基于改進灰色馬爾科夫模型的地鐵客流預(yù)測

潘 杰，馬超群

(長安大學(xué) 公路學(xué)院，陜西 西安 710064)

隨著城市軌道交通實時交通信息系統(tǒng)的日益完善，管理者需要掌握未來短時間內(nèi)客流量的變化趨勢，以制定和實施運營管理計劃，這不僅可以使交通管理逐步走向智能化、動態(tài)化和信息化，還能提高運營效率，同時為出行者提供高效方便的服務(wù)。

文獻[1]提出了基于Kalman濾波的短時地鐵換乘客流預(yù)測方法，得到平日早高峰客流預(yù)測結(jié)果評價指標均優(yōu)于節(jié)假日的預(yù)測結(jié)果，但存在對突變點預(yù)測不夠準確。文獻[2]選用SARIMA模型對北京市地鐵進站客流量預(yù)測進行短時預(yù)測，預(yù)測結(jié)果基本能夠滿足對客流掌握的需求，但該模型對于特殊節(jié)假日的預(yù)測效果甚微；文獻[3]將K近鄰非參數(shù)回歸應(yīng)用于軌道交通客流量預(yù)測中，發(fā)現(xiàn)K近鄰非參數(shù)回歸比其他模型的預(yù)測精度更高、對突發(fā)客流的處理能力更強。文獻[4]將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和支持向量機兩種方法融合在一起，得到了組合預(yù)測模型；文獻[5]則在前人研究的基礎(chǔ)上，建立了基于客流時序特征的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型。

傳統(tǒng)預(yù)測法和灰色系統(tǒng)理論都可以獨立完成一定時期內(nèi)地鐵客流量大體趨勢的預(yù)測。但由于地鐵客流量受到很多未知因素影響，導(dǎo)致數(shù)據(jù)波動性較大，因此，傳統(tǒng)方法和灰色模型在短期預(yù)測中預(yù)測精度不高。本文考慮到地鐵客流量的隨機性和連續(xù)性，提出一種改進的灰色馬爾科夫預(yù)測模型。用改進后的模型對西安地鐵客流量進行了預(yù)測，改進后的灰色馬爾科夫模型的準確度和精度都有所提高。

1 改進灰色馬爾科夫模型

1.1 無偏灰色GM(1，1)模型[6]

設(shè)原始數(shù)據(jù)序列為嚴格的指數(shù)序列，即

x0(k)=Me-η(k-1)，k=1，2，…，n.

(1)

其一次累加生成序列為

(2)

用傳統(tǒng)的GM(1，1)建模方法建模,可得

(3)

Yn=[Meη,Meη,…,Me(n-1)η]T.

(4)

經(jīng)推導(dǎo)可得

(5)

最終擬合結(jié)果為

x′(0)(1)=M.

(6a)

(k=2，3，…，n).

(6b)

根據(jù)式(5)，可用傳統(tǒng)GM (1，1)模型的參數(shù)a,u來表示原始序列的參數(shù)η，M

假設(shè)指數(shù)序列建立的模型為

x0(k)=M′ea′(k-1)，k=1，2，…，n.

(7)

其中，令

式(6a)和式(6b)是一個無偏模型。由此建立無偏GM(1，1)模型，其建模步驟為：

步驟(1)到步驟(3)見本文1.1中傳統(tǒng)GM(1，1)模型建立步驟。

步驟(4)：求出無偏GM(1，1)模型的參數(shù)

步驟(5)：建立原始數(shù)據(jù)序列模型

x′(0)(1)=x(0)(1)，

(8a)

x′(0)(k)=M′ea′(k-1)(k=2，3，…，n).

(8b)

與傳統(tǒng)GM(1，1)模型相比，無偏GM(1，1)模型基本消除了傳統(tǒng)GM(1，1)模型的固有偏差，其應(yīng)用范圍較傳統(tǒng)GM(1，1)模型更為廣泛。此外，無偏GM(1，1)模型無需進行累減還原，簡化了建模步驟，提高了模型的計算速度。

1.2 滑動灰色GM(1，1)模型

考慮數(shù)據(jù)隨著時間變化具有內(nèi)在的連續(xù)性，利用加權(quán)平滑思想對原始數(shù)據(jù)進行處理后，再結(jié)合無偏GM(1,1)建模過程建立滑動無偏GM(1,1)模型：

設(shè)原始數(shù)據(jù)序列為

經(jīng)加權(quán)平滑處理得

(9)

(10)

對原始數(shù)據(jù)進行加權(quán)處理后，對該組數(shù)據(jù)利用無偏GM(1,1)模型進行預(yù)測，得出的結(jié)果即滑動無偏GM(1,1)模型預(yù)測結(jié)果，該模型預(yù)測具有較高的準確性，但對波動數(shù)據(jù)的適用情況較差。為彌補GM(1,1)模型的不足，引入了馬爾科夫模型。

1.3 馬爾科夫模型的建立[7-10]

