基于導(dǎo)波模態(tài)轉(zhuǎn)角的鋼絞線張拉力計算方法研究

錢 驥，楊金川，李長春，張俊波

(1.重慶交通大學(xué) 土木工程學(xué)院， 重慶 400074；2.重慶交通大學(xué) 山區(qū)橋梁與隧道工程國家重點(diǎn)實驗室培育基地， 重慶 400074)

0 引 言

預(yù)應(yīng)力鋼絞線廣泛應(yīng)用于預(yù)應(yīng)力混凝土結(jié)構(gòu)、橋梁拉/吊索等重要工程結(jié)構(gòu)物中，其應(yīng)力水平直接影響著結(jié)構(gòu)的耐久性和安全性。然而，在張拉及使用過程中，受各種因素影響，鋼絞線難以長期保持在設(shè)計應(yīng)力水平，導(dǎo)致結(jié)構(gòu)承載能力下降，甚至威脅到結(jié)構(gòu)的整體安全。因此，開展在役結(jié)構(gòu)鋼絞線應(yīng)力水平檢測對保障預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)安全性及耐久性至關(guān)重要。

在結(jié)構(gòu)施工階段鋼絞線張拉力易于測量，當(dāng)施工完畢投入使用之后，由于受外圍混凝土及PE管套保護(hù)，常規(guī)的鋼絞線張拉力測量方法均不再適用。長期以來，開展在役結(jié)構(gòu)鋼絞線應(yīng)力水平檢測都是工程界面臨的技術(shù)難題。目前，針對已運(yùn)營結(jié)構(gòu)鋼絞線的應(yīng)力水平檢測研究成果均有其適用范圍，如鄧年春等[1]、蘭春光等[2]采用光纖光柵監(jiān)測鋼絞線預(yù)應(yīng)力，需要在鋼絞線制作階段預(yù)埋光纖；吳斌等[3]基于磁彈效應(yīng)提出了一種桿件拉力測量方法，分析了傳感器結(jié)構(gòu)及其勵磁方式、材料剩磁狀態(tài)、溫度和數(shù)據(jù)分析過程等因素的影響，但該方法僅適用于體外預(yù)應(yīng)力結(jié)構(gòu)；張奔牛等[4]將鋼絞線考慮為振蕩電路的一部分，通過振蕩頻率與鋼絞線中應(yīng)力的關(guān)系來檢測鋼絞線的預(yù)應(yīng)力水平，但振蕩頻率隨預(yù)應(yīng)力變化不明顯，且檢測時干擾信號較大。超聲導(dǎo)波是近年來研究較多的一種結(jié)構(gòu)無損檢測方法，與傳統(tǒng)超聲波檢測使用的體波相比，導(dǎo)波是由波導(dǎo)介質(zhì)邊界多次反射形成，其模態(tài)特征攜帶了結(jié)構(gòu)受力狀態(tài)信息，不同應(yīng)力狀態(tài)產(chǎn)生不同的導(dǎo)波模態(tài)分布。H.KWUN等[5]通過試驗研究了加載鋼絞線中超聲導(dǎo)波的頻散特性，加載后鋼絞線的縱向模態(tài)部分頻段會出現(xiàn)缺失；N.CLAUDIO等[6]研究了鋼絞線軸向張拉力與激勵導(dǎo)波倍頻能量比β之間的關(guān)系，并考慮了有粘結(jié)混凝土的影響；劉增華等[7]根據(jù)波動理論和聲彈性理論，建立了鋼絞線中最低階縱向模態(tài)群速度與鋼絞線應(yīng)力之間的對應(yīng)關(guān)系，當(dāng)鋼絞線應(yīng)力小于500 MPa時呈現(xiàn)較好的線性關(guān)系。

