不同應(yīng)力路徑下旋轉(zhuǎn)硬化方程的統(tǒng)一表示及驗(yàn)證

張浩，吳志鴻，張峰，戴自航

(1.中建海峽建設(shè)發(fā)展有限公司，福州 350003；2. 福州大學(xué) 土木工程學(xué)院, 福州 350116 )

原狀土體是在一定應(yīng)力條件下形成的，土體顆粒結(jié)構(gòu)產(chǎn)生定向排列，在宏觀結(jié)構(gòu)上形成一定的各向異性。同時(shí)，土體的變形與加載應(yīng)力路徑密切相關(guān)，采用不同的應(yīng)力加載路徑會得到不同的應(yīng)變，引起初始各向異性的變化，形成土體顆粒之間的新的排列，這種新的各向異性稱為誘發(fā)性各向異性。在屈服面模型中，這種各向異性通過屈服面的旋轉(zhuǎn)來表示，這就是模型中采用的旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式。

研究人員對旋轉(zhuǎn)硬化規(guī)律采用了不同的表達(dá)形式。Wheeler等[1]提出的旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式同時(shí)考慮了塑性體積應(yīng)變和塑性剪切應(yīng)變的影響，但旋轉(zhuǎn)硬化參數(shù)不能直接確定，需要通過反分析，并且沒有考慮洛德角的影響。Whittle等[2]提出的旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式采用臨界狀態(tài)線作為旋轉(zhuǎn)的邊界線，只考慮了塑性剪切應(yīng)變對旋轉(zhuǎn)硬化的影響，這與試驗(yàn)現(xiàn)象不吻合。Taiebat等[3]沒有考慮塑性剪切應(yīng)變的影響，同時(shí)，參數(shù)值不能直接確定，需要通過反分析,屈服面的旋轉(zhuǎn)存在邊界線。Zhang等[4]依據(jù)交變加載試驗(yàn)結(jié)果提出了一個(gè)旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式，該表達(dá)式考慮了塑性剪切應(yīng)變的作用，但是，參數(shù)需要通過反分析才能確定，給計(jì)算帶來不便。Hashiguchi[5]認(rèn)為屈服面旋轉(zhuǎn)過程中塑性體積應(yīng)變沒有影響，采用K0線作為屈服面的傾斜線，這與已有的試驗(yàn)結(jié)果不符。Hueckel等[6]同時(shí)考慮了塑性體積應(yīng)變和塑性剪切應(yīng)變對旋轉(zhuǎn)速度的影響，但是，旋轉(zhuǎn)硬化參數(shù)的確定缺乏依據(jù)。Newson等[7]采用應(yīng)力表示屈服面的旋轉(zhuǎn)速度，屈服面的旋轉(zhuǎn)只考慮了每一步的應(yīng)力增量，沒有考慮剪切應(yīng)力的作用，同時(shí)，由于該本構(gòu)模型采用非相關(guān)聯(lián)流動法則，使得該旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式非常復(fù)雜。王立忠等[8]提出的表達(dá)式同時(shí)考慮了塑性體積應(yīng)變和塑性剪切應(yīng)變的作用，認(rèn)為屈服面的旋轉(zhuǎn)存在一定的范圍，超過該范圍時(shí)，對應(yīng)屈服面的傾斜角度平衡值為0。對土體旋轉(zhuǎn)硬化規(guī)律表達(dá)形式方面的研究成果還有很多[9-14]，目前提出的旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式均是針對某一種具體的應(yīng)力路徑所提出的，當(dāng)應(yīng)力路徑發(fā)生改變時(shí)，旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式的適用性有待驗(yàn)證。

1 旋轉(zhuǎn)硬化方程的統(tǒng)一表示

1.1 旋轉(zhuǎn)硬化方程的分類

研究人員針對旋轉(zhuǎn)硬化規(guī)律采用了不同的表達(dá)形式，不同表達(dá)形式之間，塑性剪切應(yīng)變和塑性體積應(yīng)變對應(yīng)的平衡值也不相同。依據(jù)加載應(yīng)力比η和相對應(yīng)屈服面的傾斜角度平衡值α之間的關(guān)系，這些旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式可劃分為3種類別。