1.3.1 狀態(tài)劃分

地鐵客流的變化過程是一個隨機呈現(xiàn)上升或下降趨勢的非穩(wěn)定隨機過程，地鐵客流量的數(shù)據(jù)序列符合n階馬爾科夫非平穩(wěn)隨機序列。設(shè)Y為相應(yīng)時間序列的取值區(qū)域，利用M黃金分割法將Y劃分為m個狀態(tài)，則有H1，H2，…，Hm。

1.3.2 確定系統(tǒng)狀態(tài)

在有些預(yù)測問題中，系統(tǒng)狀態(tài)是確定的，但有些系統(tǒng)的狀態(tài)經(jīng)常需要人為的事先劃分來確定系統(tǒng)狀態(tài)，通常無統(tǒng)一標準。

1.3.3 計算初始概率和一步轉(zhuǎn)移概率矩陣

1.3.4 利用P進行系統(tǒng)預(yù)測

若時間序列的觀測值yt落入狀態(tài)Hi,Pij=max(Pi1,Pi2,…,Pim)為P的第i行元素，則可預(yù)測Yt+1時刻將轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Hj，這是因為轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Hj可能性最大。

1.3.5 利用馬爾科夫鏈的遍歷性和平穩(wěn)分布對系統(tǒng)進行分析。

2 模型應(yīng)用分析

2.1 地鐵客流的灰色馬爾科夫模型

本文以2014—2016年西安地鐵二號線各站點的AFC數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計分析，可得到二號線每個月的總客流量。將每3個月(一個季度)的客流量進行一次匯總，得到西安地鐵客流量的樣本數(shù)據(jù)(見表1)。

表1 2014.3—2017.3西安地鐵客流量實際值

將表1中每個季度的地鐵客流總量作為初始數(shù)據(jù)，對這些數(shù)據(jù)建立GM(1，1)模型，對2017年前3個季度的客流量進行預(yù)測，從而得出2014.3—2017.3西安地鐵客流量GM(1，1)模型的預(yù)測值(見表2)。

表2 2014.3—2017.3西安地鐵客流量GM(1，1)模型的預(yù)測值

根據(jù)GM(1，1)模型的預(yù)測值計算出殘差ε(1)(K)和殘差的相對值Δ(K)，再把Δ(K)與馬爾科夫

模型相結(jié)合[11]，由殘差的相對值Δ(K)將它們劃分為3種狀態(tài)，分別記為⊕1=(-8%，-2%]，⊕2=(-2%，0]，⊕3=(0，9]。得出2014.3—2016.4的GM(1，1)模型預(yù)測值、每年的殘差ε(1)(K)、殘差的相對值Δ(K)以及各自所處的狀態(tài)[12]，如表3所示。

表3 狀態(tài)分布表

根據(jù)表3中的狀態(tài)劃分，對狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣的分析如下[13-14]:表3中處于狀態(tài)1的情況共出現(xiàn)了3次，經(jīng)過一步轉(zhuǎn)移之后的狀態(tài)分別變?yōu)闋顟B(tài)3和狀態(tài)2，由此可得出由狀態(tài)1經(jīng)過一步轉(zhuǎn)移過后仍然處于狀態(tài)3的概率為2/3，轉(zhuǎn)移后到狀態(tài)2的概率為1/3，依此類推，得到狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為

由于2016年第四季度處于狀態(tài)3，那么初始向量為V0=(0，0，1)，對2017年第一季度客流量進行狀態(tài)預(yù)測，由一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移得到

P(1)=V0P=(0，0，1)，

則得到2017年第一季度處于第一狀態(tài)的概率為1/2，處于第二狀態(tài)的概率為1/2。通過加權(quán)平均得出2017年第一季度客流量預(yù)測值為6 550萬人。同理，用V0×P2對2017年第二季度客流量進行預(yù)測，為7 016萬人，用V0×P3對2017年第三季度客流量進行預(yù)測，為7 215萬人。根據(jù)地鐵客流量原始值和灰色馬爾科夫模型預(yù)測值建立對比圖，如圖1所示。

圖1 灰色馬爾科夫模型對客流量的預(yù)測

圖1給出了灰色模型對2號線客流量的預(yù)測，地鐵客流量實際值圍繞灰色模型預(yù)測值上下波動，整體上看用灰色模型均能夠相對準確預(yù)測各個季度的客流量，驗證了灰色模型的可行性。將2014年第3季度到2016年第4季度的數(shù)據(jù)當作己知的數(shù)據(jù)，用馬爾科夫預(yù)測模型分別對2017年前3個季度的客流量進行預(yù)測，從圖1中得出灰色馬爾科夫模型修正后的灰色GM(1，1)模型，精度進一步提高，能夠準確地預(yù)測，但模型具有可用性之外也存在一定的誤差，需要對灰色馬爾科夫預(yù)測模型結(jié)合實際情況加以改進。

