四旋翼飛行器的自適應二階滑模控制

北京信息科技大學自動化學院，北京 100192

一、引言

四旋翼飛行器體積小、質(zhì)量輕、操作簡單且作業(yè)靈活，能夠在狹小的環(huán)境中起飛。飛行模式更是多樣化：垂直起飛、前飛、倒飛、側(cè)飛及懸停等。其簡單的結(jié)構(gòu)使得它的成本低廉，便于制作與維護[1]。其高度的機動性和低廉的成本使四旋翼飛行器擁有廣闊的市場和應用前景，成為了國內(nèi)外的研究熱點。

姿態(tài)的精確控制直接影響飛行器的飛行品質(zhì)，此外，由于四旋翼飛行器的質(zhì)量較輕，飛行時易受到外界的干擾，所以設計一個魯棒性強、精確度高的姿態(tài)控制器及其重要。

目前，已有多種控制算法應用于四旋翼飛行器的控制中，取得了不錯的控制效果。PID控制器設計簡單，有一定的魯棒性，但在處理不確定性問題上不夠理想[2]；自適應控制在處理不確定和未知參數(shù)問題有較好的控制效果[3]，劉一莎等[4]針對四旋翼飛行器參數(shù)不確定性和外部干擾的問題，設計了一種自抗擾控制器，獲得了較好的控制效果；模糊控制[5-6]、滑?？刂芠7-8]等控制算法也在飛行控制中取得了成功。然而，這些控制算法較為復雜，應用于四旋翼飛行器的實時控制時有一定困難。

為解決四旋翼飛行器參數(shù)變化和控制精度的問題，本文以光滑二階滑?？刂茷榛A[9]，綜合考慮抖振處理及有限時間收斂問題，將自適應光滑二階滑?？刂品椒☉糜谒男盹w行器控制系統(tǒng)?；Ｓ^測器的設計對模型參數(shù)變化能夠在線估計，自適應光滑二階滑?？刂茰p弱了傳統(tǒng)滑?？刂频亩墩?，控制器參數(shù)的在線調(diào)整提高了系統(tǒng)的控制精度；基于李雅普諾夫函數(shù)證明了系統(tǒng)的有限時間穩(wěn)定。數(shù)字仿真和實驗結(jié)果都驗證了所提控制方法的有效性。

二、四旋翼飛行器控制模型

四旋翼飛行器的姿態(tài)系統(tǒng)是一個4輸入3輸出的對象，系統(tǒng)的輸入為4個電機的電壓，系統(tǒng)輸出為3個自由度：俯仰角、滾轉(zhuǎn)角和偏航角。其中前向、左向和右向的螺旋槳為上下朝向，尾部的螺旋槳為左右朝向。系統(tǒng)的姿態(tài)角可由平臺的編碼器檢測獲得。

在此以固高公司的四旋翼飛行器為例，建立四旋翼飛行器的數(shù)學模型[10]。

1、參考坐標系

四旋翼飛行器的坐標系如圖1所示。其中，支架的中心設為左邊原點，x軸指向前向電機，y軸指向右向電機。定義正前方及左右向電機轉(zhuǎn)動帶動螺旋槳產(chǎn)生的力與z軸同向為正方向，尾部電機轉(zhuǎn)動帶動螺旋槳產(chǎn)生的力與y軸同向為正方向[10]。

