設(shè)計效應(yīng)分解在復(fù)雜樣本設(shè)計中的應(yīng)用研究

羅 薇

(廣東工業(yè)大學(xué) a.管理學(xué)院；b.大數(shù)據(jù)戰(zhàn)略研究院，廣東 廣州 510006)

一、引言

自1965年Kish最早提出設(shè)計效應(yīng)的概念以來，設(shè)計效應(yīng)在復(fù)雜樣本設(shè)計階段起著非常重要的作用，通常利用設(shè)計效應(yīng)和簡單隨機抽樣下的方差來估計給定精度要求下的樣本量[1]257-263。設(shè)計效應(yīng)越大，意味所需的樣本量越大才能達(dá)到簡單隨機抽樣的效果，所以控制樣本的設(shè)計效應(yīng)，使得預(yù)計的樣本量滿足成本和精度的要求，是抽樣設(shè)計領(lǐng)域的研究熱點。實證研究發(fā)現(xiàn)，不同國家進行的相似調(diào)查中類似調(diào)查變量的設(shè)計效應(yīng)值相近[2]；同一調(diào)查中樣本均值和復(fù)雜分析統(tǒng)計量的設(shè)計效應(yīng)值有一定關(guān)聯(lián)[3]，這意味著可以將以往調(diào)查中某些調(diào)查變量的設(shè)計效應(yīng)移植到新調(diào)查的類似調(diào)查變量中，將一些調(diào)查統(tǒng)計量的設(shè)計效應(yīng)推廣到同一調(diào)查的其它調(diào)查統(tǒng)計量上，在連續(xù)性調(diào)查中使用前期調(diào)查的設(shè)計效應(yīng)信息來輔助現(xiàn)行調(diào)查設(shè)計。然而，另一些實證研究卻發(fā)現(xiàn)，同一調(diào)查中的不同調(diào)查變量，以及連續(xù)性調(diào)查中同一調(diào)查變量的設(shè)計效應(yīng)值可能存在較大的差異[2]，表明設(shè)計效應(yīng)的直接擴展受到一定的局限。顯然，如何將前期調(diào)查的設(shè)計效應(yīng)信息用于現(xiàn)行調(diào)查設(shè)計，進而在抽樣設(shè)計階段根據(jù)設(shè)計效應(yīng)來選擇抽樣方法，是設(shè)計效應(yīng)應(yīng)用于復(fù)雜樣本設(shè)計的核心問題，而目前對此并沒有進行系統(tǒng)的研究。為了彌補這一不足，本文對構(gòu)成復(fù)雜樣本的抽樣方法進行分解，從單項抽樣方法要素的視角來建立各種設(shè)計效應(yīng)模型，分析單項要素對復(fù)雜樣本設(shè)計效率的影響及應(yīng)用局限性，推導(dǎo)要素組合的綜合設(shè)計效應(yīng)模型，基于設(shè)計效應(yīng)模型的框架建立一套簡單實用的復(fù)雜樣本設(shè)計方法，進而研究設(shè)計效應(yīng)在子群、不同調(diào)查變量、不同統(tǒng)計量間的擴展。在應(yīng)用上，將上述設(shè)計效應(yīng)模型應(yīng)用于住戶調(diào)查的樣本設(shè)計，在樣本設(shè)計階段選擇合理的抽樣方法，使得估計的樣本量能滿足總體、域、子群的調(diào)查精度要求。

二、設(shè)計效應(yīng)的分解與組合

(一)設(shè)計效應(yīng)模型

根據(jù)Kish提出的設(shè)計效應(yīng)概念，對于調(diào)查變量θ，Vc(θ)表示采用復(fù)雜抽樣設(shè)計的估計量方差，Vsrs(θ)表示相同樣本量下簡單隨機抽樣的估計量方差，θ的設(shè)計效應(yīng)為[1]257-263：

D2(θ)=Vc(θ)/Vsrs(θ)

(1)

(2)

