不確定時滯切換系統(tǒng)的滑?？刂品椒?/h1>

2018-11-12 10:54:44劉永慧

上海電機學(xué)院學(xué)報訂閱 2018年5期 收藏

關(guān)鍵詞：模面時滯滑模

劉永慧

(上海電機學(xué)院 電氣學(xué)院,上海 201306)

在過去的20年中，切換系統(tǒng)受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，這是由于基于“切換”模式的系統(tǒng)，如化工過程控制系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)以及機器人控制系統(tǒng)等都可以轉(zhuǎn)化為切換系統(tǒng)[1-2]。切換系統(tǒng)由一族子系統(tǒng)以及描述它們之間聯(lián)系的切換信號組成。切換信號的引入使得切換系統(tǒng)的動態(tài)性能特殊復(fù)雜，其典型特征是即使每個子系統(tǒng)都穩(wěn)定，整個系統(tǒng)不一定穩(wěn)定。因此切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性及其鎮(zhèn)定問題備受關(guān)注[3-5]。

眾所周知，滑?？刂品椒ㄊ且环N有效的魯棒控制方法，這是由于該方法對參數(shù)不確定性以及匹配擾動具有強魯棒性。因此滑?？刂品椒ㄔ趹腋≤嘯6]及機器人[7]等實際物理系統(tǒng)的控制中得到了廣泛的研究和應(yīng)用。最近滑?？刂品椒ㄩ_始被用來研究切換系統(tǒng)[8-11]。文獻[8]研究了一類帶有狀態(tài)時滯的切換系統(tǒng)的滑?？刂?。之后，這一結(jié)果又被進一步推廣到隨機切換系統(tǒng)[9]和離散切換系統(tǒng)[10]。此外，文獻[11]采用滑?？刂品椒ǚ治隽艘活惒淮_定切換系統(tǒng)的魯棒H∞控制。最近，文獻[12]進一步考慮了輸入矩陣不同時切換系統(tǒng)的滑?？刂?，在輸入矩陣不同的情況下，通過輸入矩陣加權(quán)方法構(gòu)造了一個公共滑模面。

另一方面，時滯現(xiàn)象是實際系統(tǒng)中非常普遍的一種現(xiàn)象，它會破壞系統(tǒng)的穩(wěn)定性甚至?xí)?dǎo)致系統(tǒng)失穩(wěn)[13]。因此研究帶有狀態(tài)和輸入時滯的控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性很有必要。 近年來，含有狀態(tài)時滯[14-15]和輸入時滯[16-19]的系統(tǒng)的控制問題已經(jīng)得到很多重要的結(jié)論。而且滑?？刂品椒ㄩ_始被用來研究含有輸入時滯的控制系統(tǒng)[20-21]。文獻[20]采用滑?？刂品椒ㄑ芯苛撕休斎霑r滯以及非線性擾動的不確定線性系統(tǒng)的控制問題，為了補償輸入時滯造成的影響，文中設(shè)計了含有預(yù)測項的滑模面。最近上述結(jié)論又被進一步推廣到不確定離散線性系統(tǒng)[21]和不確定非線性系統(tǒng)[22]。然而，值得注意的是已有的成果中關(guān)于含有狀態(tài)和輸入時滯的切換系統(tǒng)還沒有被考慮?；？刂破髟O(shè)計過程中，時滯現(xiàn)象尤其是輸入時滯可能會導(dǎo)致系統(tǒng)狀態(tài)軌跡在滑模面附近產(chǎn)生不斷的震蕩[23]。此外，由于切換系統(tǒng)和滑?？刂葡到y(tǒng)結(jié)構(gòu)的特殊性，現(xiàn)有的結(jié)論不能簡單的推廣到切換系統(tǒng)，因此含有狀態(tài)和輸入時滯的不確定切換系統(tǒng)的滑?？刂浦档眠M一步考慮。

基于以上考慮，本文將討論含有狀態(tài)和輸入時滯的一類不確定切換系統(tǒng)的滑模控制。 本文的主要創(chuàng)新之處有以下兩點：① 與已有的結(jié)果相比，不要求控制系統(tǒng)中每個子系統(tǒng)的輸入矩陣相同。為了彌補輸入時滯帶來的影響，引入一個含有預(yù)測項的公共滑模面。② 設(shè)計同時依賴于狀態(tài)和時間的切換信號，分析了滑動模態(tài)的漸進穩(wěn)定性。

1 系統(tǒng)描述

考慮如下含有狀態(tài)和輸入時滯的不確定切換系統(tǒng),即

Bσ(u(t)+fσ(x(t)))+Bu(t-h)

(1)

由切換信號σ可得到切換序列{(i0,k0),(i1,k1),…,(ij,kj),…,|ij∈Γ}，即當(dāng)切換信號在指標(biāo)集Γ={1,2,…,s}中取定時，表示運行第ij個子系統(tǒng)。