筆者基于柱波導(dǎo)理論推導(dǎo)了有約束邊界條件下高強(qiáng)鋼絲導(dǎo)波模態(tài)分布，并采用有限元方法分析了不同邊界約束條件下導(dǎo)波模態(tài)頻散曲線的變化規(guī)律；基于張拉力對導(dǎo)波頻散曲線的影響規(guī)律，回歸分析了直徑15.2 mm鋼絞線中心鋼絲一階縱波模態(tài)轉(zhuǎn)角隨張拉力變化關(guān)系，建立了考慮鋼絞線螺距、鋼絲間摩擦系數(shù)的張拉力計算式。

1 有約束條件下單根鋼絲縱向?qū)Рɡ碚擃l散曲線求解

彈性波在均勻各向同性彈性固體介質(zhì)中的傳播應(yīng)滿足Navier控制方程[8]

(1)

而對于高強(qiáng)鋼絲這類細(xì)長圓柱體，可以將式(1)轉(zhuǎn)換到柱坐標(biāo)系下

(2)

(3)

(4)

式中：ωr、ωθ、ωz分別為旋轉(zhuǎn)矢量的3個分量。

導(dǎo)波在高強(qiáng)鋼絲中傳播存在多種模態(tài)。對于不受力自由邊界鋼絲而言，鋼絲表面應(yīng)力為0，縱向?qū)Рǖ膽?yīng)力邊界條件可表示為：

σrr=σrz=0， (r=a)

(5)

式中：σrr、σrz為柱坐標(biāo)系下鋼絲表面的應(yīng)力分量；a為鋼絲截面半徑。

通過該應(yīng)力邊界條件，可求解縱向?qū)Рǖ念l率方程為：

4k2αβJ1(αa)J0(βa)=0

(6)

當(dāng)鋼絲表面處于受約束狀態(tài)時，其應(yīng)力邊界條件不再滿足式(5)，不同約束條件將產(chǎn)生不同的頻率方程。考慮鋼絲表面受最強(qiáng)位移約束，各向位移均為0，達(dá)到固結(jié)狀態(tài)，此時縱向?qū)Рǖ倪吔鐥l件可以表示為：

ur=uz=0， (r=a)

(7)

通過該位移邊界條件，可求得高強(qiáng)鋼絲受表面位移約束下縱向?qū)Рl率方程

αβJ1(αa)J0(βa) +k2J1(βa)J0(αa)=0

(8)

式(6)和式(8)均為超越方程，分別采用數(shù)值方法進(jìn)行求解，得到自由和固定邊界下高強(qiáng)鋼絲中一階縱向?qū)Рǖ睦碚擃l率-波數(shù)曲線。材料參數(shù)如表1，求解得到的一階縱向?qū)Рl率-波數(shù)曲線如圖1。

表1 高強(qiáng)鋼絲材料參數(shù)Table 1 Material parameters of high strength steel wires

圖1 高強(qiáng)鋼絲中一階縱向?qū)ьl率-波數(shù)曲線Fig. 1 Frequency-wave number curves of first order longitudinal guided wave in high strength steel wires

由圖1知，不同邊界條件下，高強(qiáng)鋼絲中一階縱向?qū)РB(tài)分布具有明顯差異，隨著表面約束的增強(qiáng)，頻散曲線整體向高頻部分偏移。對鋼絞線結(jié)構(gòu)而言，其中心鋼絲的邊界約束條件受外圍鋼絲的張力影響，模態(tài)變化將反映鋼絞線實時張拉力狀態(tài)。因此，基于一階縱向?qū)РB(tài)變化可以進(jìn)行鋼絞線的張力水平檢測。

2 單根鋼絲導(dǎo)波傳播有限元分析

2.1 單根鋼絲有限元模型

超聲導(dǎo)波在鋼絞線中傳播，可看作是有約束條件下波在單根鋼絲中的傳播。以中心鋼絲為例，鋼鉸線受軸向張拉力作用時，外圍鋼絲對中心鋼絲施加法向接觸力和切向摩擦力，且這兩種約束力隨著鋼絞線張拉力的增大而增大。此時，鋼絞線各鋼絲之間的接觸面為一條螺旋線，中心鋼絲表面受外圍6根鋼絲形成的6條螺旋線位移約束。該約束狀態(tài)理論求解非常復(fù)雜，筆者采用有限元方法進(jìn)行計算分析。