(二)設(shè)計效應(yīng)的分解

為了明確復(fù)雜樣本設(shè)計下哪些要素會導(dǎo)致設(shè)計效應(yīng)，梳理復(fù)雜樣本的基本特征如下：一是不同的抽樣方式；二是被調(diào)查單位有不同的權(quán)數(shù)；三是不同子群的抽樣比有差異[4]。同時依據(jù)聯(lián)合國統(tǒng)計司的建議，將影響復(fù)雜樣本設(shè)計的單項要素分為分層、類集(包括整群、二階及多階抽樣)、加權(quán)調(diào)整三類[5]95-122。

1.分層的設(shè)計效應(yīng)

對一階分層抽樣，忽略有限總體校正因子時，調(diào)查變量y的分層設(shè)計效應(yīng)可以表示為[5]95-122：

(3)

其中，從總體單位數(shù)N中抽取樣本量n=∑nh，從單位數(shù)為Nh的第h層中抽取樣本量為nh的總體單位，Wh=Nh/N為第h層的層權(quán)。

(4)

(5)

其中，wh=Nh/nh為初始權(quán)數(shù)。

一般來說，由于分層樣本分布更為均勻，分層能減少樣本中總體單位的相關(guān)性，從而減小方差，進而減小設(shè)計效應(yīng)。但是，若各層均值大致相等，分層帶來的精度改進較少，此時分層設(shè)計效應(yīng)雖然小于1，但接近1。

2.類集的設(shè)計效應(yīng)

(6)

其中，δ稱為組內(nèi)同質(zhì)系數(shù)，描述初級抽樣單元內(nèi)變量y的同質(zhì)性。實際中，初級抽樣單元中總體單位的各個調(diào)查變量都有一定的相似性，但這種相似性往往較低，所以δ幾乎總是數(shù)值較小的正數(shù)[5]。

(7)

通過對同質(zhì)系數(shù)δ的演繹，可以將式(7)應(yīng)用于PPS抽樣和各種子樣本設(shè)計方法組合的均等選擇概率設(shè)計下類集設(shè)計效應(yīng)的計算。

現(xiàn)實中由于初級抽樣單元的規(guī)模不等以及規(guī)模信息不準(zhǔn)確，往往采用與估計規(guī)模成比例的概率抽樣方法(Probability to Proportional to Estimated Size，簡稱PPES)抽取初級抽樣單元，此時要滿足均等選擇概率樣本的要求，則從各樣本初級抽樣單元中抽取的總體單位數(shù)b不等。當(dāng)各個子樣本規(guī)模差異不大時，式(7)仍可以計算類集的設(shè)計效應(yīng)，但是b表示平均子樣本規(guī)模，即：

(8)

(9)

由于同質(zhì)系數(shù)δ是正數(shù)，所以類集的設(shè)計效應(yīng)總是大于1。在實際工作中，出于成本的考慮，類集規(guī)模b不適宜設(shè)計較小，導(dǎo)致類集的設(shè)計效應(yīng)一般較大。上述分析還展示出各階段抽樣方法的選擇如何影響到δ和b的確定，進而引起類集設(shè)計效應(yīng)的變化。其中，δ是內(nèi)生的。經(jīng)驗研究表明，調(diào)查變量和初級抽樣單元相同或相似時，δ值具有較好的移植性[2]，可以通過以往調(diào)查中相同或類似變量以及初級抽樣單元的信息來估計δ。但直接將歷史調(diào)查的類集設(shè)計效應(yīng)用于新的調(diào)查設(shè)計并不合理，因為每個調(diào)查變量的δ值都不一樣，b較大時，各個調(diào)查變量的δ值即使只有細(xì)微的差別，也會引起類集設(shè)計效應(yīng)的較大差異。例如，δ=0.05，b=30時，類集的設(shè)計效應(yīng)值為2.45；δ=0.08，b=30時，類集的設(shè)計效應(yīng)值高達(dá)3.32。

3.加權(quán)調(diào)整的設(shè)計效應(yīng)

上文的設(shè)計效應(yīng)分析基本上限于均等選擇概率抽樣設(shè)計，最終抽樣單元的權(quán)數(shù)相等，然而不均等選擇概率的情形也存在，當(dāng)抽樣設(shè)計偏離均等選擇概率，需要對初始權(quán)數(shù)(抽樣概率的倒數(shù))進行規(guī)模調(diào)整或是結(jié)構(gòu)調(diào)整，此時最終權(quán)數(shù)在某種程度上總是有差異的[9]。