第1種：η與α之間為線性關(guān)系，不存在旋轉(zhuǎn)極限線，方程式為

α=xη

(1)

式中：x為η與α之間的線性比例關(guān)系參數(shù)，其取值一般為1和0，這種關(guān)系式比較典型的旋轉(zhuǎn)硬化規(guī)律包括Whittle等[2]、Taiebat等[3]及Zhang等[4]提出的旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式。

第2種：η與α之間為線性關(guān)系，但是存在旋轉(zhuǎn)極限線，超出旋轉(zhuǎn)范圍極限線之后，屈服面對應(yīng)的傾斜角度平衡值α為0，表達(dá)式為

(2)

這種關(guān)系式比較典型的旋轉(zhuǎn)硬化規(guī)律包括王立忠等[8]提出的旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式。

第3種：η與α之間為曲線關(guān)系，比較典型的包括Wheeler等[1]提出的旋轉(zhuǎn)硬化規(guī)律表達(dá)式。

3(3η-4α)(M2-η2)=±8β(3α-η)(η-α)

(3)

為了分析這3種表達(dá)方式的合理性，收集了14種數(shù)據(jù)的應(yīng)力比η/M和與應(yīng)力比相對應(yīng)的平衡值α/M之間的試驗(yàn)結(jié)果([1], [15-17])，M為考慮了洛德角影響的臨界狀態(tài)線的斜率，試驗(yàn)結(jié)果與采用這3種表達(dá)式進(jìn)行模擬的結(jié)果對比如圖1所示。

圖1 歸一化的應(yīng)力比η/M與平衡值α/MFig.1 Normalization of the stress ratio

從圖1可以看出，在歸一化應(yīng)力比η/M較低的情況下，除了第1種表達(dá)式中x取0的情況外，依據(jù)這3種表達(dá)式得到的模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果之間都吻合得比較好，當(dāng)η/M的值達(dá)到一定值之后，塑性剪切應(yīng)變的影響程度開始增加，隨著歸一化應(yīng)力比η/M的增加，α/M反而開始下降。采用第2種關(guān)系式得到的曲線雖然也能反映出這種趨勢，但是模擬曲線與試驗(yàn)結(jié)果之間存在明顯差距。

1.2 旋轉(zhuǎn)硬化方程的統(tǒng)一表示及參數(shù)確定

1.2.1 旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式 從圖1可以看出，第3種表達(dá)式能較好地反映α/M隨η/M的增加而下降的趨勢，但試驗(yàn)結(jié)果與模擬結(jié)果之間存在一定誤差，尤其在拉伸狀態(tài)下，這種誤差比較明顯。同時(shí)，通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)也可以看出，在應(yīng)力比η較低的情況下，塑性體積應(yīng)變占主導(dǎo)位置，η與α之間相等，當(dāng)應(yīng)力比η趨向于M時(shí)，α接近于0?；诖?，提出旋轉(zhuǎn)硬化規(guī)律的統(tǒng)一表達(dá)式為

(4)

式中總共包含4個(gè)參數(shù)，分別是μ、β、a和b，當(dāng)這4個(gè)參數(shù)取不同的值時(shí)，就可以得到不同的旋轉(zhuǎn)硬化規(guī)律表達(dá)式。同時(shí)，從圖1可以看出，在應(yīng)力比η/M較低時(shí)，η/M近似等于α/M，當(dāng)達(dá)到一定程度之后，α/M隨著η/M的增大逐漸減小，最后趨向于0。為了反映這種趨勢，本文提出參數(shù)a和b分別取1和0，得到的旋轉(zhuǎn)硬化規(guī)律表達(dá)式為

(5)

