S31型羅茨鼓風(fēng)機(jī)葉輪熱變形分析及優(yōu)化設(shè)計*

（長沙理工大學(xué)汽車與機(jī)械工程學(xué)院）

0 前言

羅茨鼓風(fēng)機(jī)系屬容積式風(fēng)機(jī)，是一種量大面廣的通用機(jī)械，結(jié)構(gòu)簡單，形式多樣，制造方便，有臥式、立式、豎軸式三種轉(zhuǎn)子布置形式，相比于其他形式的氣體輸送壓縮風(fēng)機(jī)，具有結(jié)構(gòu)簡單、工作穩(wěn)定、維護(hù)方便、無內(nèi)壓縮，且輸送的介質(zhì)不受油污染等優(yōu)點。其工作原理是利用兩個葉形轉(zhuǎn)子在氣缸內(nèi)作相對運動來壓縮和輸送氣體的回轉(zhuǎn)壓縮機(jī)，被廣泛應(yīng)用于建材、電力、冶煉、化工、礦山、港口、水產(chǎn)養(yǎng)殖、污水處理等領(lǐng)域的各種氣體輸送，適用于低壓力場合的氣體輸送和加壓，也可用作真空泵，是一種重要的工業(yè)設(shè)備[1]。

溫度會引起機(jī)械設(shè)備中構(gòu)件發(fā)生熱變形，導(dǎo)致設(shè)備的性能和精度下降，這是生活中一種常見的物理現(xiàn)象。隨著機(jī)械與儀器精度逐漸提升，溫度對機(jī)械設(shè)備的影響程度也成比例增長，所以研究機(jī)械零件熱變形的計算及其分析是很有必要的，以采取有效措施，盡可能地減小溫度對機(jī)械部件的影響。羅茨鼓風(fēng)機(jī)結(jié)構(gòu)簡單，形式多樣，其功能部件是一對被稱作羅茨輪的三葉轉(zhuǎn)子[2]，工作穩(wěn)定性要求高。兩個葉輪在旋轉(zhuǎn)過程中的配合是確保氣體輸送效率的前提，氣體輸送壓縮過程的溫度升高使葉輪轉(zhuǎn)子外輪廓產(chǎn)生不均勻熱變形，配合間隙變化，導(dǎo)致羅茨鼓風(fēng)機(jī)兩個葉輪產(chǎn)生局部干涉，加劇局部磨損、甚至咬死，不僅影響羅茨鼓風(fēng)機(jī)的正常運行，而且降低葉輪工作壽命。當(dāng)羅茨鼓風(fēng)機(jī)三葉轉(zhuǎn)子間隙過大時，在低速低溫條件下，其效率低下，影響羅茨鼓風(fēng)機(jī)整體性能，達(dá)不到最佳效果[3]。

羅茨鼓風(fēng)機(jī)的工作原理決定了其在工作過程中具有較高的溫度升高，并隨著輸送氣體壓力的升高而升高[4]，溫度升高影響羅茨鼓風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)子的正常配合，導(dǎo)致羅茨鼓風(fēng)機(jī)葉輪轉(zhuǎn)子熱變形日益明顯，進(jìn)而影響羅茨鼓風(fēng)機(jī)安全運行。因此，在不同工況下對羅茨鼓風(fēng)機(jī)葉輪進(jìn)行熱變形分析與結(jié)構(gòu)優(yōu)化，控制減小羅茨鼓風(fēng)機(jī)葉輪外輪廓熱變形量，使葉輪轉(zhuǎn)子在實際工況下依然保持嚙合、穩(wěn)定，對整體機(jī)械設(shè)備正常穩(wěn)定工作有著重要的意義。

1 熱力學(xué)分析基本理論

熱分析過程是指對一個系統(tǒng)在加熱或是冷卻過程中其熱場分布狀態(tài)及其變化規(guī)律的分析和描述。本文綜合分析S31型羅茨鼓風(fēng)機(jī)葉輪，影響其工作過程的熱源主要來自于氣體輸送壓縮過程的溫度升高，故在分析中以溫度為主要參考對象，可以按穩(wěn)態(tài)進(jìn)行熱分析，熱場可以用偏微分方程描述。在穩(wěn)態(tài)熱分析中，任一節(jié)點的溫度不隨時間變化。其熱平衡方程用矩陣形式表達(dá)為[5]：