(10)

由于特殊因素、無回答、抽樣框缺陷等情形對權(quán)數(shù)變動的影響是偶然的、隨機的，總體單位權(quán)數(shù)wj(j=1，2，…，n)將會帶來精度的損失，這個損失可以用權(quán)數(shù)wj的相對方差來表示，得出比式(10)更一般的形式：

=1+cv2(wj)

(11)

如果權(quán)數(shù)和調(diào)查變量無關(guān)，則式(11)表示的不均等加權(quán)的設(shè)計效應(yīng)，可以從一個調(diào)查變量擴展到其它調(diào)查變量。但是，如果權(quán)數(shù)通過事后分層或是根據(jù)某些外部來源的已知控制總量的校準(zhǔn)獲得時，當(dāng)目標(biāo)變量與這些控制總量高度相關(guān)，則權(quán)數(shù)的調(diào)整顯然可以改進精度，而式(11)卻表現(xiàn)出精度的損失，將高估權(quán)數(shù)調(diào)整的設(shè)計效應(yīng)，這時式(11)不再適用。

(三)要素組合的設(shè)計效應(yīng)

1.分層和類集的組合

(12)

(13)

(14)

(15)

2.類集和加權(quán)調(diào)整的組合

在類集和不等概率抽樣方法組合的復(fù)雜樣本中，Kish提出在權(quán)數(shù)隨機或近似隨機的情況下設(shè)計效應(yīng)模型近似為[10]：

(16)

3.分層、類集和加權(quán)調(diào)整的組合

在分層、類集和不等概率抽樣方法組合的復(fù)雜樣本中，總體均值的加權(quán)估計量可以表示為：

(17)

其中，從第h層抽取a個類集，bhβ是第ahα個類集的總體單位數(shù)。Gabler等在各小域方差相等，但各小域同質(zhì)系數(shù)不等的假設(shè)下推導(dǎo)出不重疊的完備域的設(shè)計效應(yīng)[11]，本文用層替代小域，則可以得到式(17)的設(shè)計效應(yīng)：

(18)

(19)

(20)

將以上種種綜合起來，可用圖1示之。

圖1 設(shè)計效應(yīng)的分解與組合圖

三、子群和分析統(tǒng)計量的設(shè)計效應(yīng)

許多調(diào)查會深入到子群，因而需要計算子群描述性統(tǒng)計量以及復(fù)雜分析性統(tǒng)計量的設(shè)計效應(yīng)，這些設(shè)計效應(yīng)都可以由樣本均值(比例)的設(shè)計效應(yīng)來進行擴展。

(一)子群的設(shè)計效應(yīng)

根據(jù)子群在初級抽樣單元中的分布情況，可以將子群分為兩類：第一，子群在初級抽樣單元中均勻分布，稱為交叉類(Cross Classes)，人口、社會、經(jīng)濟的眾多分類都屬于交叉類，如年齡、性別、教育程度、職業(yè)子群。第二，子群集中在由若干個初級抽樣單元構(gòu)成的集合中，稱為分割類，如行政區(qū)子群、農(nóng)村和城市子群。

如果子群中權(quán)數(shù)的分布近似總樣本，則可以直接從總樣本來推導(dǎo)子群估計量的加權(quán)調(diào)整設(shè)計效應(yīng)，即交叉類和總樣本的加權(quán)調(diào)整設(shè)計效應(yīng)幾乎一樣，所以下面只考慮子群的類集設(shè)計效應(yīng)。

1.交叉類的設(shè)計效應(yīng)

(21)

(22)

其中kd>1，且隨著交叉類規(guī)模變化。由于社會經(jīng)濟子群比人口子群的變化大些，更容易聚集，同質(zhì)性系數(shù)也大些，Kish通過總結(jié)大量的調(diào)查實踐，建議kd值取1.2(人口子群)或1.3(社會經(jīng)濟子群)[3]。

2.分割類的設(shè)計效應(yīng)

(二)分析統(tǒng)計量的設(shè)計效應(yīng)

