動(dòng)圓在一個(gè)定圓的外側(cè)作純滾動(dòng)時(shí)，動(dòng)圓圓周上一個(gè)定點(diǎn)的軌跡。

如圖4所示，輸入不同的設(shè)計(jì)參數(shù)R和r，可以避免重復(fù)建模，模擬多種外擺線軌跡。

圖4 多種外擺線軌跡

令k=R/r，仿真結(jié)果表明：當(dāng)k=2時(shí)，軌跡是心臟線；當(dāng)k>2取整數(shù)時(shí)，軌跡是定圓外側(cè)的有周期性封閉性的k瓣圖案；當(dāng)k為無(wú)理數(shù)時(shí)，軌跡沒(méi)有周期封閉性。

2.3 內(nèi)次擺線

內(nèi)次擺線，又稱變幅內(nèi)擺線，亦稱長(zhǎng)（短）幅圓內(nèi)旋輪線，是一個(gè)動(dòng)圓在一個(gè)定圓的內(nèi)側(cè)作純滾動(dòng)時(shí)，動(dòng)圓平面內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)的軌跡。當(dāng)定點(diǎn)在動(dòng)圓內(nèi)，軌跡是短幅內(nèi)擺線；當(dāng)定點(diǎn)在動(dòng)圓外，軌跡是長(zhǎng)幅內(nèi)擺線。

如圖5所示，添加定點(diǎn)參數(shù)，添加軌跡，可以同時(shí)輸出多種內(nèi)次擺線運(yùn)動(dòng)軌跡。仿真結(jié)果表明：軌跡曲線與k值相關(guān)，與定點(diǎn)到動(dòng)圓圓心的距離相關(guān)。

2.4 外次擺線

外次擺線，又稱變幅外擺線，亦稱長(zhǎng)（短）幅圓外旋輪線，是一個(gè)動(dòng)圓在一個(gè)定圓的外側(cè)作純滾動(dòng)時(shí)，動(dòng)圓平面內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)的軌跡。當(dāng)定點(diǎn)在動(dòng)圓內(nèi)，軌跡是短幅外擺線；當(dāng)定點(diǎn)在動(dòng)圓外，軌跡是長(zhǎng)幅外擺線。

如圖6所示，在k=7的外擺線模型上，改變定點(diǎn)參數(shù)，可得多種外次擺線軌跡。類似地，仿真結(jié)果表明：外次擺線軌跡曲線與k值有關(guān)，與定點(diǎn)到動(dòng)圓圓心的距離有關(guān)。K為無(wú)理數(shù)時(shí)，軌跡沒(méi)有周期封閉性。

圖5 多種內(nèi)次擺線軌跡

3 結(jié)語(yǔ)

基于Inventor，本文實(shí)現(xiàn)了內(nèi)擺線和外擺線的參數(shù)化設(shè)計(jì)和軌跡仿真，并改變定點(diǎn)參數(shù)，動(dòng)態(tài)模擬了內(nèi)次擺線和外次擺線運(yùn)動(dòng)軌跡。通過(guò)軌跡仿真，有利于探究圓擺線的生成過(guò)程，理解其軌跡性質(zhì)。本文實(shí)例解析了Inventor參數(shù)化動(dòng)畫(huà)的制作和應(yīng)用，提高了設(shè)計(jì)效率，可以推廣應(yīng)用于其他的產(chǎn)品設(shè)計(jì)和運(yùn)動(dòng)仿真。

圖6 多種外次擺線軌跡