Maple軟件在多元函數(shù)重積分中的應(yīng)用

孔祥強(qiáng)

(菏澤學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，山東 菏澤 274015)

Maple軟件是數(shù)學(xué)類三大軟件之一，應(yīng)用非常廣泛.Maple軟件不僅具有符號(hào)計(jì)算、數(shù)值計(jì)算功能，而且還有強(qiáng)大的數(shù)據(jù)動(dòng)態(tài)可視化功能.另外，Maple軟件對(duì)硬件的要求比較低，可以節(jié)省設(shè)備的投入[1].多元函數(shù)的二重積分、三重積分是大學(xué)數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，學(xué)好這部分內(nèi)容是進(jìn)一步學(xué)習(xí)曲線積分、曲面積分的基礎(chǔ).借助Maple軟件的動(dòng)畫作圖功能，可將這些難度較大的知識(shí)點(diǎn)以空間動(dòng)態(tài)圖的形式展現(xiàn)出來.本文重點(diǎn)討論了利用Maple軟件動(dòng)態(tài)刻畫二重積分的定義及三重積分的體積元素，對(duì)于重積分的計(jì)算也可通過編程輕松實(shí)現(xiàn).

1 Maple軟件在二重積分中的應(yīng)用

1.1 利用Maple軟件動(dòng)態(tài)可視化的功能解釋二重積分的定義

二重積分的定義體現(xiàn)了平頂柱體近似代替曲頂柱體的過程.依托Maple軟件，通過編程，可動(dòng)態(tài)展現(xiàn)這一過程，直觀理解近似的實(shí)質(zhì).該定義可通過案例進(jìn)行說明.

案例1: 由曲面z=6-x2-y2和平面z=0，x=1.9，x=-1.9,y=1.9,y=-1.9圍成的曲頂柱體，動(dòng)態(tài)演示該曲頂柱體黎曼和的近似過程.

Maple程序

with(plots): with(plottools): f:=(x,y)->6-x^2-y^2:

a:=-1.9:b:=1.9:c:=-1.9:d:=1.9: S:=15:for n from 1 to S do for i from 0 to n do xi:=a+i*(b-a)/n:

for j from 0 to n do yj:=c+j*(d-c)/n: A[n,i,j]:=polygonplot3d

({[[xi,yj,f(xi,yj)],[xi+(b-a)/n,yj,f(xi,yj)],[xi+(b-a)/n,yj+(d-c)/n,f(xi,yj)],[xi,yj+(d-c)/n,f(xi,yj)]],

[[xi,yj,0],[xi+(b-a)/n,yj,0], [xi+(b-a)/n,yj, f(xi,yj)], [xi,yj,f(xi,yj)]],

[[xi+(b-a)/n,yj,0], [xi+(b-a)/n, yj+(d-c)/n,0],[ xi+(b-a)/n,yj+(d-c)/n, f(xi,yj)], [xi+(b-a)/n,yj, f(xi,yj)]],

[[xi+(b-a)/n,yj+(d-c)/n,0], [xi, yj+(d-c)/n,0],[ xi, yj+(d-c)/n, f(xi,yj)], [xi+(b-a)/n,yj+(d-c)/n, f(xi,yj)]],

[[xi,yj,0], [xi, yj+(d-c)/n,0], [xi, yj+(d-c)/n, f(xi,yj)],[xi,yj, f(xi,yj)]],

[[xi,yj,0], [xi+(b-a)/n,yj,0], [xi+(b-a)/n, yj+(d-c)/n,0],[xi, yj+(d-c)/n, 0]]})od:

C[n,i]:=display(seq(A[n,i,j],j=0..n-1))od: CC[n]:= display(seq(C[n,i],i=0..n-1)od:

CCC:=display(seq(CC[n],n=1..S),insequence=true):

display(CCC,CCC,axes=boxed,orientation=[50,50],title=”二重積分的黎曼和”);

輸出為動(dòng)態(tài)連續(xù)變化的空間立體圖形.幀數(shù)為24時(shí)，結(jié)果為圖1；幀數(shù)為8時(shí)，結(jié)果為圖2.在輸出的圖形上單擊鼠標(biāo)右鍵，選擇“動(dòng)畫”中的“播放”，即可實(shí)現(xiàn)連續(xù)動(dòng)態(tài)的近似過程；通過播放器上的按鈕，可實(shí)現(xiàn)動(dòng)畫的加速或慢速播放；同時(shí)，將鼠標(biāo)置于圖形上，可任意旋轉(zhuǎn)選擇不同的視角觀察立體圖；也可根據(jù)需要，在圖形上附加不同的樣式等[2].

圖1 二重積分的黎曼和(幀數(shù)多時(shí))

圖2 二重積分的黎曼和(幀數(shù)少時(shí))

1.2 通過Maple軟件編程計(jì)算二重積分

二重積分的計(jì)算方法總體上是化為二次積分來進(jìn)行.由于采用的坐標(biāo)系不同，計(jì)算方法又可分為直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)系兩種情形.利用Maple編程來計(jì)算二重積分是十分方便的.