1.子群均值之差的設(shè)計效應(yīng)

隨著調(diào)查數(shù)據(jù)質(zhì)量的提高，對分析統(tǒng)計量的關(guān)注越來越多，最常見的分析統(tǒng)計量即兩個子群的均值(比例)差或比值。下文先分析兩個獨立樣本均值之差的設(shè)計效應(yīng)：

(23)

如果兩個樣本均值的設(shè)計效應(yīng)、樣本量類似，則它們差的設(shè)計效應(yīng)等于它們各自設(shè)計效應(yīng)的加權(quán)平均，ni(i=1，2)表示樣本量，對應(yīng)的權(quán)數(shù)為1/ni，當(dāng)兩個樣本來自同一調(diào)查的不同時期，兩個樣本間的協(xié)方差將降低其差的設(shè)計效應(yīng)：

(24)

當(dāng)兩個樣本來自相同類集(如初級抽樣單元、次級抽樣單元、最終抽樣單元)，則式(24)中協(xié)方差為正，使得均值之差的設(shè)計效應(yīng)變小。Kish研究發(fā)現(xiàn)，兩個子群均值之差的設(shè)計效應(yīng)大于1，但是小于假設(shè)兩個子群均值獨立時的設(shè)計效應(yīng)[3]。將上述結(jié)論表示成方差形式有：

(25)

當(dāng)子群是交叉類時，式(25)正協(xié)方差效應(yīng)使得均值之差的設(shè)計效應(yīng)變小，實證研究表明，協(xié)方差的影響作用相當(dāng)大，使得交叉類子群均值之差的設(shè)計效應(yīng)只比1大些許[3]。當(dāng)子群是分割類時，協(xié)方差的效應(yīng)不明顯，假設(shè)兩個子群總體單位方差相等，則式(25)簡化為：

(26)

2.其它復(fù)雜分析統(tǒng)計量的設(shè)計效應(yīng)

其它分析統(tǒng)計量，如均值比、中位數(shù)、分位數(shù)、線性回歸系數(shù)等，直接計算其設(shè)計效應(yīng)相當(dāng)困難，但是根據(jù)一系列分析統(tǒng)計量設(shè)計效應(yīng)的實證研究(見表1)可以歸納出一些規(guī)律[12]。

表1 三個復(fù)雜樣本中5種估計量的設(shè)計效應(yīng)值

注：數(shù)據(jù)來源于Kish和Frankel[12]。

(27)

四、案例分析

第一步，明確各省的樣本量分配。表2給出了3種樣本分配方案：比例分配、常數(shù)分配、折中分配。由于各省規(guī)模差異較大，3種樣本分配方案截然不同。比例分配下，小省的樣本量太少，難以產(chǎn)生可靠的估計值；而常數(shù)分配則降低了全國估計的精度；折中分配與比例分配相比，小省的樣本量增加了，但是沒有按常數(shù)分配增加得多。采用比例分配時，分層的設(shè)計效應(yīng)為0.99；由于全國大型住戶調(diào)查中，層方差、層均值大致相等的假設(shè)是合理的[5]，由式(3)得到常數(shù)分配的分層設(shè)計效應(yīng)為1.93；由式(5)，折中分配產(chǎn)生的不等概率加權(quán)設(shè)計效應(yīng)為1.21。

表2 三種樣本分配下各省樣本量分配情況

第三步，綜合考慮類集設(shè)計效應(yīng)和各省樣本量非比例分配的設(shè)計效應(yīng)。根據(jù)式(16)，采用折中分配時，全國樣本的設(shè)計效應(yīng)即1.21×1.95=2.36，則全國有效樣本量為10 000/2.36=4 237，全國社保未覆蓋率估計量的變異系數(shù)為0.027，顯然，全國估計量的樣本量超過給定的精度要求；采用常數(shù)分配時，設(shè)計效應(yīng)為1.93×1.95=3.76，有效樣本量為2 660，全國社保未覆蓋率估計量的變異系數(shù)為0.034，不能滿足樣本設(shè)計全國估計量變異系數(shù)的要求。

