一題多解、一題多變、多解歸一

李娜娜

【題目】已知：如圖1，在梯形ABCD中，[AD∥BC，∠A=90°]，E為AB中點，[AD+BC=DC].求證：（1）[DE⊥EC，DE平分∠ADC].（2） 分別以BC、BA所在的直線為x軸、y軸建立直角坐標系，AD=4，AB=12，求直線CD的表達式。

該題是對上海數(shù)學教材《22.6（2）梯形中位線》中例8的改編題，用于初二年級下學期數(shù)學期末模擬測試，本文主要是研究該題第（1）問的“一題多解、一題多變”。

一、一題多解

【學生解法】（如下圖）

方法1：取CD中點H，聯(lián)結(jié)EH。

方法2：延長DE交CB的延長線于點F。

方法3：延長CE交DA的延長線于點G。

方法4：延長CB到F，使BF=AD，聯(lián)結(jié)EF。

方法5：延長DA到G，使AG=BC，聯(lián)結(jié)EG。

【分析】方法1則是從在梯形ABCD、E為腰AB中點以及[AD+BC=DC]聯(lián)想到梯形的中位線定理.方法2和方法3是將已知條件[AD∥BC]和E為AB中點進行聯(lián)合發(fā)展，通過構(gòu)造中心對稱，從而得到一組全等三角形，來實現(xiàn)問題的解決.方法4和方法5則是從直角梯形以及E為中點，構(gòu)造SAS全等，也有同學是以[AD+BC=DC]為切入點，想到“截長補短”，學生的典型錯誤是證明時忽略了三點共線問題。

二、一題多變

我們對一道題做“變式”的基本思路有：“弱化已知條件”、“加強所證結(jié)論”以及“交換條件和結(jié)論”.若把該題的第（1）問中的部分條件和結(jié)論分別編號：①E為AB中點；②[ AD+BC=DC]；③[ DE⊥EC]；④[ DE平分∠ADC]。通過“交換條件和結(jié)論”得到了非常精彩的變式，并且每一個變式都是可以證明是成立的，且方法多樣。

【變式1】已知：在梯形ABCD中，[AD∥BC，∠A=90°]，①E為AB中點，③[ DE⊥EC].求證：[② AD+BC=DC，④ DE平分∠ADC。]（輔助線添加方法1、2、3、4、5。）

【變式2】已知：在梯形ABCD中，[AD∥BC，∠A=90°]，①E為AB中點，[④ DE平分∠ADC].求證：[② AD+BC=DC，③ DE⊥EC。]（輔助線添加方法1、2、3、4、5、6、7。）

【變式3】已知：在梯形ABCD中，[AD∥BC，∠A=90°]，[② AD+BC=DC]，③[ DE⊥EC]。

求證：①E為AB中點[，④ DE平分∠ADC.]（輔助線添加方法3）

思路：用“反正法”證明EH是梯形ABCD的中位線。假設(shè)EH不是梯形ABCD的中位線，在[RT?CDE]中，易得[EH=12CD=12（AD+BC）]，取AB中點M，則由梯形中位線定理，易得[HM=12AD+BC，且HM∥AD，]所以[HM⊥AB]，根據(jù)點到直線的距離，垂線段最短，易得[HM

【變式4】已知：在梯形ABCD中，[AD∥BC，∠A=90°]，[② AD+BC=DC]，[④ DE平分∠ADC].求證：[①E為AB中點，③ DE⊥EC.]（輔助線添加方法1、6、7。）

【變式5】已知：在梯形ABCD中，[AD∥BC，∠A=90°]，[③ DE⊥EC]，[④ DE平分∠ADC].

求證：[①E為AB中點，② AD+BC=DC.]（輔助線添加方法2、6、7。）

【輔助線添加方法】

1.延長DE交CB的延長線于點F。

2.延長CE交DA的延長線于點G。

3.取CD中點H，聯(lián)結(jié)EH。

4.延長CB到F，使BF=AD，聯(lián)結(jié)EF。

5.延長DA到G，使AG=BC，聯(lián)結(jié)EG。

6.過點E作[EI⊥CD]，垂足為點I。

7.在DC上截取[ DI=AD，聯(lián)結(jié)EI]。

三、多解歸一

在研究這五種變式時，發(fā)現(xiàn)變式2的輔助線添加方法有7種，仔細分析，不難發(fā)現(xiàn)除了構(gòu)造梯形中位線之外（輔助線3），其他添加方法，均為了與已知條件結(jié)合，構(gòu)造出全等三角形，通過對比可以感受到，不同的輔助線添加，其實都殊途同歸，為三角形全等提供了條件，從而解決問題，“多解歸一”思維習慣的培養(yǎng)，非常有利于深入本質(zhì)，鍛煉思維，掌握解題規(guī)律。

平面幾何的學習，主要是推理論證，不同的題目，證法各異，但證法的規(guī)律是存在的，要注意引導(dǎo)學生去發(fā)現(xiàn)、積累、總結(jié)、掌握這些規(guī)律.該題第（1）問的“一題多解”“一題多變”，提煉后有三種常規(guī)輔助線的。

1.已知線段中點，可以考慮構(gòu)造中心對稱，形成全等三角形.這種輔助線的添加方法在教材中多次運用，例如：上海數(shù)學教材《18.2（6）幾何證明》例11、直角三角形中線性質(zhì)定理的證明、梯形中位線定理的證明。

2.已知角平分線，可以考慮構(gòu)造軸對稱，形成全等三角形。變式5的方法3則是對常見的基本圖形的處理方法：當已知條件中一條角平分線垂直于另一條線段時，可以延長該線段，構(gòu)造全等。

3.已知梯形及一腰的中點，可以考慮添加梯形中位線，應(yīng)用梯形的中位線定理進行解題。

這幾種常規(guī)輔助線的添加看似難度不大，但當其應(yīng)用于較為復(fù)雜的綜合題時，往往是解題的關(guān)鍵所在，平時教學時，也可以從一題多解、一題多變、多解歸一的角度去進行教學設(shè)計，幫助學生深入本質(zhì)，鍛煉思維。

參考文獻

[1]孫維剛.初中數(shù)學[M].北京：北京大學出版社，2015，6.

[2]何小亞.中學數(shù)學教學設(shè)計[M].北京：科學出版社，2008，7.