直角坐標(biāo)系下Maple程序

f:=(x,y)->x^2+y^2; y1:=-1:y2:=2:x1:=y->y^2:x2:=y->y+2:

Int(Int(f(x,y),x=x1(y)..x2(y)),y=y1..y2)=int(int(f(x,y),x

=x1(y)..x2(y)),y=y1..y2);

2 Maple軟件在三重積分中的應(yīng)用

2.1 利用Maple軟件的可視化功能展現(xiàn)三重積分的體積元素

案例3: 在空間中展示柱面坐標(biāo)系下三重積分的體積元素dv.

通過Maple編程

with(plots):b1:=plot3d([r,Pi/6,z],r=1..2,z=1..1.5,coords=cylindrical,color=red):

b2:=plot3d([r,Pi/3,z],r=1..2,z=1..1.5, coords=cylindrical,color=red):

z1:= plot3d([1,theta,z],theta=Pi/6..Pi/3,z=1..1.5,coords=cylindrical,color=cyan):

z2:= plot3d([2,theta,z],theta=Pi/6..Pi/3,z=1..1.5,coords=cylindrical,color=cyan):

m1:= plot3d([r,theta,1],r=1..2,theta=Pi/6..Pi/3,coords=cylindrical,color=green):

m2:= plot3d([r,theta,1.5],r=1..2,theta=Pi/6..Pi/3,coords=cylindrical,color=green):

T:=50:for i from 1 to T do ti:=i*360/T: p[i]:=display(b1,b2,z1,z2,m1,m2,

orientation=[ti,60],style=patchnogrid):od:

H:=display([seq(p[i],i=1..K)],insequence=true):x:=plot3d([u,0,0],u=-1.5..1.5,v=0..0.01):

y:=plot3d([0,u,0],u=-1.5..1.5,v=0..0.01): z:=plot3d([0,0,u],u=-0.5..2.5,v=0..0.01):

h:=display(x,y,z,thickness=2): display(H,h,orientation=[40,60],axes

=boxed,title=”柱面坐標(biāo)中的體積元素”);

輸出的結(jié)果見圖3.圖4是柱面坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)面所圍成的體積元素的情形.通過圖3和圖4，更能直觀、形象地反映出體積元素的特征，加深對(duì)柱面坐標(biāo)系的理解.

圖3 柱面坐標(biāo)系下的體積元素

圖4 帶有三個(gè)坐標(biāo)面的體積元素

案例4: 在空間中展示球面坐標(biāo)系下三重積分的體積元素.

利用Maple編程

with(plots):p1:=plot3d([s,Pi/5,alpha],s=1..1.6,alpha=Pi/5..Pi/3,coords

=spherical,color=orange):

p2:=plot3d([s,Pi/3,alpha],s=1..1.6,alpha=Pi/5..Pi/3,coords=spherical,color=orange):

p3:=plot3d([s,t,Pi/5], t=Pi/5..Pi/3, s=1..1.6,coords=spherical,color=red):

p4:=plot3d([s,t,Pi/3], t=Pi/5..Pi/3, s=1..1.6,coords=spherical,color=red):

p5:=plot3d([1,t,alpha], alpha =Pi/5..Pi/3, t=Pi/5..Pi/3,coords=spherical,color=cyan):

p6:=plot3d([1.6,t,alpha], alpha =Pi/5..Pi/3, t=Pi/5..Pi/3,coords=spherical,color=cyan):

T:=display(p1,p2,p3,p4,p5,p6,orientation=[20,60],style=patchnogrid):

display(T,axes=boxed,title=”球面坐標(biāo)中的體積元素”);

輸出的結(jié)果見圖5.通過旋轉(zhuǎn)，可得到任意角度下的空間立體圖形，見圖6，從而更好地掌握球面坐標(biāo)系下體積元素的各個(gè)面的特征，為球面坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算打下基礎(chǔ)[3,4].

圖5 球面坐標(biāo)系下的體積元素

圖6 不同視角下球面坐標(biāo)系的體積元素

2.2 通過Maple軟件編程計(jì)算三重積分

三重積分的計(jì)算有多種方法，下面著重介紹柱面坐標(biāo)系和球面坐標(biāo)系下的計(jì)算.

Maple程序

f:=(x,y,z)->exp(-x^2-y^2);

Int(Int(Int(f(r*cos(theta),r*sin(theta),z)*r,z=r..4),r=0..4),theta=0..2*Pi)

=int(int(int(f(r*cos(theta),r*sin(theta),z)*r,z=r..4) ,r=0..4),theta=0..2*Pi);

案例5說明，通過Maple軟件編程，可輕松實(shí)現(xiàn)三重積分的計(jì)算.

3 結(jié)語(yǔ)

Maple軟件除了可以動(dòng)態(tài)可視化展現(xiàn)空間立體的圖像外，也可用于多個(gè)二維圖形的動(dòng)畫展示.除了計(jì)算重積分，軟件還可用于重積分的應(yīng)用方面，如計(jì)算曲面的面積、曲面圍成的立體的體積等[5].Maple軟件也廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)的其他分支[6,7].數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說“數(shù)無形時(shí)少直覺，形無數(shù)時(shí)難入微”，充分肯定了數(shù)形結(jié)合的重要性.本文討論的Maple軟件在重積分上的應(yīng)用剛好體現(xiàn)了這一點(diǎn).將Maple軟件引入日常教學(xué)活動(dòng)中，會(huì)使教學(xué)過程更加生動(dòng)形象，在很大程度上能夠提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心[8].