當(dāng)σ(k)=i，i∈Γ時，第i個子系統(tǒng)的參數(shù)簡記為

本文的控制目標(biāo)是設(shè)計滑?？刂破魇沟么嬖跔顟B(tài)時滯和輸入時滯的情況下切換系統(tǒng)穩(wěn)定。為了得到本文的主要結(jié)論，首先引入如下的假設(shè)條件和引理。

假設(shè)1矩陣Bi列滿秩，即rank(Bi)=m。

值得注意的是與已有的工作[8-11]不同，切換系統(tǒng)式(1)的輸入矩陣不同，這給滑?？刂浦性O(shè)計公共滑模面帶來了困難。為了克服這個困難，引入輸入矩陣加權(quán)方法[12]

(2)

記

考慮上面的定義，系統(tǒng)式(1)可重新表示為

ML(i)N)(u(t)+fi(x(t)))+Bu(t-h)

(3)

引理1矩陣D,H和F(t)維數(shù)匹配,并且F(t)滿足FT(t)F(t)≤I.則對于任意的ε>0,下式成立:

DF(t)H+HTFT(t)DT≤ε-1DDT+εHTH

2 滑模面設(shè)計

值得注意的是如果設(shè)計依賴于模態(tài)的多滑模面，系統(tǒng)狀態(tài)軌跡將在不同模態(tài)間進行切換，此時滑模面的可達性分析很困難。因此,設(shè)計的公共滑模面為

S(t)=Dx(t)+r(t)

(4)

式中,r(t)滿足:

(5)

對S(t)關(guān)于時間t求導(dǎo)得

(I+DML(i)N){u(t)+fi[x(t)]}

(6)

ueq(t)=-(DBi)-1((DAi-K)x(t)+

DAidx(t-d))-fi(x(t))

(7)

值得注意的是，矩陣DBi需要滿足非奇異。因此,需要選擇參數(shù)αi(i=1,2,…,s)使得矩陣DBi是非奇異的。

將式(7)代入式(3)，得到下面的滑動模態(tài):

(Aid-Bi(DBi)-1DAid)x(t-d)-

B(DBi)-1(DAi-K)x(t-h)-

B(DBi)-1DAidx(t-d-h)-

Bfi(x(t-h))

(8)

3 主要結(jié)論

接下來，將分析滑動模態(tài)式(8)的穩(wěn)定性，穩(wěn)定性結(jié)論將在定理1中給出。

定理1考慮滿足假設(shè)條件1的切換系統(tǒng)式(1)，如果存在矩陣Pi>0,Qi>0,Ri>0,Si>0和參數(shù)εi>0,i∈Γ,滿足下面的線性矩陣不等式(linear matrix inequalities, LMIs)

(9)

式中:*為矩陣中的對稱部分;

Θ2i=(Aid-Bi(DBi)-1DAid)Xi

Θ3i=-B(DBi)-1(DAi-K)Xi

Θ4i=-B(DBi)-1(DAid)Xi

對于任意的i∈Γ，定義切換域為

Λi={x(t)|Vi(t)-Vj(t)≥0}

(10)

?j∈Γ,i≠j

設(shè)計基于最小投影算法的切換信號

σ(0)=arg min{Λi|x(t)∈Λi}

(11)

那么滑動模態(tài)系統(tǒng)(8)漸進穩(wěn)定，其中Vi(t)將在式(13)中給出。

證明 將式(9)左右兩端分別乘以diag[PiPiPiPiII]和它的轉(zhuǎn)置，可以得到

(12)

式中:

選擇第i個子系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為

(13)

因此，由式(8)和(13)得到

(Ai-Bi(DBi)-1(DAi-K))TPi)x(t)+

2xT(t)Pi(Aid-Bi(DBi)-1DAid)·

x(t-d)-2xT(t)PiB(DBi)-1·

(DAi-K)x(t-h)-

2xT(t)PiB(DBi)-1DAidx(t-d-h)-

2xT(t)PiBfi(x(t-h))+xT(t)Qix(t)-

xT(t-d)Qix(t-d)+xT(t)Rix(t)-

xT(t-h)Rix(t-h)+xT(t)Six(t)-

xT(t-d-h)Six(t-d-h)

(14)

由引理1可知

-2xT(t)PiBfi(x(t-h))≤

εixT(t)PiB(PiB)Tx(t)+

(15)

因此由式(14)和(15)可進一步得到

(16)

式中:η(t)=[xT(t)xT(t-d)xT(t-h)xT(t-d-h)]T

考慮切換域的定義式(10)，可以得到切換域的邊界為

Vi(tk)=Vj(tk)

采用多Lyapunov函數(shù)方法分析切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性，可知滑動模態(tài)(8)漸進穩(wěn)定。