采用ABAQUS/Explicit分別建立表面自由、表面固結(jié)、表面線約束(鋼絲表面軸向施加6條線約束，同時約束軸向和徑向位移，不考慮螺旋幾何特征的影響，如圖2)等3種邊界條件下的高強(qiáng)鋼絲有限元模型。鋼絲長L=300 mm，直徑d=5mm，不考慮材料阻尼影響，材料參數(shù)如表1。

圖2 高強(qiáng)鋼絲有限元計算模型Fig. 2 Finite element model of high strength steel wires

為激起高強(qiáng)鋼絲中的縱向?qū)Р?，采用三角脈沖對鋼絲端面中心施加軸向激勵，脈沖荷載持續(xù)時間為3 μs，荷載結(jié)束后持續(xù)197 μs以模擬彈性波在鋼絲中的傳播過程，激勵荷載如圖3。

圖3 激勵荷載Fig. 3 Impulses load

2.2 縱向?qū)Рl散曲線計算結(jié)果

在端面軸向三角脈沖激勵下，鋼絲內(nèi)部形成導(dǎo)波傳播，沿波傳播路徑上提取x=25、150、275 mm等3個節(jié)點(diǎn)的振動時域信號(圖4)，從圖中可以看到明顯的時間滯后，但無法直觀反映模態(tài)信息。

沿波傳播路徑上提取更多節(jié)點(diǎn)振動時程信號構(gòu)成二維時間-空間矩陣，通過二維傅里葉變換，將時間域的信號轉(zhuǎn)換到頻率域、空間域的信號轉(zhuǎn)換到波數(shù)域，可求得頻率-波數(shù)頻散曲線。二維傅里葉變換[10]如式(9)：

H(k,f)=?A(z,t)e-i(wt+kz)dzdt

(9)

式中：A(z,t)為鋼絞線中心鋼絲各點(diǎn)的軸向加速度時程；ω為圓頻率，ω=2πf。

圖4 節(jié)點(diǎn)時程曲線Fig. 4 Time history curves in finite points

分別提取3種邊界條件下有限元模型中間500個節(jié)點(diǎn)(x=25～275 mm，相鄰節(jié)點(diǎn)間隔0.5 mm)的時域波形進(jìn)行二維傅里葉變換，如圖5。

圖5 不同邊界條件一階縱向?qū)Рl率-波數(shù)曲線Fig. 5 The first order longitudinal guided wave modal distribution under different boundary conditions

從圖5可知，邊界條件為自由邊界和表面固結(jié)時，有限元計算結(jié)果與理論頻率-波數(shù)曲線完全吻合，說明采用有限元模擬導(dǎo)波傳播過程及采用二維傅里葉變換提取頻散曲線均有效可行。

同時，與自由邊界條件相比，當(dāng)鋼絲表面有線固結(jié)約束時，一階縱向?qū)Рń刂诡l率顯著上升，頻散曲線整體向高頻部分偏移，且低頻成分的頻率上升現(xiàn)象更為明顯，導(dǎo)致一階縱向?qū)Рl散曲線在低頻段與自由邊界頻散曲線之間形成明顯轉(zhuǎn)角。

隨著鋼絲表面約束的進(jìn)一步增強(qiáng)，即鋼絲表面位移被全部約束達(dá)到固結(jié)狀態(tài)，一階縱向?qū)Рǜ鞑〝?shù)對應(yīng)的頻率上升現(xiàn)象更明顯。總體而言，隨著鋼絲表面約束剛度增大，頻散曲線向高頻部分偏移，截止頻率提高，低頻位置出現(xiàn)模態(tài)轉(zhuǎn)角。