式中：[K]為傳導(dǎo)矩陣，包含導(dǎo)熱系數(shù)、對流系數(shù)、輻射率及形狀系數(shù)；{T}為節(jié)點溫度向量；{Q}為節(jié)點熱流率向量，包含熱生成。ANSYS利用模型幾何參數(shù)、材料熱性能參數(shù)以及所施加的邊界條件，生產(chǎn)[K]、{T}及{Q}。

根據(jù)參考文獻(xiàn)[6]，由邊界條件和載荷結(jié)合熱應(yīng)力分析可以推導(dǎo)出整體剛度矩陣[K]和載荷向量[P]分別為。

其中，[K]e為單元剛度矩陣，{P}e為單元節(jié)點載荷，為單元節(jié)點熱載荷。

根據(jù)位移模式，由平衡條件、變分原理及胡克定律[K]·{?}={P}可以推導(dǎo)出節(jié)點位移 {?}，由單元節(jié)點位移{?}Te及溫升 {ΔT}e，計算獲得總應(yīng)變 {ε}及熱變形 {ε}T，最終熱應(yīng)力表達(dá)式為

其中，[D]為彈性矩陣。

2 葉輪有限元模型的建立

2.1 葉輪三維模型的建立

采用SolidWorks建立葉輪的三維模型，導(dǎo)入至ANSYS Workbench中進(jìn)行有限元分析?？紤]分析的實際情況，對所建模型進(jìn)行了部分處理。葉輪總長252mm，總寬252mm，總高290mm；葉輪三維模型如圖1所示。

圖1 葉輪三維實體模型Fig.1 3D model of impeller

ANSYS Workbench的項目流程圖如圖2所示。

圖2 ANSYS Workbench項目流程圖Fig.2 ANSYS Workbench project process

2.2 葉輪有限元模型的建立

網(wǎng)格劃分是有限元分析的關(guān)鍵步驟之一，網(wǎng)格劃分的質(zhì)量直接影響到求解精度、求解收斂性和求解速度。網(wǎng)格劃分有多種技術(shù)方法，也可以在不同部分采用不同的網(wǎng)格劃分。

S31羅茨鼓風(fēng)機(jī)葉輪曲面較多，形狀不規(guī)則，在保證精度要求的前提下，在有限元軟件ANSYS前處理中運用Merge工具進(jìn)行面合并，考慮到幾何模型規(guī)律不易把握，在具體的網(wǎng)格劃分中采用的是Workbench手動，四面體支配規(guī)則的網(wǎng)格劃分模式，對合并的面進(jìn)行映射網(wǎng)格劃分，局部加入Face Sizing設(shè)置，得到如圖3所示的有限元模型，網(wǎng)格平均質(zhì)量：0.744，節(jié)點數(shù)：463 872，單元數(shù)：284 277。

圖3 葉輪有限元模型Fig.3 Finite element model of the impeller

3 葉輪熱-結(jié)構(gòu)耦合分析

熱-結(jié)構(gòu)耦合分析是分析結(jié)構(gòu)整體在溫度場下的響應(yīng)情況，這些響應(yīng)包括應(yīng)力、應(yīng)變以及位移等。將穩(wěn)態(tài)分析中的溫度場作為體載荷施加在結(jié)構(gòu)整體上，同時確定邊界條件，由此可以得到溫度場下結(jié)構(gòu)整體的總變形情況[7]。

本文研究對象為S31型羅茨鼓風(fēng)機(jī)葉輪，在實際工況條件下，葉輪會長時間處于穩(wěn)態(tài)傳熱狀態(tài)，利用有限元軟件ANSYS對葉輪進(jìn)行穩(wěn)態(tài)熱分析，將穩(wěn)態(tài)熱分析中的溫度場作為體載荷施加到結(jié)構(gòu)整體上，同時添加約束，由此得到溫度場下結(jié)構(gòu)整體的變形情況，又因葉輪材料球墨鑄鐵是熱的良導(dǎo)體，結(jié)構(gòu)的力學(xué)響應(yīng)幾乎不會影響熱物性、傳熱方式及熱邊界條件，因此，通常二者可以分開求解，結(jié)構(gòu)分析可用熱分析的溫度分布作為輸入條件，故本文采用ANSYS間接耦合方式進(jìn)行分析。熱-結(jié)構(gòu)耦合分析的主要步驟和流程如圖4所示。