為驗(yàn)證該旋轉(zhuǎn)硬化方程的合理性，將該表達(dá)式嵌入修正劍橋模型，有關(guān)修正劍橋模型的具體介紹可參考文獻(xiàn)[18]。建立了一個(gè)能描述各向異性的彈塑性本構(gòu)模型，模型的屈服面方程表示為

f=(q-αp)-(M2-α2)(pc-p)p=0

(6)

1.2.2 旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式參數(shù)的確定 旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式包含兩個(gè)參數(shù)，分別是μ和β，這里介紹對這兩個(gè)參數(shù)的推導(dǎo)過程。若繼續(xù)一維壓縮過程，屈服面不發(fā)生旋轉(zhuǎn)，即

(7)

一維壓縮過程中

(8)

式中：dε1和dε3分別表示壓縮過程中的單元體豎向應(yīng)變和水平應(yīng)變，聯(lián)合式(7)和式(8)，得到

(9)

結(jié)合方程式(6)，一維壓縮中塑性體積應(yīng)變和塑性剪切應(yīng)變之間的關(guān)系表示為

(10)

得到

(11)

將式(11)代入式(9)，可得到

(12)

如果將土體式樣各向同性固結(jié)到先期壓力的2～3倍左右，則土體的各向異性將基本消失[19]，此時(shí),發(fā)生的塑性體積應(yīng)變可表示為

(13)

各向同性固結(jié)時(shí)，應(yīng)力比η=0, 塑性剪切應(yīng)變和塑性體積應(yīng)變之間的比例關(guān)系可表示為

(14)

將式(14)代入式(5),得

(15)

對式(15)左邊積分，得

(16)

假定屈服面累計(jì)旋轉(zhuǎn)到初始值α0的0.1倍時(shí)，土體顯示各向同性性質(zhì)，這樣聯(lián)合式(13)、式(15)和式(16)就可求出參數(shù)μ的表達(dá)式。

(17)

聯(lián)合式(5)、式(12)和式(17)，可建立α/M和η/M之間的關(guān)系曲線，如圖2所示。

圖2 應(yīng)力比η/M與平衡值α/MFig.2 Stress ratio η/M and equilibrium value

從圖2可以看出，采用本文提出的旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式得到的曲線與試驗(yàn)結(jié)果之間吻合得較好，能很好地反映屈服面的傾斜角度先增后減，最后趨向于0的過程。將提出的旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式導(dǎo)入修正劍橋模型，模擬屈服面的旋轉(zhuǎn)以及不同應(yīng)力路徑下的土體試樣的應(yīng)力-應(yīng)變行為，模型需要輸入的模型與修正劍橋模型需要輸入的參數(shù)相同，總共包含6個(gè)，分別為e0、λ、κ、M、υ和pm0, 參數(shù)的物理意義可參考文獻(xiàn)[18]。

2 不同應(yīng)力路徑試驗(yàn)的模擬

為了分析旋轉(zhuǎn)硬化對不同加載路徑下土體應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的影響，選擇3種不同的應(yīng)力路徑進(jìn)行分析，分別是溫州軟土三軸排水試驗(yàn)[20]、BBC(Boston Blue Clay)土的三軸不排水試驗(yàn)[21]、Otaniemi土的循環(huán)加載試驗(yàn)[22]，這3種土需要輸入模型的參數(shù)見表1。

表1 輸入模型的參數(shù)Table 1 Input parameter of the model

2.1 三軸排水試驗(yàn)

沈愷倫[20]對溫州軟土進(jìn)行了三軸排水試驗(yàn)，試驗(yàn)過程先依照原狀土的應(yīng)力狀態(tài)進(jìn)行固結(jié)，然后再分別進(jìn)行排水狀態(tài)下的三軸壓縮試驗(yàn)。圖3和圖4表示的是應(yīng)力路徑為BCD50和BED33時(shí)，三軸壓縮試驗(yàn)結(jié)果和采用不同旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式得到的模擬結(jié)果之間的對比。

圖3 應(yīng)力路徑BCD50的試驗(yàn)結(jié)果和模擬結(jié)果Fig.3 Simulated and experiment results of