3 鋼絞線導(dǎo)波傳播有限元分析

3.1 鋼絞線有限元模型

受預(yù)加力水平及荷載影響，不同橋梁鋼絞線張拉力不一致，中心鋼絲受到的約束強(qiáng)度也不相同，實際上處于一種彈性線約束狀態(tài)，其最強(qiáng)約束為線固結(jié)約束。通過建立鋼絞線整體有限元模型，可分析不同張拉力狀態(tài)下導(dǎo)波頻散曲線變化規(guī)律。

有限元模型采用工程中常用的直徑d=15.2 mm，螺距h=260 mm的鋼絞線，長度L=520 mm，不考慮材料阻尼影響，材料參數(shù)見表1。

為了更好地模擬鋼絞線多根鋼絲間的接觸作用，鋼絞線中接觸區(qū)域的網(wǎng)格應(yīng)在單根鋼絲模型的基礎(chǔ)上進(jìn)一步加密。因此，文中鋼絞線沿軸向的單元尺寸為1 mm，接觸區(qū)域的單元尺寸最小為0.1 mm。網(wǎng)格劃分后，該模型一共由1 745 623個六面體8節(jié)點(diǎn)單元組成(圖6)。積分時間步長對波動效應(yīng)求解的精度和穩(wěn)定性影響較大，由于鋼絞線結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性，筆者采用全自動積分時間步長。

圖6 鋼絞線有限元計算模型Fig. 6 Finite element model of steel strands

整個模擬過程分為軸向張拉力施加、導(dǎo)波激勵以及導(dǎo)波傳播3個階段。模型采用一端完全固定，另一端僅釋放軸向位移，約束其它方向自由度。在鋼絞線的非固定端施加光滑幅值曲線的面荷載，模擬軸向張拉力作用，該過程是一個準(zhǔn)靜態(tài)加載過程，為了防止干擾信號的產(chǎn)生，加載時間設(shè)定為300 μs，在波激勵和波傳播過程中幅值保持恒定(如圖7)。在非固定端的中心鋼絲截面中心處，采用三角脈沖進(jìn)行軸向激勵，脈沖荷載持續(xù)時間為3 μs，荷載結(jié)束后持續(xù)697 μs以模擬彈性波在鋼絞線中的傳播過程，激勵荷載如圖3。為防止導(dǎo)波信號因預(yù)應(yīng)力的擾動而湮滅，在已加載預(yù)應(yīng)力鋼絞線中激勵導(dǎo)波時，激勵信號能量級應(yīng)遠(yuǎn)高于預(yù)應(yīng)力能量級[11]。

鋼絞線間的法向接觸采用“硬”接觸，切向接觸采用摩擦系數(shù)為0.6的“罰”摩擦進(jìn)行模擬[12]。

圖7 軸向張拉力幅值曲線Fig. 7 Time-history curve of axial force

3.2 一階縱向?qū)РB(tài)分布

分別提取鋼絞線軸向應(yīng)力達(dá)到1 302 MPa時，中心鋼絲軸線上x=60、260、460 mm等3個節(jié)點(diǎn)時程曲線(如圖8)，圖中能看到時間滯后、幅值衰減及頻散現(xiàn)象。在x=60 ～ 460 mm范圍內(nèi)，提取400個間距為1 mm的節(jié)點(diǎn)軸向加速度時程曲線A(z,t)構(gòu)成二維矩陣。

圖8 鋼絞線中心鋼絲節(jié)點(diǎn)時程曲線Fig. 8 Time-history curves in central wire nodes of steel strands

通過二維傅里葉變換計算鋼絞線中心鋼絲一階縱向?qū)Рǖ念l率-波數(shù)如圖9。

圖9 鋼絞線中心鋼絲縱向?qū)Рl率-波數(shù)曲線Fig. 9 Central wire frequency-wave number curves in steel strands

