深入研究Taylor公式及其應(yīng)用

殷月竹　許峰

摘 要 文章首先強(qiáng)調(diào)了Taylor公式的重要性，接著深入討論了Taylor公式的條件與形式、余項(xiàng)的階等問(wèn)題，然后詳細(xì)探討了Taylor公式的廣泛應(yīng)用，尤其是結(jié)合典型例題對(duì)如何靈活利用Taylor公式來(lái)證明不等式做了細(xì)致的分析和總結(jié)，給出了一些方法和技巧。

關(guān)鍵詞 Taylor公式 應(yīng)用 不等式證明

中圖分類(lèi)號(hào)：O242 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A DOI：10.16400/j.cnki.kjdkz.2018.07.021

In-depth Study of Taylor Formula and its Application

YIN Yuezhu， XU Feng

（School of Mathematics and Big Data， Anhui University of Science & Technology， Huainan， Anhui 232001）

Abstract Firstly， the importance of the Taylor formula is emphasized. Then the conditions and forms of the Taylor formula and the order of the remainder are discussed in detail. Then， the wide application of the Taylor formula is discussed in detail. In particular， the typical example is used to prove how to flexibly use the Taylor formula. Inequality has been carefully analyzed and summarized， and some methods and techniques have been given.

Keywords Taylor formula； application； proof of inequality

Taylor公式是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)不可忽視的重要內(nèi)容，因?yàn)樗粌H在理論上占有重要的地位，而且在實(shí)際工程和計(jì)算數(shù)學(xué)中也有著廣泛的應(yīng)用，毫不夸張地講，Taylor公式是高數(shù)中最有應(yīng)用價(jià)值的工具之一。但幾乎所有的高數(shù)教材對(duì)這一部分內(nèi)容都講得不夠全面，也不夠深刻，這使得學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)有許多的困惑。本文就Taylor公式的條件與形式、余項(xiàng)的階、應(yīng)用等方面做一深入的研究和探討。

1 Taylor公式的條件與形式

要利用Taylor公式，首先要透徹理解Taylor公式的條件與形式。Taylor公式有兩種常用的形式：[1-2]

①若函數(shù)在點(diǎn)處的某鄰域內(nèi)有階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)該鄰域內(nèi)任意異于點(diǎn)的， 有

其中，，稱(chēng)為皮亞諾型余項(xiàng)。

②若函數(shù)在上有階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在（）內(nèi)有階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)、，至少存在一點(diǎn)，使得

其中，，稱(chēng)之為拉格朗日型余項(xiàng)。

公式（1） 、（2）均被稱(chēng)為函數(shù)在點(diǎn)處的階Taylor公式。顯然，這兩公式的條件不同，余項(xiàng)的形式也不同。

2 Taylor公式余項(xiàng)的階

這是一個(gè)讓許多學(xué)生、部分老師都感到困惑且極易犯錯(cuò)誤的問(wèn)題。比如，在目前最為暢銷(xiāo)的李永樂(lè)主編的“考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全書(shū)”中，先后出現(xiàn)下列Taylor公式：

①

②

這兩個(gè)公式嚴(yán)格來(lái)說(shuō)都是錯(cuò)誤的！我們以①為例解釋來(lái)錯(cuò)誤的原因。因?yàn)閍rctan 在處的偶數(shù)階導(dǎo)數(shù)為0，所以①式應(yīng)理解為arctan 的6階Taylor公式，余項(xiàng)應(yīng)為。事實(shí)上，也可通過(guò)計(jì)算極限來(lái)嚴(yán)格地驗(yàn)證：

所以，嚴(yán)格地講①式是錯(cuò)誤的。同理，②式也是有問(wèn)題的，正確的余項(xiàng)應(yīng)為。

3 Taylor公式的應(yīng)用

Taylor公式的應(yīng)用極為廣泛，比如求極限、證明不等式、求函數(shù)在某點(diǎn)處的高階導(dǎo)數(shù)、證明某些重要結(jié)論、近似計(jì)算、判定交錯(cuò)級(jí)數(shù)的斂散性等。[3，4]

證明不等式是Taylor公式的一個(gè)重要應(yīng)用，但這需要較高的技巧，大多數(shù)學(xué)生感到無(wú)從下手，不容易想到解題思路。事實(shí)上，在有關(guān)證明不等式的題目中，若題設(shè)中明確告知函數(shù)“具有二階或二階以上的導(dǎo)數(shù)且有界”等條件，那么我們一般可以考慮用泰勒公式來(lái)證明它。下面結(jié)合兩個(gè)典型例題來(lái)進(jìn)行具體分析。

例1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上二階連續(xù)可導(dǎo)，且，證明：，其中。

分析：該題中顯然滿(mǎn)足Taylor公式的條件，且告訴二階導(dǎo)數(shù)的最大值即有界，又給出了一點(diǎn)，所以可將在該點(diǎn)處泰勒展開(kāi)。

證明：記，將在點(diǎn)處展開(kāi)，得

，其中在與之間，又因?yàn)?/p>

故。

對(duì)上式在區(qū)間求定積分，并取絕對(duì)值有

即有 成立。

小結(jié)：利用Taylor公式證明不等式，關(guān)鍵在于找到在哪一點(diǎn)進(jìn)行Taylor展開(kāi)。

例2 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間[0，1]上二階可導(dǎo)，且，，證明：

分析：題中亦滿(mǎn)足Taylor公式的條件，又已知，在Taylor公式中分別取，將在點(diǎn)處展開(kāi)，然后兩式相加就有可能得到要證明的不等式。

證明：利用Taylor公式，將在點(diǎn)處展開(kāi)，得

其中，將已知代入上兩式，并將兩式相加整理得

通過(guò)以上典型例題可以看出，利用Taylor公式證明不等式，首先要驗(yàn)證題設(shè)條件是否滿(mǎn)足Taylor公式，再結(jié)合題目的具體特點(diǎn)，分析確定在哪一點(diǎn)進(jìn)行Taylor展開(kāi)，這是解題的關(guān)鍵。其具體證明過(guò)程可總結(jié)為以下三個(gè)基本步驟：（1）寫(xiě)出比題中所給函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)低一階的Taylor展開(kāi)式；（2）恰當(dāng)選取Taylor展開(kāi)式兩邊的與0；（3）據(jù)題中所給函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的值或界作適當(dāng)?shù)姆趴s。另外，有時(shí)不能單憑Taylor公式，還要結(jié)合其它知識(shí)綜合運(yùn)用才能解決問(wèn)題；只有多做多思，才能靈活運(yùn)用。

基金項(xiàng)目： 安徽省教學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目“基于網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺(tái)的公共數(shù)學(xué)課教學(xué)與考試模式的研究”

參考文獻(xiàn)

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[2] 朱士信，唐爍.高等數(shù)學(xué)（上）[M].高等教育出版社，2014.

[3] 苗文靜，王昕.關(guān)于泰勒公式及其應(yīng)用的思考與討論[J].哈爾濱師范大學(xué)自然科學(xué)學(xué)報(bào)，2013.29（5）：18-21.

[4] 范臣君.泰勒公式在判定交錯(cuò)級(jí)數(shù)斂散性中的應(yīng)用[J].貴州大學(xué)學(xué)報(bào)（自然版），2013.30（6）：17-18.