不確定線性時(shí)滯系統(tǒng)的有限時(shí)間魯棒無(wú)源控制

王 欣, 吳保衛(wèi)

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,西安 710119)

在許多工程問(wèn)題中,穩(wěn)定性研究常常和系統(tǒng)的耗散性理論相結(jié)合.耗散性是指動(dòng)態(tài)系統(tǒng)內(nèi)部的能量消耗小于外部供給的能量[1].作為系統(tǒng)耗散性概念的一個(gè)特例,無(wú)源性不僅是系統(tǒng)的一個(gè)重要性質(zhì),而且是控制系統(tǒng)的重要途徑.

無(wú)源性理論由Willems在1972年首次提出,后由Hill和Moylan于1980年加以推廣[2-3].近年來(lái),無(wú)源性分析和基于無(wú)源理論的控制設(shè)計(jì)逐步發(fā)展起來(lái),在線性和非線性系統(tǒng)的控制設(shè)計(jì)和分析中發(fā)揮著重要的作用[4-6].

在系統(tǒng)的收斂性分析中,有幾類經(jīng)典的穩(wěn)定性概念.例如,李雅普諾夫穩(wěn)定性、漸近穩(wěn)定性、有界輸入有界輸出穩(wěn)定性.這些概念定義在無(wú)限時(shí)間區(qū)間上并且表明了動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的定性行為.然而,在實(shí)際應(yīng)用中,給定初始條件約束,總是希望動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)不超過(guò)某個(gè)閾值.因此提出了有限時(shí)間穩(wěn)定的概念.目前,鑒于線性矩陣不等式理論的發(fā)展,有限時(shí)間穩(wěn)定的概念重新被研究并取得了很多新的成果.文獻(xiàn)[7]利用李雅普諾夫函數(shù)結(jié)合線性矩陣不等式方法對(duì)一類連續(xù)和離散系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定和鎮(zhèn)定問(wèn)題進(jìn)行了討論.文獻(xiàn)[8]首次解決了一類不確定脈沖動(dòng)態(tài)線性系統(tǒng)的魯棒有限時(shí)間穩(wěn)定問(wèn)題,并給出了基于嚴(yán)格線性矩陣不等式表示的保證系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定的充分條件.

時(shí)滯在實(shí)際系統(tǒng)中廣泛存在[9-10],它可以降低控制系統(tǒng)的性能甚至使系統(tǒng)不穩(wěn)定.因此,研究不確定時(shí)滯系統(tǒng)的無(wú)源控制問(wèn)題得到了許多學(xué)者的關(guān)注.文獻(xiàn)[11]討論了一類具有狀態(tài)時(shí)滯的不確定奇異系統(tǒng)的魯棒無(wú)源問(wèn)題;文獻(xiàn)[12]研究了離散切換時(shí)滯奇異系統(tǒng)的有限時(shí)間H控制,該條件與時(shí)滯大小無(wú)關(guān),因而具有較大的保守性;文獻(xiàn)[13]分析了具有時(shí)滯依賴馬爾可夫跳躍系統(tǒng)有限時(shí)間H控制;文獻(xiàn)[14]解決了一類具有時(shí)滯的不確定非線性系統(tǒng)的有限時(shí)間魯棒無(wú)源控制問(wèn)題.

本文通過(guò)構(gòu)造無(wú)記憶狀態(tài)反饋控制器解決了一類不確定時(shí)滯線性系統(tǒng)的有限時(shí)間魯棒無(wú)源控制問(wèn)題.引入新的積分不等式解決了李雅普諾夫函數(shù)的求導(dǎo)問(wèn)題,以線性矩陣不等式形式得到的充分條件保證了閉環(huán)系統(tǒng)是有限時(shí)間有界并且滿足給定的無(wú)源指數(shù).

1 預(yù)備知識(shí)和問(wèn)題描述

考慮下面不確定時(shí)滯系統(tǒng)：

y(t)=(C+ΔC)x(t)+(C1+ΔC1)x(t-τ(t))+(D+ΔD)u(t)+(D1+ΔD1)ω(t)

x(t)=φ(t),t∈[-τ,0]

(1)

其中，R1,R2,S1,S2,S3,S4是已知的實(shí)常矩陣,F是具有Lebesgue可測(cè)范數(shù)的實(shí)不變未知矩陣,且滿足FTF

考慮狀態(tài)反饋控制器:u(t)=(K+ΔK)x(t),ΔK是擾動(dòng)矩陣,ΔK=GFcHK,其中G,H是已知的實(shí)常矩陣,Fc是未知矩陣,滿足FcF≤I.