圖4 熱-結(jié)構(gòu)耦合分析Fig.4 Thermal-structural coupling analysis

3.1 材料屬性

在分析中，采用的葉輪材料是球墨鑄鐵，球墨鑄鐵是一種高強度鑄鐵材料，其綜合性能接近于鋼，正是基于其優(yōu)異的性能，已成功地用于鑄造一些受力復(fù)雜、強度、韌性、耐磨性要求較高的零件。材料屬性如表1所示。

3.2 邊界條件

若利用有限元方法分析，必須確定邊界條件。邊界條件包括約束邊界條件和載荷邊界條件。載荷邊界條件包括給定溫度、對流和輻射。實際工況下，兩個葉輪轉(zhuǎn)子在同步齒輪的帶動下不斷旋轉(zhuǎn)，故在葉輪裝配孔位置施加遠(yuǎn)端位移約束，限制X、Z方向自由度，Y方向移動自由度；又因為葉輪裝配于羅茨鼓風(fēng)機(jī)轉(zhuǎn)軸之上且葉輪兩端限制于擋油圈套筒之間，故在葉輪擋油圈套筒位置施加位移約束，以限制Y方向的位移；如圖5所示。

表1 QT450材料屬性表Tab.1 QT450 material properties

圖5 葉輪邊界條件Fig.5 Boundary conditions of impeller

3.3 仿真結(jié)果

葉輪溫升ΔT=55S℃后，熱變形結(jié)果如下圖6所示。葉輪零件的變形如圖6和圖7所示，最大變形發(fā)生在葉輪外輪廓的中心，這是由于葉輪兩端限制于擋油圈套筒之間，中間部分剛度較小，故變形大，葉輪最大變形量為F1(X)max=0.110 89mm；最小變形發(fā)生在葉輪端部，這是因為葉輪兩端受到軸向位移約束，兩端部分剛度較大，故變形??；等效應(yīng)力F2(X)=359.86MPa；在ANSYS環(huán)境中，對葉輪施加溫度載荷的仿真結(jié)果符合羅茨鼓風(fēng)機(jī)工作過程中溫度升高葉輪轉(zhuǎn)子的變形狀態(tài)。

圖6 葉輪零件總變形云圖Fig.6 Total deformation of impeller component

圖7 葉輪零件等效應(yīng)力云圖Fig.7 Equivalent stress of impeller component

4 S31型羅茨鼓風(fēng)機(jī)葉輪優(yōu)化

4.1 基于DOE設(shè)計方法的葉輪結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計

由于葉輪幾何模型，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，曲面較多，幾何規(guī)律不易把握，因此采取試驗設(shè)計方法（Design Of Experiment，簡稱DOE）進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計[8-10]。DOE試驗方法有很多種，如析因?qū)嶒炘O(shè)計，中心復(fù)合設(shè)計，Box-Behnken設(shè)計等。此方法根據(jù)輸入?yún)?shù)的數(shù)目，利用蒙特卡羅抽樣技術(shù)，采集設(shè)計參數(shù)樣點，計算每個樣點的響應(yīng)結(jié)果，利用二次插值函數(shù)構(gòu)造設(shè)計空間的響應(yīng)面或設(shè)計曲線[11]，通過合理布置試驗點的位置從而利用少量試驗點得到較高精度的響應(yīng)面。

本次優(yōu)化采用的是DOE方法較為常用的中心復(fù)合設(shè)計(Central Composite Design)[12]。根據(jù)優(yōu)化設(shè)計的三個基本要素，確定設(shè)計變量、約束條件和優(yōu)化目標(biāo)。借助ANSYS Design Exporation工具完成優(yōu)化。