由圖9可知，受鋼絞線張拉力作用，鋼絞線外圍鋼絲對中心鋼絲提供了彈性約束，該約束作用使得中心鋼絲一階縱向?qū)Рl散曲線向高頻部分偏移，但沒有達(dá)到線固結(jié)約束狀態(tài)頻散曲線，這也說明鋼絞線中外圍鋼絲對中心鋼絲的約束沒有達(dá)到線固結(jié)狀態(tài)。

由于低頻部分偏移更為明顯，從而在300 kHz附近出現(xiàn)了模態(tài)轉(zhuǎn)角，且該模態(tài)轉(zhuǎn)角受外圍鋼絲的約束強(qiáng)度影響，即反映了鋼絞線張拉狀態(tài)。

3.3 引起模態(tài)轉(zhuǎn)角的原因分析

鋼絞線外圍鋼絲對中心鋼絲的彈性約束作用使得鋼絞線中心鋼絲一階縱向?qū)Рǔ霈F(xiàn)模態(tài)轉(zhuǎn)角，但約束作用通常分為法向約束作用和切向約束作用，二者對于模態(tài)轉(zhuǎn)角的影響需要進(jìn)一步研究。

采用文中所建立的鋼絞線有限元模型，分析2種不同約束狀態(tài)下鋼絞線中心鋼絲一階縱波模態(tài)分布情況。約束狀態(tài)如下：

1)法向約束為“硬”接觸，無切向約束；

2)法向約束為“硬”接觸，切向約束采用摩擦系數(shù)為0.6的“罰”摩擦模擬。

有限元建模、脈沖激勵及數(shù)據(jù)處理如前，計算得到2種約束狀態(tài)下鋼絞線中心鋼絲一階縱向?qū)Рǖ念l率-波數(shù)曲線，如圖10。

圖10 不同工況鋼絞線中心鋼絲一階縱向?qū)Рǖ念l率-波數(shù)曲線Fig. 10 Central wire frequency-wave number curve in steel strands under different conditions

由圖10可知，當(dāng)外圍鋼絲僅對中心鋼絲施加法向約束作用時，一階縱向?qū)РB(tài)在500 kHz附近出現(xiàn)缺失；當(dāng)外圍鋼絲對中心鋼絲同時施加法向和切向約束作用時，一階縱向?qū)РB(tài)同樣在500 kHz附近缺失，且300kHz附近出現(xiàn)模態(tài)轉(zhuǎn)角。結(jié)果表明，外圍鋼絲對中心鋼絲的切向約束作用是引起一階縱向?qū)РB(tài)轉(zhuǎn)角的原因，而法向約束作用僅引起一階縱向?qū)РB(tài)部分頻帶缺失。

3.4 模態(tài)轉(zhuǎn)角隨鋼絞線拉應(yīng)力變化關(guān)系

為準(zhǔn)確計算模態(tài)轉(zhuǎn)角，對圖9中模態(tài)分布云圖進(jìn)行簡化處理。將通過二維傅里葉變換得到的包含頻率-波數(shù)-幅值信息的三維矩陣，按列進(jìn)行劃分，提取每列的最大值及最大值位置，根據(jù)求得的幅值矩陣各列最大值坐標(biāo)，繪制其在頻率-波數(shù)平面的散點(diǎn)圖，并采用直線y=kx+b對投影點(diǎn)進(jìn)行擬合。模態(tài)轉(zhuǎn)角主要出現(xiàn)在200～400 kHz頻率范圍內(nèi)，對該頻段簡化之后得到圖11。定義兩直線L(0，1，1)和L(0，1，2)之間的交角為一階縱向?qū)РB(tài)轉(zhuǎn)角，如圖12。