證畢。

基于最小投影算法給出的切換信號運行形式如圖1所示。系統(tǒng)切換過程如下：

圖1 切換行為(數(shù)字表示運行的模態(tài))

第1步選擇初始狀態(tài)x(0)，由式(11)決定初始模態(tài)σ(0)。

第2步只要系統(tǒng)狀態(tài)軌跡維持在域Λi內(nèi)就一直運行第i個模態(tài)。

下面的定理中，將給出滑?？刂坡刹⒎治龌Ｃ娴目蛇_性。

定理2考慮滿足假設(shè)條件1的切換系統(tǒng)(1)，構(gòu)造滑模面式(4)，設(shè)計如下的滑模控制律：

u(t)=-(DBi)-1((DAi-K)x(t)+

μi)sgn(S(t))

(17)

式中:如μi為正參數(shù)，則滑模面于有限時間內(nèi)可達。

證明:選擇Lyapunov函數(shù)

(18)

因此,由式(6)和(18)可以得到

DAidx(t-d)+DBi{u(t)+fi[x(t)]}

(19)

將式(17)代入式(19)有

這意味著系統(tǒng)(3)的狀態(tài)軌跡將于有限時間內(nèi)被趨近到滑模面S(t)=0上，

證畢。

4 數(shù)值仿真

考慮含有2個模態(tài)的切換系統(tǒng)式(1)，系統(tǒng)參數(shù)如下:

子系統(tǒng)1

B=[-1 1.5 1]T

子系統(tǒng)2

B2=[3 -2 1]T

ε1=3.582 0,ε2=18.237 5,

因此滑模面式(4)設(shè)計為

S(t)=0.307 7x1(t)+0.076 9x2(t)+

8x3(s)-0.038 5u(s-h))ds

選擇初始狀態(tài)x(0)=[0.3 -0.2 -0.2]T，由式(10)和(11)可知σ(0)=1并且

式中:σi,i∈Γ的定義如式(10)。

由式(17)可知，滑?？刂坡稍O(shè)計為

為了抑制抖震現(xiàn)象，用S(t)/(S(t)+0.1)代替函數(shù)sgn(S(t))。選擇參數(shù)β1=β2=1，μ1=μ2=0.05，仿真結(jié)果如圖2～5所示。圖2是切換信號,圖3是狀態(tài)軌跡圖,圖4是滑模變量圖,圖5是控制輸入。由圖3可以看到系統(tǒng)狀態(tài)x1(t),x2(t)和x3(t)被趨近到滑模面S(t)=0上。因此設(shè)計的控制器能有效的抑制狀態(tài)和輸入時滯以及外部擾動帶來的不良影響。

圖2 切換信號σ(t)

圖3 狀態(tài)軌跡x(t)

圖4 滑模變量S(t)

圖5 控制信號u(t)

5 結(jié) 語

本文研究了一類含有狀態(tài)和輸入時滯的不確定切換系統(tǒng)的滑?？刂啤Ｍㄟ^引入輸入矩陣加權(quán)方法設(shè)計了公共滑模面。采用最小投影算法設(shè)計切換信號，分析了滑動模態(tài)的漸進穩(wěn)定性。設(shè)計滑?？刂坡杀ＷC了滑模面的可達性。

猜你喜歡

模面時滯滑模

帶有時滯項的復(fù)Ginzburg-Landau方程的拉回吸引子

數(shù)學(xué)物理學(xué)報(2020年5期)2020-11-26 06:06:48

科學(xué)技術(shù)創(chuàng)新(2020年3期)2020-03-24 10:30:58

基于組合滑?？刂频慕^對重力儀兩級主動減振設(shè)計

中國慣性技術(shù)學(xué)報(2019年6期)2019-03-04 09:50:06

PMSM調(diào)速系統(tǒng)的自學(xué)習(xí)滑?？刂?/a>

測控技術(shù)(2018年4期)2018-11-25 09:47:26

并網(wǎng)逆變器逆系統(tǒng)自學(xué)習(xí)滑?？箶_控制

測控技術(shù)(2018年3期)2018-11-25 09:45:40

車身覆蓋件拉延模面優(yōu)化與成形仿真

韶關(guān)學(xué)院學(xué)報(2018年6期)2018-07-21 02:20:22

北京航空航天大學(xué)學(xué)報(2016年7期)2016-11-16 01:50:55

淺談模面工程

鍛造與沖壓(2016年22期)2016-06-21 15:06:35

一階非線性時滯微分方程正周期解的存在性

四川師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)(2015年2期)2015-02-28 14:07:40

一類時滯Duffing微分方程同宿解的存在性

應(yīng)用數(shù)學(xué)與計算數(shù)學(xué)學(xué)報(2014年3期)2014-09-26 12:03:52