考慮結(jié)合面特性的錠子組合系統(tǒng)固有頻率與振型

周國(guó)慶 ，楊會(huì)會(huì) ，袁汝旺 ，韓 雪 ，蔣秀明 ，羅 孝

（1.天津工業(yè)大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，天津 300387；2.天津工業(yè)大學(xué)天津市現(xiàn)代機(jī)電裝備技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300387）

錠子和紗管是主要的紡織器材，承擔(dān)著紗線加捻、卷繞、儲(chǔ)運(yùn)和退繞等任務(wù)，其組合系統(tǒng)的振動(dòng)特性直接影響紡紗質(zhì)量和效率.錠子組合系統(tǒng)的配合主要是由錠桿錐面和紗管錐面（天眼部分）進(jìn)行結(jié)合[1-2]，并通過(guò)摩擦力傳遞力和力矩，且其結(jié)合部的聯(lián)接性能直接影響系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，故建立準(zhǔn)確的結(jié)合部動(dòng)力學(xué)模型對(duì)錠子組合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)分析至關(guān)重要.以往研究主要集中在單個(gè)錠子系統(tǒng)建模與分析[3-5]，而對(duì)錠子和紗管組合系統(tǒng)研究卻相對(duì)較少.關(guān)秀芬等[6]利用傳遞矩陣和導(dǎo)納法研究紡紗錠子組合系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性，但并沒(méi)有考慮錠子與紗管結(jié)合面的動(dòng)態(tài)特性.許多學(xué)者利用彈簧-阻尼單元模擬結(jié)合面的建模方法分析結(jié)合面動(dòng)態(tài)特性[7-9]，Namazi等[7]運(yùn)用有限元法建立了各均布單元結(jié)合部的動(dòng)力學(xué)模型來(lái)模擬錐面結(jié)合部；汪博和趙萬(wàn)華等[10-11]采用有限元法通過(guò)分布式彈簧來(lái)模擬結(jié)合面的動(dòng)力學(xué)模型，研究結(jié)果表明結(jié)合面動(dòng)力學(xué)模型可采用彈簧-阻尼單元表達(dá).

針對(duì)錠子組合系統(tǒng)結(jié)合面磨損對(duì)其動(dòng)態(tài)特性的影響，本文采用彈簧-阻尼單元模擬結(jié)合面的方法準(zhǔn)確建立錠子組合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)解析模型，且通過(guò)對(duì)單元面積結(jié)合面的剛度和阻尼求積分的方法來(lái)計(jì)算實(shí)際的結(jié)合面剛度和阻尼，分析結(jié)合面的動(dòng)態(tài)特性，并利用ANSYS對(duì)錠子組合系統(tǒng)進(jìn)行模態(tài)分析，得出錠子組合系統(tǒng)的固有頻率和振型.

1 錠子組合系統(tǒng)建模

1.1 錠子組合系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

錠子組合系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖1所示，錠子和紗管存在兩個(gè)結(jié)合面2和4，錠桿與紗管天眼結(jié)合面2位于紗管頂部，錠子與紗管下底口結(jié)合面4位于紗管底部.

圖1 錠子組合系統(tǒng)結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of spindle combination system

1.2 結(jié)合面的動(dòng)力學(xué)建模

錐面是錠子-紗管結(jié)合面的主要表現(xiàn)形式，利用均布彈簧-阻尼單元且考慮法向和切向平動(dòng)以及繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的結(jié)合面動(dòng)力學(xué)模型如圖2所示.

圖2 錐面結(jié)合部動(dòng)力學(xué)模型Fig.2 Dynamic model of conical joint

利用有限元法將錐面結(jié)合面沿錠子軸線方向均分為N段，通過(guò)相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)對(duì)錠子和紗管兩部件相互聯(lián)接，節(jié)點(diǎn)處則會(huì)發(fā)生耦合作用.當(dāng)錠子和紗管結(jié)合面處發(fā)生彈性變形時(shí)，其對(duì)應(yīng)的節(jié)點(diǎn)將會(huì)產(chǎn)生相對(duì)位移，并伴隨著耦合力和耦合力矩的產(chǎn)生，圖3所示為簡(jiǎn)化后結(jié)合面處的彈簧-阻尼單元.