由系統(tǒng)與狀態(tài)反饋控制器構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)為:

x(t)=φ(t),t∈[-τ,0]

(2)

定義2[16]對(duì)于系統(tǒng)(1),狀態(tài)反饋控制器稱作具有耗散率η的有限時(shí)間無(wú)源控制器,如果閉環(huán)系統(tǒng)(2)是有限時(shí)間有界的,且存在正實(shí)數(shù)η,使

引理1[17]設(shè)X,Y,ε分別是已知常矩陣與任意正實(shí)數(shù)，則有

XTY+YTX≤εXTX+ε-1YTY.

(1)S<0;

引理3[19]對(duì)于任意的常矩陣N1,N2∈Rn×n,L∈Rn×p,正定對(duì)稱矩陣Z∈Rn×n和時(shí)變時(shí)滯τ(t),有:

其中：

2 主要結(jié)果

定理1 對(duì)于δ,c1,T,ω>0和正定矩陣Rc,閉環(huán)系統(tǒng)(2)關(guān)于(c1,c2,ω,T,Rc)是有限時(shí)間有界的,如果存在常數(shù)c2>0,正定矩陣Pi(i=1,2,3)和任意矩陣N1,N2,L,使得

其中，Ξ和Y在引理3中被定義，且有:

證明選取以下Lyapunov-Krasovskii函數(shù)

V(x(t))=V1(x(t))+V2(x(t))+V3(x(t))=

對(duì)V(x(t))求導(dǎo)得：

δωT(t)ω(t)≤

ξT(t)[Θ1+τΛTP3Λ+τYTP3-1Y]ξ(t)

上式兩邊積分有：

且

故

因?yàn)?/p>

所以

由定義1可知系統(tǒng)是有限時(shí)間穩(wěn)定的.

定理2 對(duì)于δ,c1,T,ω>0和正定矩陣Rc,閉環(huán)系統(tǒng)(2)關(guān)于(c1,c2,ω,T,Rc)是有限時(shí)間有界且是魯棒無(wú)源的,如果存在常數(shù)c2>0,β>0正定矩陣Pi(i=1,2,3)和任意矩陣N1,N2,L,使得

其中：

證明選取和定理1相同的Lyapunov-Krasovskii函數(shù)

因此,由定理?xiàng)l件和Schur補(bǔ)引理可得:

上式兩邊積分可得：

故

其中：

σRc-1

則得到了魯棒有限時(shí)間無(wú)源控制器:K=YX-1.

證明選取和定理1相同的Lyapunov-Krasovskii函數(shù)V(x(t))，根據(jù)引理3，定理2，我們可得如下的關(guān)系：

其中：

ψ11=(A+BK)TP1+P1(A+BK)+P2-δP1+N1T+N1

φ11=ΔATP1+P1ΔA+ΔKTBTP1+P1BΔK+P1ΔBK+KTΔBTP1T+P1ΔBΔK+ΔKTΔBTP1

φ13=P1ΔB1-ΔCT-ΔKTDT-KTΔDT-ΔKTΔDT

φ14=τ(ΔAT+ΔKTBT+KTΔBT+ΔKTΔBT)

上式可等價(jià)為

Ω2=Σ+W1FW2T+W2FTW1T+W1FW3T+W3FTW1T+W4FcW5T+W5FcW4T<0

由引理3，上式對(duì)所有滿足FTF≤I,FcTFc≤I的不確定矩陣F,Fc成立,當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù)η1>0,η2>0,η3>0使得

Σ+(η1+η2)W1W1T+η1-1W2W2T+(η2-1λ5+η3-1)W5W5T+η3W4W4T

Σ322=diag[-(η1+η2)-1I,-η1I,-η3-1I,-(η3-1+η2-1λ5)-1I],

其中：

3 結(jié)論

本文研究了不確定時(shí)滯線性系統(tǒng)的魯棒有限時(shí)間無(wú)源控制問(wèn)題.通過(guò)使用無(wú)源控制理論和李雅普諾夫函數(shù)方法,得到的時(shí)滯依賴充分條件使得閉環(huán)系統(tǒng)滿足有限時(shí)間有界性和無(wú)源性條件.基于理論條件,通過(guò)求解線性矩陣不等式可以得到控制器的設(shè)計(jì)方法.