2、姿態(tài)角平衡方程

姿態(tài)角力矩平衡方程的建立基于以下假設：

①剛啟動時系統(tǒng)3自由度的角度為0°，忽略各種摩擦力、電機阻尼力矩；

②忽略電機達到給定轉(zhuǎn)速的時間；

③假設螺旋槳不同方向運動所產(chǎn)生的力大小相同。

（1）俯仰角的力矩平衡方程

定義俯仰角的正方向為前向電機向下運動的夾角，由受力分析，可得到如下方程：

其中，

P—俯仰角；

JP—飛行器繞y軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量；

Lf—前向螺旋槳中心至y軸的距離；

Lc—左右螺旋槳中心至y軸的距離；

Ff—前向電機的升力；

Fr—右向電機的升力；

Fl—左向電機的升力；

Kfc—有不確定性的力電比系數(shù)；

Uf、Ul、Ur—分別為前向、左向和右向電機電壓。將式（2）～（5）帶入式（1），得：

（2）滾轉(zhuǎn)角的力矩平衡方程

定義滾轉(zhuǎn)角的正方向為右向電機向下運動的夾角，由受力分析，可得到如下方程：

其中，R—滾轉(zhuǎn)角；

JR—飛行器繞x軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量；

La—左右向螺旋槳中心至x軸的距離。

將式（4）（5）（8）帶入式（7），得：

（3）偏航角的力矩平衡方程

定義繞z軸順時針轉(zhuǎn)動為偏航角的正方向，建立如下方程：

其中，Y—偏航角；

JY—飛行器繞z軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動慣量；

Fb—尾部電機升力。

把式（11）帶入式（10）得：

表1 四旋翼飛行器系統(tǒng)參數(shù)表[10]

四旋翼飛行器模型參數(shù)如表1所示。令：

其中，Kfc0—Kfc的標稱值；

D ΔKfc—力電比變化引起的不確定部分。

將表1中參數(shù)及式（13）帶入式（6）、（9）、（12）得：

式（14）可轉(zhuǎn)化成如下數(shù)學模型：

Δf—ΔKfc所引起的不確定性部分。

三、自適應光滑二階滑模姿態(tài)控制器設計

本文的目標是設計一個合適的控制量u，使四旋翼飛行器的實際姿態(tài)角精確跟蹤期望指令。姿態(tài)系統(tǒng)采用自適應光滑二階滑?？刂破鳎捎没Ｓ^測器補償不確定性部分，四旋翼飛行器姿態(tài)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框圖如圖2所示。

1、滑模干擾觀測器設計

誤差系統(tǒng)中含有不確定性部分Δf，本文采用超螺旋算法來設計滑模干擾觀測器對Δf進行估計。

定義狀態(tài)跟蹤誤差e為：

其中，xref—系統(tǒng)期望狀態(tài)量。

對式（16）求導，并將式（15）帶入，可得誤差系統(tǒng)如下：

定理 1：假設 Δf=[0 Δf20 Δf40 Δf6]T滿足，其中i=1, 2,…,6，δ為未知正數(shù)，σi定義為觀測器輔助滑模面，則對系統(tǒng)（17）構(gòu)造如下滑模干擾觀測器：

其中，σ—觀測器滑模面，

x—系統(tǒng)狀態(tài)；

z—輔助狀態(tài)；

Δ?—滑模干擾觀測器對Δf的估計值；v—輔助控制輸入。

其中，α1、α2為觀測器增益。

當增益α1、α2滿足式（20）時，能使σi和在有限時間To=2V1/2(σi(0))/η1后收斂到 0，即能夠在有限時間內(nèi)逼近0：

證明，對式（18）求導，并將式（15）代入得：

將式（19）代入式（21）得：

其中，系統(tǒng)增光狀態(tài)。

由式（22）、（23）變換形式如下：

取Lyapunov函數(shù)為：

其中，P1—正定矩陣，則V1是在σi=0處不可微的連續(xù)正定函數(shù)。

對式（25）求時間導數(shù)，并把式（24）代入得：

此處令的最小特征值大于0，有式（20）成立，則>0，負定。

其中，λmin{·}和λmax{·}—分別表示矩陣的最小特征值和最大特征值。

于是，式（28）可變換如下：

因此，σi(t)能在有限時間內(nèi)收斂到0。

2、控制器設計

取自適應光滑二階滑模趨近律為：

其中，e—狀態(tài)跟蹤誤差，

ew—系統(tǒng)的增廣狀態(tài)，

l1和l2—自適應參數(shù)；

ρ—控制器設計參數(shù)；

ε和λ—任意正實數(shù)。

將式（17）和式（33）合并，結(jié)合前文滑模觀測器設計，得到如式（36）自適應光滑二階滑?？刂坡桑軌蚴瓜到y(tǒng)（15）有限時間穩(wěn)定，于是有定理2。

定理2：對于姿態(tài)系統(tǒng)（15）在自適應光滑二階滑?？刂坡桑?4～36）的作用下，當m≥2且適當選取參數(shù)ρ，能使跟蹤誤差e及其導數(shù)有限時間趨于0。

