高中數(shù)學(xué)解析幾何中的解題技巧總結(jié)

李軒宇

摘要：在高中數(shù)學(xué)的幾何問(wèn)題的處理過(guò)程中，有人將解析法比喻為一把鋒利的快刀，這是有一定的道理的。而在運(yùn)用解析法的過(guò)程中，如果使用不當(dāng)，就會(huì)使運(yùn)算過(guò)程非常復(fù)雜。因此，我們有必要總結(jié)出一些解題技巧。本文根據(jù)高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的總結(jié)的經(jīng)驗(yàn)，例談高中數(shù)學(xué)解析幾何中的解題技巧。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 解析幾何 解題技巧

前言

在整個(gè)高中數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)中，解析幾何這部分內(nèi)容非常重要。然而，當(dāng)我們?cè)趯W(xué)習(xí)這些這部分內(nèi)容時(shí)，往往感覺(jué)難度不小。從歷年高考試題解析幾何部分的得分情況來(lái)看，不容樂(lè)觀。隨著新課程改革的到來(lái)，其對(duì)我們學(xué)生的分析問(wèn)題能力和解決問(wèn)題的能力提出了越來(lái)越高的要求。對(duì)于這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)，我們有必要重視起重要性，并總結(jié)出一些解題技巧，從而為我們以后解析幾何的解題提供參考。

一、高中數(shù)學(xué)引入解析幾何的重要性分析

縱觀高中數(shù)學(xué)課程的整個(gè)體系，解析幾何這部分內(nèi)容占據(jù)了重要的地位，該部分內(nèi)容對(duì)于我們學(xué)生的順序思維和能力的培養(yǎng)有較大的幫助。具體而言，可以從下面三個(gè)角度來(lái)分析。首先，高中解析幾何這部分內(nèi)容有著承上啟下的功能，這部分內(nèi)容不僅能夠?qū)Τ踔兴鶎W(xué)的平面幾何內(nèi)容進(jìn)行了補(bǔ)充，還是為我們進(jìn)入大學(xué)之后的《空間解析幾何》等課程的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。其次，在高中數(shù)學(xué)所有知識(shí)點(diǎn)中，解析幾何這部分內(nèi)容是一個(gè)交叉點(diǎn)。這部分內(nèi)容往往要將已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的代數(shù)和向量部分的內(nèi)容結(jié)合起來(lái)。如果缺乏這部分內(nèi)容的基礎(chǔ)，那么就很難真正學(xué)好解析幾何。因此，我們要在基于學(xué)習(xí)和掌握這部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)之后，靈活加以運(yùn)用，從而提升自己的數(shù)學(xué)能力。再次，解析幾何這部分內(nèi)容注重方法論?？傮w來(lái)看，其特點(diǎn)不僅抽象，而且系統(tǒng)性也很強(qiáng)，知識(shí)體系比較完善。因此，解析幾何這部分內(nèi)容的深入學(xué)習(xí)，不但能夠培養(yǎng)我們是數(shù)學(xué)思維，而且能夠增強(qiáng)我們對(duì)其他學(xué)科或領(lǐng)域的應(yīng)用。

二、高中數(shù)學(xué)解析幾何中的解題技巧總結(jié)

