由線連接的兩體運動問題*

曾貴平 方保龍

(合肥學院數(shù)學與物理系 安徽 合肥 230601)

*合肥學院教學研究項目，項目編號：2017jyzd002,2018hfjyxm55

1 引言

為加深學生對物理概念、定義、理論的理解與應用，大學物理教材都會設計或提煉出相關的練習題供學生訓練. 然而，在設計題時不能想當然，否則會出現(xiàn)難以發(fā)現(xiàn)的錯誤.下面這道題就是這種情況.

【例題】光滑的水平板中央開一小孔，質(zhì)量為m的小球用細線系住，細線穿過光滑的小孔后掛一質(zhì)量為m1的物體．小球做勻速圓周運動，當半徑為r0時與m1物體達到平衡．今在m1的下方再掛一質(zhì)量為m2的物體，如圖1所示．試問這時小球做勻速圓周運動的角速度ω′和半徑r′為多少[1]?

圖1 運動系統(tǒng)示意圖

解析：在只掛重物m1時，小球做圓周運動的向心力為m1g，即

(1)

掛上m2后，則有

(m1+m2)g=mr′ω′2

(2)

重力對圓心的力矩為零，故小球?qū)A心的角動量守恒．即

r0mv0=r′mv′

(3)

聯(lián)立式(1)～(3)得

(4)

(5)

以上的解題過程似乎正確，然而題目是有問題的，問題在于題目中已經(jīng)預先設想小球還能達到“勻速圓周運動”狀態(tài)，實際運動并非如此.下面通過兩種方法來處理問題.

2 動力學方程

如圖2所示，建立柱坐標系，圓孔O為極點，z軸正向垂直于平板向上.

圖2 受力分析

(6)

(7)

對m1與m2進行受力分析，其動力學方程為

T-(m1+m2)g=(m1+m2)az=

(8)

式(7)反映m在橫向不受力、徑向受力，角動量守恒. 由式(7)得

(9)

(10)

(11)

積分得

(12)

常數(shù)c可由初始時刻u=0，r=r0確定

(13)

則m的徑向速度或m1與m2的速度為

(14)

(15)

式中

要確定vr=0對應的r，可求解

f(r)=ar2-br3-c=0

其兩個真實根可由圖3所示求出. 另外，vr的最大值對應的r處于r1～r0之間，可由

得到

由此可見，vr在零至最大值之間變化，即掛上物體m2后，實際上m1與m2隨后將做上下的振動，而m將做繞圓孔O點的非圓周運動.

圖3 vr= 0時r的兩個真實根

3 機械能守恒

以桌面為勢能零點，由于3個物體構成的系統(tǒng)機械能守恒，有

(16)

在極坐標系中m的速度為

則

(17)

結(jié)果與前相同.

4 結(jié)論

一個置于水平面上做勻速圓周運動的物體，通過線連接著另一個下垂物體，在極端情況下，當下垂物體掛上大質(zhì)量物體后，下垂的物體隨后將做近似自由落體運動. 一般情況，下掛物體的質(zhì)量不是很大時，下垂的物體隨后將做上下的振動，水平面上的物體將做繞圓孔的非圓周運動.