按照上述思路可以計算出關(guān)鍵調(diào)查變量的可能精度，依據(jù)設(shè)計要求修改樣本量。如果存在無回答、覆蓋不足的情況，還要考慮調(diào)整權(quán)數(shù)對設(shè)計效應(yīng)的影響，例如全國的回答率大約為90%，則樣本量還需要增加11%。

表3 抽樣方法組合設(shè)計效應(yīng)的比較結(jié)果

比較表3數(shù)據(jù)的模擬結(jié)果可發(fā)現(xiàn)，按比例分層兩階段PPS樣本的設(shè)計效應(yīng)最小，0.99×1.95≈1.93，但這種分配方式對規(guī)模較小的省份不利，例如第10個省份在比例分配下，100戶的有效樣本量為100/1.93≈52，該省社保未覆蓋率的變異系數(shù)為0.24，遠(yuǎn)不能達(dá)到分省變異系數(shù)的要求；采用常數(shù)分配所產(chǎn)生的非比例分層的設(shè)計效應(yīng)較大，與類集設(shè)計效應(yīng)組合后，綜合設(shè)計效應(yīng)為3.76，相應(yīng)的有效樣本量僅僅為2 660戶，變異系數(shù)不能滿足全國要求；而介于比例分配和常數(shù)分配之間的折中分配，即使考慮無回答、不覆蓋所導(dǎo)致的加權(quán)調(diào)整設(shè)計效應(yīng)，仍可能滿足全國和分省估計量的精度要求；對于總體的交叉類子群，由于類集設(shè)計效應(yīng)的顯著降低，折中分配分層兩階段PPS 樣本下的有效樣本量仍可以為子群提供較為精確的估計。

五、結(jié)論與啟示

本文將影響復(fù)雜樣本設(shè)計的單項要素分為分層、類集、加權(quán)調(diào)整三類，以此為基礎(chǔ)，將綜合設(shè)計效應(yīng)分解成要素的設(shè)計效應(yīng)，研究結(jié)論表明復(fù)雜樣本設(shè)計導(dǎo)致總體單位間相關(guān)性的變化，進而影響總體方差及設(shè)計效應(yīng)：分層設(shè)計帶來的總體單位間負(fù)相關(guān)性將減少方差及設(shè)計效應(yīng)，但是總體單位分層帶來的精度改進十分有限，而各層樣本量的非比例分配引起的權(quán)數(shù)差異將引起設(shè)計效應(yīng)的增加；類集設(shè)計帶來較大及正的總體單位間相關(guān)將引起設(shè)計效應(yīng)的顯著增加，由于影響類集設(shè)計效應(yīng)的同質(zhì)系數(shù)具有一定的擴展性，類集設(shè)計效應(yīng)可以擴展到不同子樣本抽樣方法、子群、復(fù)雜分析統(tǒng)計量設(shè)計效應(yīng)的計算；當(dāng)權(quán)數(shù)和調(diào)查變量無關(guān)，不均等加權(quán)的設(shè)計效應(yīng)也可以從一個調(diào)查變量擴展到其它調(diào)查變量；對于子群均值及其差值、復(fù)雜分析統(tǒng)計量，各種抽樣方法引起的總體單位間相關(guān)性減弱，所以其設(shè)計效應(yīng)也相對較小。

本文得出啟示：第一，由于綜合設(shè)計效應(yīng)反映了多種抽樣方法結(jié)合的影響，應(yīng)用時要分解為單項要素設(shè)計效應(yīng)；第二，由于各種抽樣方法通過影響總體單位的相關(guān)性來影響設(shè)計效應(yīng)，描述群內(nèi)相關(guān)性的同質(zhì)系數(shù)非常重要，在樣本設(shè)計階段使用設(shè)計效應(yīng)模型就需要估計出同質(zhì)系數(shù)，鑒于同質(zhì)系數(shù)的可移植性，往往用歷史調(diào)查中相同或類似變量以及初級抽樣單元的信息來估計關(guān)鍵目標(biāo)變量的δ值；第三，設(shè)計效應(yīng)在樣本設(shè)計階段中發(fā)揮重要作用，理解非比例分配和類集設(shè)計對調(diào)查變量精度的影響是進行有效樣本設(shè)計的關(guān)鍵。