4.2 葉輪優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

S31型羅茨鼓風(fēng)機(jī)最終要實現(xiàn)的優(yōu)化目標(biāo)為控制葉輪外輪廓熱變形量，提高羅茨鼓風(fēng)機(jī)兩葉輪轉(zhuǎn)子及葉輪轉(zhuǎn)子與機(jī)殼的配合精度。葉輪外輪廓熱變形量小，既能使羅茨鼓風(fēng)機(jī)工作壽命延長又能提高氣體輸送的工作效率，故選取葉輪熱變形量、等效應(yīng)力作為其優(yōu)化設(shè)計的目標(biāo)函數(shù)。

式中：F1（X）為葉輪熱變形量，F(xiàn)2（X）為葉輪等效應(yīng)力。

機(jī)械零件的受熱變形量ΔL與零件尺寸L、組成該零件的材料熱膨脹系數(shù)α、環(huán)境溫度T、形體邊界約束參數(shù)Ω有關(guān)[13-18]，羅茨鼓風(fēng)機(jī)葉輪外輪廓熱變形量與其平衡孔形狀和尺寸有關(guān)，通過改變?nèi)~輪內(nèi)孔的幾何尺寸，尋求熱變形量最小，因此其熱變形量由尺寸決定。

從S31型羅茨鼓風(fēng)機(jī)模型實際角度與實際工況出發(fā)，確定葉輪優(yōu)化設(shè)計過程中的約束條件

式中：x1,x2,x3為葉輪非配合面圓孔內(nèi)徑；三個孔內(nèi)徑為三個獨立的設(shè)計變量，在Solid Works軟件中添加幾何約束，使三個孔內(nèi)徑為一個獨立的設(shè)計變量。

根據(jù)（6）所確定的約束范圍，利用中心復(fù)合設(shè)計原理，在參數(shù)的設(shè)計空間內(nèi)確定了9組樣本點。表2給出有限元試驗結(jié)果。

表2 基于中心復(fù)合設(shè)計的有限元試驗結(jié)果Tab.2 Finite element test results is carried out based on central composite design

根據(jù)表2試驗結(jié)果，以設(shè)計變量對熱變形量、等效應(yīng)力為例，利用二次插值函數(shù)構(gòu)造設(shè)計空間的響應(yīng)線如圖8所示。

響應(yīng)曲面（線）分析實際上通過設(shè)計點的參數(shù)來研究輸出或者導(dǎo)出參數(shù)的，由于設(shè)計點是有限的，響應(yīng)曲面（線）就是通過有限的設(shè)計點來擬合而成的。響應(yīng)曲面分析能夠顯示參數(shù)在許可范圍內(nèi)的不同參數(shù)處的輸出量值，動態(tài)地顯示了輸入與輸出參數(shù)間的關(guān)系。

圖8 參數(shù)變量對熱變形量、等效應(yīng)力響應(yīng)線Fig.8 The parameter variable is the response line for thermal deformation and equivalent stress

4.3 葉輪結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果分析

基于DOE試驗優(yōu)化所得的有限元計算結(jié)果擬合出響應(yīng)面模型，選取1 000個樣本數(shù)量，變化參數(shù)以模型初值為基礎(chǔ)，在所給的區(qū)間上變化，最終在Design Explorer中產(chǎn)生了3組優(yōu)化設(shè)計點。如表3所示。

表3 優(yōu)化設(shè)計點Tab.3 Optimization design point

從圖8可以看出，基于DOE試驗方法所得出的響應(yīng)面直接反映了各設(shè)計變量對目標(biāo)函數(shù)的影響，即葉輪三組孔內(nèi)徑參數(shù)的變化，直接對應(yīng)了葉輪熱變形量、等效應(yīng)力響應(yīng)結(jié)果的變化。

在產(chǎn)生的三組優(yōu)化設(shè)計點中，葉輪內(nèi)孔尺寸較優(yōu)化之前均有所變化；在優(yōu)化范圍內(nèi)，三組結(jié)果整體相差不大；從數(shù)值上可以看出，在三組設(shè)計點中，第一個優(yōu)化點比較理想，優(yōu)化后的總變形為0.104 22mm，比優(yōu)化之前的總變形0.110 89mm減少了0.006 67mm，總變形較優(yōu)化前減少了6%。優(yōu)化后的等效應(yīng)力為301.3MPa，比優(yōu)化之前的等效應(yīng)力359.86MPa減少了58.56MPa，平均應(yīng)力減少了16.3%。