圖3 結(jié)合面彈簧-阻尼單元Fig.3 Spring-damping unit on joint interface

當(dāng)部件Ⅰ（紗管）的節(jié)點(diǎn)i和部件Ⅱ（錠子）的節(jié)點(diǎn)i間發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，其耦合力和力矩分別為：

式中：u1i、v1i、θ1i分別為部件Ⅰ的 i節(jié)點(diǎn)向 x 向、y 向和繞 z的接觸剛度；u2i、v2i、θ2i分別為部件Ⅱ的 i節(jié)點(diǎn)向 x向、y 向和繞 z 的接觸剛度；kix、viy、θiθ分別為錐面結(jié)合面第i段的x向、y向和繞z的接觸剛度.

分別求出結(jié)合面對(duì)應(yīng)的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)間的接觸剛度矩陣和阻尼矩陣[11]，并將各個(gè)節(jié)點(diǎn)的接觸剛度矩陣和阻尼矩陣進(jìn)行組建，得到結(jié)合面的總接觸剛度矩陣KJ和總阻尼矩陣CJ.

1.3 錠子組合系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模

錠桿下部雙彈性支撐結(jié)構(gòu)的錠子組合系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型[6]如圖4所示.

圖4 錠子組合系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型Fig.4 Simplified model of spindle combination system

在考慮錠子和紗管結(jié)合面的整體剛度矩陣KJ和整體阻尼矩陣CJ的情況下，得到相應(yīng)的紡紗錠子組合系統(tǒng)轉(zhuǎn)子動(dòng)力學(xué)方程：

式中：M為質(zhì)量矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣；X為位移向量；F（t）為激振力列向量.

按照將結(jié)合面簡(jiǎn)化為彈簧-阻尼的建模方法，得到紡紗錠子組合系統(tǒng)簡(jiǎn)化的動(dòng)力學(xué)模型，如圖5所示.

圖5 錠子組合系統(tǒng)簡(jiǎn)化動(dòng)力學(xué)模型Fig.5 Simplified kinetic model of spindle combination system

1.4 結(jié)合面接觸剛度的確定

1.4.1 結(jié)合面法向接觸剛度

錠子組合系統(tǒng)錐部結(jié)合面處錠子外錐面的受力簡(jiǎn)圖如圖6所示.圖6中，D1為結(jié)合面小端直徑；D2為結(jié)合面大端直徑；L1為結(jié)合面接觸長(zhǎng)度；α為結(jié)合面錐角（錠子錐角）.

圖6 結(jié)合面處錠子外錐面受力圖Fig.6 Schematic diagram of force at outer surface of spindle on joint interface

由圖6可得此時(shí)的平衡方程：

式中：Ft為紗管上跳力；Fn為錠子外錐面正壓力；Fw為紗管總握持力；f1為錠子與紗管上支撐處錐部結(jié)合面處的摩擦因素.

由式（3）可得錠子外錐面正壓力：

錠子-紗管結(jié)合面接觸面積：

式中：Dm為錠子與紗管錐部結(jié)合面處配合中徑.

所以結(jié)合面處的壓強(qiáng)為：

得出結(jié)合面處的等效彈簧剛度kn為：

式中：kn為等效彈簧剛度；kn′為單位面積的法向接觸剛度；P為平均表面壓強(qiáng)；A為接觸面積；γ、β均為常數(shù)，主要由接觸表面的材料、表面粗糙度、表面硬度、表面紋理的相互方向和表面結(jié)合誤差等綜合因素的影響所決定.

將式（5）、（6）代入式（7），得到系統(tǒng)結(jié)合面的法向接觸總剛度為：

通過(guò)以上計(jì)算可得出結(jié)合面的法向接觸總剛度，利用有限元法將長(zhǎng)度為L(zhǎng)1的接觸錐面均分為N段，由于錐體的側(cè)面積不同，因此，計(jì)算第i段結(jié)合面處的法向接觸剛度為：

式中：Ai為第i段錐面結(jié)合面的接觸面積；Dim為第i段錐面結(jié)合面的中徑；D1為錠子與紗管錐部結(jié)合面處的小端直徑；α為錠子錐角.

1.4.2 結(jié)合面切向剛度

通常結(jié)合面的切向剛度系數(shù)為法向剛度系數(shù)的1/3～2/3，取錠子-紗管結(jié)合面的切向剛度kt=kn/2，即ant=0.5，并且在計(jì)算中第i段的結(jié)合面切向接觸剛度計(jì)算可在考慮系數(shù)ant的情況下根據(jù)式（9）進(jìn)行計(jì)算得出.