圖4 應(yīng)力路徑BED33的試驗(yàn)結(jié)果和模擬結(jié)果Fig.4 Simulated and experiment results of

圖3是應(yīng)力路徑為BCD50時(shí)試驗(yàn)結(jié)果和采用不同旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式時(shí)得到的模擬結(jié)果之間的對比，從圖中可以看出，總體上模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果之間吻合得比較好，采用不同旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式得到的模擬曲線之間非常接近，在模擬p-εv時(shí)，隨著體積應(yīng)變的發(fā)展，模擬曲線之間開始出現(xiàn)差距。當(dāng)體積應(yīng)變達(dá)到3%時(shí)，模擬曲線之間開始出現(xiàn)一定的差距，與試驗(yàn)結(jié)果之間的差距也慢慢增大，在模擬q-εs時(shí)，采用不同旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式得到的模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果之間非常接近，都能較準(zhǔn)確地模擬q-εs的發(fā)展趨勢。

圖4是三軸拉伸試驗(yàn)BED-33時(shí)試驗(yàn)結(jié)果與模擬結(jié)果之間的對比，從圖中可以看出，在模擬p-εv曲線時(shí)，采用不同旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式對模擬結(jié)果的影響不是很明顯，采用4種旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式得到的模擬曲線之間非常接近，都能較準(zhǔn)確地模擬p-εv之間的發(fā)展趨勢，但在模擬q-εs曲線時(shí)，模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果存在一定的誤差，當(dāng)剪切應(yīng)變較小時(shí)，模擬曲線之間比較接近，隨著剪切應(yīng)變的發(fā)展，模擬曲線之間開始出現(xiàn)一定程度的誤差，采用本文提出的旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式得到的模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果之間吻合較好。

2.2 三軸不排水試驗(yàn)

Ladd等[21]對BBC(Bonston Blue Clay)土進(jìn)行了三軸不排水壓縮試驗(yàn)，所取土試樣首先各向同性固結(jié)到150 kPa, 然后根據(jù)不同的超固結(jié)比值Roc，分別卸載到相應(yīng)的應(yīng)力值，這里選取的Roc分別為1和4，土樣在整個(gè)加載過程中保持不排水條件，需要輸入模型的土體參數(shù)見表1。Yu等[23]也對該試驗(yàn)進(jìn)行了數(shù)值研究。

圖5 不同超固結(jié)比的試驗(yàn)結(jié)果與模擬結(jié)果Fig.5 Simulated and experiment results of samples with different overconsolidation

圖5為模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果之間的對比，從圖中可以看出，在對應(yīng)力路徑p-q進(jìn)行模擬時(shí)，采用不同旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式得到的模擬曲線與試驗(yàn)曲線之間比較接近，采用這4種旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式都能較準(zhǔn)確地反映出p-q之間的變化趨勢。在模擬q-εs時(shí)，當(dāng)OCR為1，即當(dāng)試樣為正常固結(jié)時(shí)，模擬曲線位于試驗(yàn)曲線的上部，在出現(xiàn)相同的剪切應(yīng)變εs時(shí)，模擬得到的剪切應(yīng)力q要大于試驗(yàn)過程中的剪切應(yīng)力，同時(shí)，采用不同旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式得到的模擬曲線之間也不是非常接近，相比較而言，采用本文提出的旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式得到的模擬曲線與試驗(yàn)曲線之間最為接近。當(dāng)OCR為4時(shí)，在模擬應(yīng)力路徑p-q時(shí)，不同旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式得到的模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果之間非常接近，都能準(zhǔn)確地反映出應(yīng)力路徑p-q的變化趨勢，在模擬q-εs時(shí)，模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果之間存在一定的誤差，但這種誤差要小于OCR為1時(shí)試驗(yàn)結(jié)果與模擬結(jié)果之間的誤差，總體而言，這4個(gè)旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式都能較準(zhǔn)確地反映出變形趨勢，采用本文提出的旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式得到的模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果之間最為接近。

2.3 循環(huán)加載試驗(yàn)