2.2 基于滑動優(yōu)化的灰色馬爾科夫模型

對原始數(shù)據(jù)序列經(jīng)一次加權(quán)滑動平均處理后建立無偏GM (1,1)模型，稱為滑動無偏GM (1,1)模型[15]?；瑒訜o偏GM (1,1)模型對原始數(shù)據(jù)進行處理，得出滑動無偏GM(1，1)模型的預(yù)測值(見表4)。

表4 2014.3—2017.3西安地鐵客流量滑動 無偏GM(1，1)模型的預(yù)測值

由殘差的相對值Δ(K)將它們劃分為3種狀態(tài)，分別記為⊕1=(-8%，-2%]，⊕2=(-2%，0]，⊕3=(0，8]， 2014.3—2016.4的GM(1，1)模型的預(yù)測值、每年的殘差ε(1)(K)、殘差的相對值Δ(K)、以及各自所處的狀態(tài)(見表5)。

表5 狀態(tài)分布表

通過GM(1，1)模型與滑動無偏GM(1，1)模型預(yù)測結(jié)果的對比分析，發(fā)現(xiàn)滑動無偏GM(1，1)與傳統(tǒng)的GM(1, 1)相比，最大絕對百分誤差從8.48%下降到了7%，平均絕對百分誤差從3.6%下降到了2.99%。故無偏GM(1,1)模型與傳統(tǒng)的GM(1,1)模型相比在精度方面有所提高。

運用馬爾科夫模型對滑動無偏GM(1，1)預(yù)測值進行修正，通過加權(quán)平均得出2017年第1季度客流量最終的預(yù)測值為6 687萬人。同理，用V0×P2對2017年第2季度客流量進行預(yù)測，為6 974萬人，用V0×P3對2017年第3季度客流量進行預(yù)測，為7 191萬人。由此繪制滑動無偏灰色模型預(yù)測值和客流量原始值對比圖(見圖2)。

圖2 滑動無偏灰色馬爾科夫模型對客流量的預(yù)測

圖2給出了滑動無偏灰色模型對2號線客流量的預(yù)測，從圖2可知，地鐵客流量實際值圍繞灰色模型預(yù)測值上下波動，且波動幅度進一步縮小。整體上看用滑動無偏灰色模型比傳統(tǒng)灰色預(yù)測模型更為貼近現(xiàn)實值，驗證了滑動無偏灰色模型的優(yōu)越性；將2014年第三季度到2016年第四季度的數(shù)據(jù)當作己知數(shù)據(jù)，用滑動無偏灰色馬爾科夫預(yù)測模型分別對2017年前3個季度的客流量進行預(yù)測，從圖中得出馬爾科夫模型修正后的滑動無偏灰色GM(1，1)模型，精度進一步提高，能夠準確預(yù)測，與實際值的誤差降到最低。

2.3 馬爾科夫模型與滑動無偏馬爾科夫模型比較

將地鐵客流量原始值、馬爾科夫模型預(yù)測值和滑動無偏馬爾科夫模型預(yù)測值建立比較圖(見圖3)。

圖3 兩種預(yù)測值與實際值的比較

從圖3可以看出，利用滑動無偏灰色馬爾科夫模型得到的擬合曲線更接近于原始曲線，比灰色馬爾科夫模型擬合的曲線效果要好，更傾向于實際數(shù)據(jù)。

對比2017年3個季度的灰色馬爾科夫模型、滑動無偏灰色馬爾科夫模型兩個模型的評定標準:最大絕對百分誤差(MaxAPE),平均絕對誤差(MAE)，平均絕對百分誤差(MAEP)(見表6)。

表6 預(yù)測方法的誤差對比

從圖3和表6可知，經(jīng)過滑動無偏灰色馬爾科夫模型優(yōu)化后的3種誤差均有所下降，預(yù)測精度提高，驗證了滑動無偏灰色馬爾科夫預(yù)測模型在地鐵客流量預(yù)測中的適用性。

3 結(jié) 語

本文將滑動平滑法和無偏GM(1，1)方法結(jié)合，對原始的灰色GM(1，1)進行改進，應(yīng)用于地鐵客流量的預(yù)測，構(gòu)建了滑動無偏灰色馬爾科夫預(yù)測模型對地鐵客流量預(yù)測模型，并與原始的灰色馬爾科夫預(yù)測模型進行預(yù)測效果比較。利用模型對西安地鐵二號線客流量進行預(yù)測，并與原始的灰色馬爾科夫預(yù)測模型進行預(yù)測效果比較。實驗結(jié)果表明，滑動無偏灰色馬爾科夫預(yù)測模型的預(yù)測精度均較高，最大絕對百分誤差(MaxAPE)、平均絕對誤差(MAE)、平均絕對百分誤差(MAEP)均比原始的灰色馬爾科夫模型預(yù)測結(jié)果有了一定的提升，驗證了滑動無偏灰色馬爾科夫預(yù)測模型在地鐵客流量預(yù)測上的適用性。