證明，把式（36）代入式（17），得到如下誤差系統(tǒng)：

式中，干擾觀測器能夠保證eo在有限時間To收斂至0。取Lyapunov函數(shù)為：

其中，P2—對稱正定矩陣，

由式（39）變換形式如下：

對式（41）求導，結(jié)合式（40）化簡可得：

再結(jié)合式（39）得：

于是，式（43）可變換如下：

假設l1和l2界限為，則任意t≥0 時且，即式（38）的導數(shù)有如下形式：

四、基于Simulink仿真

為檢驗本文所設計控制器能夠處理參數(shù)變化的問題，在力電比為標稱值、增加40%以及減少40%的情況下，采用本文設計的控制器對四旋翼飛行器姿態(tài)模型進行仿真。

飛行器初始狀態(tài)為：Ω0=[0 0 0 0 0 0]T

系統(tǒng)期望狀態(tài)值設為：xref=[10 0 -10 0 15 0]T

控制器的仿真參數(shù)為：m=5,ρ=0.35,ε=0.1,λ=0.01,α1=0.7,α2=0.01

仿真結(jié)果如圖3～圖5所示。由圖可知，力電比為標稱值時，姿態(tài)角的跟蹤曲線響應時間為1.3s，穩(wěn)態(tài)誤差小于0.05°；當力電比增加40%時，響應時間為1.6s，穩(wěn)態(tài)誤差仍小于0.05°；當力電比減少40%時，響應時間為1.1s，穩(wěn)態(tài)誤差無明顯變化。

綜上所述，滑模干擾觀測器能對不確定性部分補償，自適應光滑二階滑?？刂破髂苁顾男盹w行器的各個姿態(tài)角快速跟蹤期望值，超調(diào)量小，控制精度高。

五、四旋翼飛行器實驗

在仿真結(jié)果良好的情況下，對固高公司的四旋翼飛行仿真器進行姿態(tài)的實時控制實驗，并對結(jié)果進行分析。實時控制系統(tǒng)的硬件包括仿真飛行器、數(shù)據(jù)采集卡等，軟件為Matlab/Sumulink實時控制軟件。四旋翼飛行器實驗系統(tǒng)如圖6所示。

實時控制實驗中存在很多不確定因素，例如：

（1）仿真器的旋螺槳正反轉(zhuǎn)不對稱，使得相同電壓輸入?yún)s產(chǎn)生不同的升力；

（2）系統(tǒng)各個姿態(tài)角難以處于絕對零度狀態(tài)，因此運動時，姿態(tài)角之間會相互干擾；

（3）實驗時，旋螺槳易受到干擾；

（4）為保護旋螺槳，要求電機不能頻繁切換方向。

實驗中設定初始狀態(tài)為：Ω0=[0 0 0 0 0 0]T

系統(tǒng)期望狀態(tài)設為：xref=[10 0 -10 0 15 0]T

控 制 器 的 參 數(shù) 為：m=5,ρ=0.4,ε=0.1,λ=0.01,α1=1.2,α2=0.02

四旋翼飛行器姿態(tài)的實時控制曲線如圖7～圖9所示。由圖7可知，俯仰角能在7s內(nèi)收斂至期望指令，穩(wěn)態(tài)誤差在0.3°內(nèi)；滾轉(zhuǎn)角能在15s內(nèi)到達期望指令，穩(wěn)態(tài)誤差在0.2°內(nèi)；偏航角在4s內(nèi)收斂至期望指令，穩(wěn)態(tài)誤差小于0.5°。

因此，在實時控制實驗中，四旋翼仿真器三軸姿態(tài)角能快速準確地跟蹤期望角指令，且有較好的動態(tài)性能和魯棒性。

六、結(jié)論

本文針對具有參數(shù)變化的四旋翼飛行器控制問題，將自適應光滑二階滑模算法應用于四旋翼飛行器控制系統(tǒng)中?；Ｓ^測器能夠補償系統(tǒng)不確定性部分，自適應二階滑?？刂破骺刂迫S姿態(tài)角快速準確地跟蹤期望指令?；贚yapunov理論證明控制系統(tǒng)能在有限時間穩(wěn)定。最后通過數(shù)字仿真和四旋翼飛行器實驗驗證了所提控制策略的有效性。