循環(huán)加載試驗(yàn)選取Otaniemi重塑土進(jìn)行了研究，這種土的相關(guān)參數(shù)及試驗(yàn)過程見Karstunen等[22]的研究成果，在三軸壓縮之前，先將試樣按照一定的應(yīng)力路徑η0進(jìn)行固結(jié)，隨后將試樣進(jìn)行卸載到一定值, 然后對試樣進(jìn)行加載卸載循環(huán)試驗(yàn)。本文選取了兩組試樣，分別是試樣CAE3516R和試樣CAE3519R，試樣CAE3516R模擬結(jié)果如圖6所示。

圖6 CAE3516R試驗(yàn)結(jié)果與分析結(jié)果對比Fig.6 Simulated and experiment results of

從圖6可以看出，對于CAE3516R試樣，在模擬應(yīng)力-應(yīng)變曲線p-εv時(shí)，采用不同旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式對模擬結(jié)果有較大影響。初始加載時(shí)，采用Whittle等和王立忠等提出的旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式得到的模擬曲線位于試驗(yàn)曲線的上部，采用本文提出的旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式與Hueckel等提出的旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式得到的模擬曲線之間比較接近。卸載階段，不同旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式得到的模擬結(jié)果之間的差距比加載階段不同旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式得到的模擬結(jié)果之間的差距要明顯一些，相比較而言，采用本文提出的旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式得到的模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果之間更為接近。在模擬應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系q-εs時(shí), 采用4種旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式都能反映出應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的變化趨勢，但是，相比較應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系p-εv而言，不同旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式得到的模擬曲線之間的差距更明顯。

圖7為CAE3519R的試驗(yàn)結(jié)果與模擬結(jié)果之間的對比，從圖中可以看出，在模擬應(yīng)力-應(yīng)變曲線p-εv時(shí)，加載階段，不同旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式得到的模擬結(jié)果之間存在一定差距，卸載階段，不同模擬結(jié)果之間則比較吻合。在模擬應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系q-εs時(shí)，不同旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式得到的模擬曲線之間差距比較明顯，采用本文提出的旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式得到的模擬曲線與實(shí)測數(shù)據(jù)之間最為接近。

圖7 CAE3519R試驗(yàn)結(jié)果與分析結(jié)果對比Fig.7 Simulated and experiment results of

3 結(jié)論

對提出的旋轉(zhuǎn)硬化規(guī)律表達(dá)式進(jìn)行總結(jié)，依據(jù)加載應(yīng)力比η和相對應(yīng)屈服面的傾斜角度平衡值α之間的關(guān)系，將提出的旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式劃分為3種類型，分別是線性關(guān)系同時(shí)不存在旋轉(zhuǎn)極限線、線性關(guān)系同時(shí)存在旋轉(zhuǎn)極限線以及曲線關(guān)系。建立了這3種關(guān)系式的函數(shù)曲線，函數(shù)曲線與試驗(yàn)結(jié)果之間的對比結(jié)果顯示，采用曲線表達(dá)形式與試驗(yàn)結(jié)果之間最為吻合。

在采用曲線型表達(dá)方程的基礎(chǔ)上，提出了一個(gè)適用于不同應(yīng)力路徑下的旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式，同時(shí)考慮了塑性體積應(yīng)變和塑性剪切應(yīng)變對旋轉(zhuǎn)速度的影響。表達(dá)式共包含兩個(gè)參數(shù)，通過理論分析，得到這兩個(gè)參數(shù)的確定方法。將所提出的旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式導(dǎo)入修正劍橋模型，建立一個(gè)能描述各向異性的本構(gòu)模型，采用此模型模擬了不同應(yīng)力路徑下的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，模擬過程中，同時(shí)采用了其他3種旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式。將試驗(yàn)結(jié)果與模擬結(jié)果之間以及采用不同旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式得到的模擬結(jié)果之間進(jìn)行對比分析，分析結(jié)果驗(yàn)證了提出的旋轉(zhuǎn)硬化表達(dá)式的合理性。