1.4.3 結(jié)合面角剛度

結(jié)合面的角剛度計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖7所示.

圖7 結(jié)合面角剛度計(jì)算簡(jiǎn)圖Fig.7 Schematic diagram of angle stiffness calculation on joint interface

當(dāng)劃分后的第i段小錐體ab繞i點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，同時(shí)由于結(jié)合面接觸法向剛度kin和結(jié)合面切向剛度kit的影響，使得小錐體產(chǎn)生彈性恢復(fù)力矩，根據(jù)角剛度的計(jì)算方法可利用其轉(zhuǎn)角計(jì)算角剛度.圖7中：Dim為第i段結(jié)合面錐面中徑；φ為彈性力作用下的偏轉(zhuǎn)角，當(dāng)轉(zhuǎn)角φ極小時(shí)可簡(jiǎn)化為tan φ≈φ；α為錠子錐角.

由圖7可得：

式中：Fic、Mic為 c點(diǎn)彈性恢復(fù)力和力矩；Fid、Mid為 d 點(diǎn)彈性恢復(fù)力和力矩.

由角剛度kiθ=M/φ，可得出第i段錐體的角剛度為：

根據(jù)幾何關(guān)系可得：

將式（9）、（10）和式（13）代入式（12），可得第 i段小錐體結(jié)合面的接觸角剛度為：

如果此時(shí)N→∞時(shí)，得出結(jié)合面的總角剛度為：

1.4.4 計(jì)算阻尼矩陣

為了簡(jiǎn)化計(jì)算，此時(shí)采用比例阻尼來(lái)計(jì)算系統(tǒng)總阻尼矩陣，計(jì)算如下：

式中：α1、β1均為比例系數(shù)，且滿足以下關(guān)系式：

由式（17）可通過(guò)任意兩個(gè)固有頻率ωi、ωj和阻尼比 ξi、ξj求出其相應(yīng)的比例系數(shù) α1、β1，進(jìn)而得到相應(yīng)的阻尼矩陣，一般情況下金屬和無(wú)油結(jié)合面的阻尼比的取值范圍為0.001～0.100，根據(jù)錠子-紗管的工作情況可取為0.001 5.

表1所示為錠子與紗管天眼處結(jié)合面的主要結(jié)構(gòu)尺寸和接觸剛度計(jì)算結(jié)果.

表1 錠子-紗管結(jié)合面結(jié)構(gòu)參數(shù)和結(jié)合面接觸剛度Tab.1 Structural parameters and contact stiffness of spindle-bobbin joint interface

2 紡紗錠子組合系統(tǒng)仿真分析

由式（4）可得出無(wú)阻尼系統(tǒng)的特征方程為：

通過(guò)式（18）便可得出錠子-紗管組合系統(tǒng)的各階固有頻率和相應(yīng)的模態(tài)矩陣U.

按圖8所示對(duì)錠子和紗管模型采用Pro/E三維建模并導(dǎo)入ANSYS，錠子和紗管兩個(gè)實(shí)體的模型參數(shù)如表2所示.

圖8 錠子組合體實(shí)體模型Fig.8 Spindle combination solid model

表2 錠子和紗管實(shí)體模型參數(shù)Tab.2 Solid model parameters of spindle and bobbin

在ANSYS中對(duì)錠子和紗管采用實(shí)體單元進(jìn)行分析，錠子軸承的支撐部分簡(jiǎn)化為彈性支撐，并且每個(gè)軸承的支撐類型簡(jiǎn)化為沿軸的周向方向等效分布為4個(gè)彈簧，如圖9所示.用Combin14來(lái)模擬各個(gè)彈簧，各彈簧長(zhǎng)度l=10 mm.

圖9 彈性支撐簡(jiǎn)化模型Fig.9 Simplified model of flexible support

表3、表4分別給出了模型外相應(yīng)關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)和相應(yīng)的上下彈性支撐的剛度.錠子與天眼接觸部分沿軸向均分為3段，可看到沿軸向錠子和紗管有4個(gè)接觸點(diǎn)；錠子和紗管的下結(jié)合點(diǎn)處也采用彈簧-阻尼單元連接，得到錠子組合系統(tǒng)簡(jiǎn)化模型.