圖11 簡化模態(tài)分布Fig. 11 Implification of mode graph

圖12 模態(tài)轉(zhuǎn)角計算方法Fig. 12 Calculation methods of mode bifurcation angle

工程中常用鋼絞線的抗拉強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值為1 860 MPa，分別進(jìn)行10%、20%、30%、40%、50%、60%、70%、80%、90%、100%倍抗拉強(qiáng)度標(biāo)準(zhǔn)值荷載作用下鋼絞線導(dǎo)波傳播模態(tài)分析。按文中模態(tài)簡化提取方法進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，計算直線L(0，1，1)和L(0，1，2)各參數(shù)，結(jié)果見表2。

表2 參數(shù)計算Table 2 Calculation parameters

由表2可知，隨著鋼絞線張拉力的增加，鋼絲間的相互約束逐漸增強(qiáng)，一階縱向?qū)РB(tài)轉(zhuǎn)角逐漸增大?；貧w分析軸向張拉力與模態(tài)轉(zhuǎn)角之間的函數(shù)關(guān)系如圖13。

圖13 應(yīng)力與模態(tài)轉(zhuǎn)角的關(guān)系Fig. 13 Relationship between mode bifurcation angle and stress

由圖13可知，當(dāng)拉力較小時，一階縱向?qū)РB(tài)轉(zhuǎn)角現(xiàn)象不明顯，采用簡化方法計算的轉(zhuǎn)角誤差較大，不考慮10%荷載等級，擬合鋼絞線應(yīng)力σ(單位：MPa)與模態(tài)轉(zhuǎn)角關(guān)系：

σ= 69.45θ3.275

(10)

3.5 考慮鋼絞線螺距及摩擦系數(shù)影響的張拉力計 算簡式

根據(jù)S. MACHIDA等[13]的研究成果，七芯鋼絞線中，鋼絲間的法向接觸力p與鋼絞線所受的軸向張拉力成正比：

(11)

式中：F為作用在鋼絞線上的軸向張拉力，N；h為鋼絞線的螺距，m。

采用“罰”摩擦公式模擬鋼絞線間的切向作用時，當(dāng)未達(dá)到臨界切向摩擦力，切向摩擦力τ與法向接觸力p成正比：

(12)

式中：μ為摩擦系數(shù)。

由式(12)可知，鋼絞線張拉力與鋼絲間摩擦力呈線性關(guān)系，考慮式中螺距和摩擦系數(shù)影響，對有限元計算結(jié)果進(jìn)行修正，得：

(13)

式中：A為鋼絞線截面積，A=144 mm2；μ0為有限元計算模型摩擦系數(shù)，μ0=0.6；h0為模型鋼絞線螺距，h0=0.26 m。

從而可得到鋼絞線張拉力計算簡式：

4 結(jié) 論

1)推導(dǎo)了邊界自由及表面固結(jié)條件下單根鋼絲理論頻散曲線分布，基于二維傅里葉變換的有限元仿真計算值與理論計算值完全吻合。

2)隨著鋼絲表面約束剛度增大，一階縱向?qū)Рl散曲線整體向高頻部分偏移，低波數(shù)部分偏移現(xiàn)象明顯，在頻率300 kHz附近出現(xiàn)模態(tài)轉(zhuǎn)角。

3)受鋼絞線張拉力作用，鋼絞線外圍鋼絲對中心鋼絲提供了彈性約束作用。對比分析了鋼絲間法向約束作用和切向約束作用模態(tài)變化規(guī)律，引起300 kHz附近出現(xiàn)模態(tài)轉(zhuǎn)角的原因是鋼絲間的切向約束力。

4)對不同張拉力條件下的模態(tài)轉(zhuǎn)角進(jìn)行了回歸分析，考慮鋼絞線螺距與鋼絲摩擦系數(shù)對回歸式的影響，建立了一階縱向?qū)РB(tài)轉(zhuǎn)角與鋼絞線張拉力之間的冪函數(shù)關(guān)系式。