結(jié)合實際工況，在葉輪結(jié)構(gòu)尺寸與溫升不發(fā)生太大改變的情況下A組優(yōu)化設(shè)計點最為合適。

4.4 葉輪優(yōu)化結(jié)果模型驗證

三組優(yōu)化設(shè)計點是系統(tǒng)運用設(shè)計點計算結(jié)果擬合得到的，是供參考選擇的，要到得準(zhǔn)確的輸出參數(shù)值需要A組優(yōu)化設(shè)計點作為樣本設(shè)計點帶入程序重新計算，驗證其優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)模型。

下面對重建后的葉輪三維模型進(jìn)行熱-結(jié)構(gòu)耦合分析，得到葉輪熱變量與等效應(yīng)力對比情況如表4所示。

表4 優(yōu)化前后各參數(shù)值對比Tab.4 Comparison of parameter values before and after optimization

由表4可以看出，經(jīng)過重建后的葉輪三維模型熱結(jié)構(gòu)耦合分析計算結(jié)果與響應(yīng)面優(yōu)化擬合結(jié)果偏差較?。ㄈ~輪最大熱變形量、葉輪等效應(yīng)力相對誤差值分別為3.4%，2.7%），如果響應(yīng)面優(yōu)化結(jié)果與實際數(shù)據(jù)驗證結(jié)果偏差較大，則說明樣本點數(shù)量偏少或優(yōu)化區(qū)間過大，本次優(yōu)化結(jié)果說明了優(yōu)化樣本點數(shù)量合適，且參數(shù)變量x1,x2,x3在優(yōu)化區(qū)間的變化范圍內(nèi)是合理的，優(yōu)化擬合得出的響應(yīng)面數(shù)據(jù)是可靠的。

優(yōu)化后葉輪變形云圖、應(yīng)力云圖如圖9和圖10所示。

圖9 優(yōu)化后葉輪的總變形云圖Fig.9 Total deformation of optimized impeller

圖10 優(yōu)化后葉輪的等效應(yīng)力云圖Fig.10 Equivalent stress of optimized impeller

由上述優(yōu)化結(jié)果可知，修改后的葉輪最大熱變形量為0.107 93mm，比優(yōu)化前減少了0.002 96mm，總變形較優(yōu)化前減少了2.7%；葉輪的等效應(yīng)力為319.05MPa，比優(yōu)化前減少了40.81MPa，等效應(yīng)力較優(yōu)化前減少了11.34%。使羅茨鼓風(fēng)機(jī)工作壽命延長，工作效率提高，維修次數(shù)降低，節(jié)省了時間、人力與資源。

5 結(jié)論

修改后結(jié)果葉輪等效應(yīng)力明顯降低，熱變形量也有所減小，若對葉輪結(jié)構(gòu)有更進(jìn)一步的要求，可探索葉輪更多結(jié)構(gòu)參數(shù)作為設(shè)計變量進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化，也可在不改變設(shè)計變量的情況下，根據(jù)現(xiàn)有葉輪優(yōu)化結(jié)果，再構(gòu)造優(yōu)化約束方程、布置合適數(shù)量的樣本點、擬合響應(yīng)面再次重復(fù)上述過程直至滿足要求為止。

轉(zhuǎn)子間隙大小，是影響鼓風(fēng)機(jī)經(jīng)濟(jì)性和可靠性的重要因素。就減少泄漏損失和提高容積效率而言，工作間隙越小越好。為保證葉輪與葉輪、葉輪與機(jī)殼以及葉輪與墻板不發(fā)生接觸和摩擦，工作間隙越大越可靠。設(shè)計時，應(yīng)兼顧這兩方面的要求，確定一種微小而安全的工作間隙。

DOE試驗方法進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，可以通過合理布置試驗點的位置從而利用少量試驗點得到較高精度的響應(yīng)面，從而簡化試驗樣本數(shù)量，提高優(yōu)化效率。