（一）緊密結(jié)合代數(shù)知識(shí)解題

通過(guò)大量幾何試題的求解經(jīng)驗(yàn)可知，在解析幾何問(wèn)題中，使用坐標(biāo)系，根據(jù)代數(shù)的方法來(lái)研究幾何問(wèn)題，這種方法是非常普遍。很多時(shí)候，當(dāng)我們直接求解解析幾何問(wèn)題沒(méi)有頭緒的時(shí)候，使用代數(shù)方法往往能夠有“柳暗花明又一村”的感覺(jué)。高中解析幾何中作為一般點(diǎn)的軌跡的直線、圓、圓錐曲線的研究都運(yùn)用了坐標(biāo)這一工具：根據(jù)直線、圓、圓錐曲線的圖形特征或定義，探究它們的方程；通過(guò)研究方程得到直線、圓、圓錐曲線的幾何性質(zhì)，這些都充分體現(xiàn)了坐標(biāo)法的重要性。例如，在這個(gè)“求到兩定點(diǎn)的距離之比等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡”問(wèn)題的求解過(guò)程中，取平面直角坐標(biāo)系，使兩定點(diǎn)的連線為x軸，且連線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)，并設(shè)兩定點(diǎn)的距離為2b，則兩定點(diǎn)分別為M（b，0）N（-b，0），N（x，y）是軌跡上任意一點(diǎn)，常數(shù)為n，最終得到軌跡方程（n²-1）（x²+y²）+2b（n²+1））x+b²（n²-1）=0

（二）充分利用幾何圖形性質(zhì)簡(jiǎn)化解題過(guò)程

在對(duì)幾何圖形相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行求解的時(shí)候，在充分運(yùn)用圖形性質(zhì)之后，將代數(shù)知識(shí)與幾何知識(shí)有機(jī)結(jié)合在一起，往往可以使問(wèn)題變得更加簡(jiǎn)單，從而為考場(chǎng)上贏得解題時(shí)間優(yōu)勢(shì)。并且，如果使用的解題方法更簡(jiǎn)單，那么解題出錯(cuò)的概率要小得多。在數(shù)形結(jié)合幾何問(wèn)題中，主要有這四類問(wèn)題，第一，軌跡求解問(wèn)題。第二，求值問(wèn)題。第三，求范圍問(wèn)題。第四，求最值問(wèn)題。第五，求證明問(wèn)題。比如，在對(duì)曲線軌跡方程求解的過(guò)程中，通過(guò)幾何條件，可以對(duì)軌跡的曲線類型進(jìn)行判斷，然后通過(guò)待定系數(shù)法來(lái)求解。

（三）用函數(shù)（變量）的觀點(diǎn)來(lái)解決問(wèn)題

函數(shù)能夠描述客觀世界中變量間依賴關(guān)系，函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的地位的非常重要的。在解題的過(guò)程中，合理地運(yùn)用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)解題，往往會(huì)使解題過(guò)程變得更加簡(jiǎn)單。對(duì)于解析幾何問(wèn)題而言，由于線或點(diǎn)發(fā)生改變，從而導(dǎo)致圖形中其他量的改變，這樣類型的題目，往往可以使用函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)求解。例如，在某次全國(guó)高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題中，已知拋物線y²=6x上的2個(gè)動(dòng)點(diǎn)A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂），其中x₁≠x₂且X₁+X₂=4。線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)C，求AABC面積的最大值。

解題思路：在閱讀題干之后，我們可以了解到，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是不變的，縱坐標(biāo)是變化的。因此，我們可以將AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)作為主變量，設(shè)法構(gòu)造出函數(shù)，從而將解析幾何問(wèn)題通過(guò)函數(shù)的觀點(diǎn)來(lái)求解。

解題思想總結(jié)：在本題的解答過(guò)程中，用到了函數(shù)（變量）的觀點(diǎn)。其中，巧妙地進(jìn)行消元和轉(zhuǎn)化，采用了“設(shè)而不求”的策略，最后求得△ABC面積的表達(dá)式，轉(zhuǎn)化為求最值問(wèn)題。

三、小結(jié)

在高中奧賽和高考中，解析幾何這部分內(nèi)容幾乎是每年的必考題。通過(guò)對(duì)大量的歷年考題的分析，可發(fā)現(xiàn)，這部分試題的主要特點(diǎn)是難度較大，靈活性較強(qiáng)。為了順利解答這些題目，我們高中生應(yīng)當(dāng)學(xué)會(huì)總結(jié)這類題的特點(diǎn)，有針對(duì)性地訓(xùn)練，從而在考試中獲得更好的成績(jī)。