非奇異M矩陣研究

張愛萍

(呂梁學院 汾陽師范分校數(shù)學與科學系,山西 汾陽 032200)

M矩陣是重要的特殊矩陣之一，它是瑞士數(shù)學家Ostrowski在1937年首次提出的術語[1]，隨后科學家和經(jīng)濟學家進一步發(fā)展了M矩陣的理論及應用[2].現(xiàn)在M矩陣在計算數(shù)學、經(jīng)濟學、生物科學、人工智能等很多領域都具有重要的應用[3].本文將重點研究非奇異M矩陣的一些重要特性.

1 M矩陣與非奇異M矩陣

定義1[4]設A∈Rn×n，并且可以表示為

A=sI-B,s>0,B≥0

(1)

若s≥ρ(B),則稱A為M矩陣；s>ρ(B),則稱A為非奇異M矩陣.

記

Zn×n={A=(aij)∈Rn×n|aij≤0(i,j=1,2,…,n,i≠j)}

(2)

2 有關非奇異M矩陣的主要結論

定理1[6]設A=(aij)∈Zn×n,為非奇異M矩陣，并且D∈Zn×n滿足D≥A,則

①A-1與D-1存在，A-1≥D-1≥0;

②D的每一個實特征值為正數(shù)；

③det(D)≥det(A)>0.

證①由于A為非奇異M矩陣，因此有

A=sI-B,s>0,B≥0

(3)

對于任意實數(shù)ω≤0,考慮矩陣

C=A-ωI=(s-ω)I-B

(4)

由于s-ω>ρ(B),故C也為非奇異M矩陣.這說明非奇異M矩陣的每一個實特征值必為正數(shù).由于D∈Zn×n，所以存在足夠小的正數(shù)s，使得

P=I-εD≥0

(5)

由于D≥A，則得

Q=I-εA≥I-εD=P≥0

(6)

又由于ρ(Q)為Q的非負特征值，所以

det[(1-ρ(Q))I-εA]=det(Q-ρ(Q)I)=0

(7)

(I-Q)-1=(εA)-1=I+Q+Q2+…≥0

(8)

故有A-1≥0.由Q≥P≥0,可得

0≤Pk≤Qk,k=1,2,…

(9)

且有ρ(P)≤ρ(Q)<1,因此可得

(I-P)-1=(εD)-1=I+P+P2+…≤(εA)-1

(10)

從而得到A-1≥D-1≥0，即①得證.

②任取α≤0,則D-αI≥A,由①可得D-αI非奇異，因而D的所有實特征值為正數(shù).從而②得證.

③通過以上分析，只需證明：如果A∈Zn×n的所有實特征值為正數(shù)，并且D∈Zn×n滿足D≥A,則③成立.

實際上，對矩陣的階數(shù)n應用歸納法.當n=1時，顯然③是成立的.假設對k(1≤k

(11)

(A-1)m≥(D-1)m≥0

(12)

其中，(A-1)m表示A-1的(m,m)元素，即

(13)

因此，det(A)>0,det(D)>0,進一步利用歸納假設可得

det(D)≥det(A)det(D1)/det(A1)≥det(A)>0

(14)

定理2 設A=(aij)∈Zn×n,則下列8個命題是等價的

①A為非奇異M矩陣；

②如果B∈Zn×n,并且B≥A,則B非奇異；

③A的任意主子矩陣的每一個實特征值為正數(shù)；

④A的所有主子式為正數(shù)；

⑤對于每個k(1≤k≤n)，A的所有k階主子式之和為正數(shù)；

⑥A的每一個實特征值為正數(shù)；

⑦存在A的一種分裂A=P-Q,使得P-1≥0,Q≥0,并且ρ(P-1Q)<1;

⑧A非奇異并且A-1≥0.

證由定理1很容易得到①?②.

②?③設Ak是A的任一k階主子矩陣，K表示Ak在A中的行(列)序數(shù)集，λ是Ak的任一特征值.接下來使用反證法證明λ>0.

假設λ≤0.定義矩陣B=(bij)∈Zn×n,如下：

(15)

③?④因為實方陣的復特征值成共軛對出現(xiàn)，所以實方陣所有的非實特征值的乘積為正數(shù).由③可知，A的所有主子式為正數(shù).

④?⑤顯然成立.

⑤?⑥由于

det(A-λI)=(-λ)n+b1(-λ)n-1+…+bn

(16)

其中，bk是A的所有k階主子式之和.由⑤可知bk>0(k=1,2,…,n)，故式(16)不可能有非正的實根，即A的每一個實特征值為正數(shù).

⑥?①設A=sI-B,s>0并且B≥0，則s-ρ(B)為A的實特征值，⑥可知它為正數(shù)，即s>ρ(B).故A為非奇異M矩陣.

①?⑦取P=sI,Q=B,并且s,B滿足

A=sI-B,s>ρ(B),B≥0

(17)

⑦?⑧由⑦可得A=P(I-C),其中C=P-1Q. 由于ρ(C)<1，有

A-1=(I-C)-1P-1=(I+C+C2+…)P-1

(18)

于是由C=P-1Q≥0,可得A-1≥0.

⑧?①記A-1=G=(gij),則由⑧可知G≥0.又由AG=I可得

(19)

因為aij≤0,gij≥0(i≠j)，則有

(20)

由式(20)再結合gii≥0得

aii>0,gii>0,i=1,2,…,n

(21)

Ax=(s-ρ(B))x

(22)

因為A是可逆的，所以s≠ρ(B).于是

(23)

由于A-1≥0,x≥0并且x≠0,所以s>ρ(B).因此A為非奇異M矩陣.

3 有關一般M矩陣的主要結論

實際上，一般M矩陣與非奇異M矩陣在應用中幾乎同等重要，下面再討論一般M矩陣的一些特性.

定理3 設A=(aij)∈Zn×n,則下面幾個命題彼此等價：

①A是M矩陣；

②對于每個ε>0,A+εI是非奇異M矩陣；

③A的任意主子矩陣的每一個實特征值非負；

④A的所有主子式非負；

⑤對于每個k(1≤k≤n),A的所有k階主子式之和為非負實數(shù)；

⑥A的每個實特征值均非負.

證①?②由M矩陣的定義易證.

②?③設Ak為A的任一k階主子矩陣，λ為Ak的任一實特征值.如果λ為負實數(shù)，由②可知B=A-λI也為非奇異M矩陣.再假設Bk是B的k階主子矩陣，其行、列序號與Ak在A中的行、列序號相同.由定理2的④可得det(Bk)>0.因為λ為Ak的特征值，所以det(Bk)=det(Ak-λI)=0,但這與前述相矛盾.即③成立.

③?④由于A的主子式等于相應主子矩陣的所有特征值的乘積，而非實特征值之積為正數(shù)，實特征值之積為非負的，因此④成立.

④?⑤很明顯成立.

⑤?⑥與定理2證明中⑤?⑥的證法相類似.因為

det(A-λI)=(-λ)n+b1(-λ)n-1+…+bn

(24)

其中，bk為A的所有k階主子式之和.由⑤可知bk≥0(k=1,2,…,n),那么式(24)不可能有負實根，即A的每個實特征值均是非負的.

⑥?①用與定理2中證明⑥?①相類似的方法即可證得.