表3 模型外各關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)Tab.3 Coordinates of key points outside model

表4 上下彈性支撐剛度Tab.4 Up and down elastic support stiffness

在ANSYS中對(duì)模型進(jìn)行模態(tài)分析求解，提取其前六階固有頻率和振型.通過(guò)改變錠子錐面與紗管天眼處沿軸向接觸彈簧的段數(shù)來(lái)模擬其接觸面積的改變，其中單側(cè)接觸為下底口損壞時(shí)結(jié)合面2處只存在圖9所示的周向1段彈簧接觸；且當(dāng)紗管下底口損壞時(shí)（下底口處接觸彈簧斷開）亦可通過(guò)改變下底口與錠子錐面的連接情況來(lái)模擬.不同接觸情況的錠子組合系統(tǒng)固有頻率如表5所示.

表5 不同接觸情況的錠子組合系統(tǒng)固有頻率Tab.5 Natural frequency of spindle combination system with different contact conditionsHz

轉(zhuǎn)速和頻率的關(guān)系：

式中：n為轉(zhuǎn)速（r/min）；f為頻率（Hz）.

由表5可知：結(jié)合面4接觸良好且接觸段數(shù)相同的情況下，固有頻率隨著階數(shù)增加而增加，相應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速亦隨著階數(shù)的增加逐漸增大，最小的臨界轉(zhuǎn)速為下底口損壞時(shí)的0 r/min，而最大的臨界轉(zhuǎn)速為4段接觸時(shí)的39 717 r/min；結(jié)合面4接觸良好且同階數(shù)條件下，固有頻率隨著接觸段數(shù)的增加而增加，且1—4段接觸的前六階固有頻率相差較小，其中第1階固有頻率的最大誤差為0.439 Hz，第2階固有頻率的最大誤差為0.46 Hz，第3階固有頻率的最大誤差為0 Hz，第4階固有頻率的最大誤差為86.51 Hz，第5階固有頻率的最大誤差為101.29 Hz，第6階固有頻率的最大誤差為6.35 Hz，從其誤差可知在前3階和第6階時(shí)1—4段接觸的固有頻率十分接近，尤其在3階時(shí)1—4段接觸的固有頻率相同，而在第5階和第6階時(shí)1—4段接觸的固有頻率誤差相差較大，說(shuō)明此時(shí)第3階到第4階固有頻率出現(xiàn)了一個(gè)極大的轉(zhuǎn)折.錠子與紗管天眼部存在周向整圈接觸時(shí)接觸面積變化對(duì)其組合系統(tǒng)的固有頻率影響較??；接觸面2的錐面未存在有效接觸，其1—2階固有頻率接近0 Hz，3—6階固有頻率明顯小于1—4段接觸的固有頻率，無(wú)法滿足組合系統(tǒng)對(duì)穩(wěn)定性的要求；周向單側(cè)接觸時(shí)固有頻率與1—4段接觸的固有頻率存在較大差異；錠子組合系統(tǒng)接觸面4接觸良好時(shí)，結(jié)合面2接觸及其有效接觸面積的大小影響錠子組合系統(tǒng)固有頻率，結(jié)合面2完全接觸時(shí)組合系統(tǒng)的固有頻率最大，相應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速亦最大.結(jié)合面2完全接觸且下底口磨損時(shí)，1階固有頻率為0 Hz，致使組合系統(tǒng)不穩(wěn)定，且其2—6階固有頻率與結(jié)合面4接觸良好的固有頻率存在顯著差異，結(jié)合面4磨損對(duì)組合系統(tǒng)的固有頻率影響更大.由式（19）可知，結(jié)合面2存在1段周向有效接觸的3、4階固有頻率所對(duì)應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速分別為15 314 r/min和28 075 r/min，而紗管振程檢測(cè)額定轉(zhuǎn)速為18 000 r/min，介于3、4階固有頻率所對(duì)應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速之間，同時(shí)額定轉(zhuǎn)速也介于0段接觸時(shí)的5、6階固有頻率和單側(cè)接觸時(shí)的4、5階固有頻率所對(duì)應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速之間，避免了系統(tǒng)共振.

組合系統(tǒng)的振型與固有頻率變化類似，圖10—圖12給出結(jié)合面2、4變化導(dǎo)致的組合系統(tǒng)振型.

由圖10可知：結(jié)合面4接觸良好且結(jié)合面2存在周向1段接觸時(shí)1、2、6階振型相對(duì)位移最大處都為紗管頂部，1—2與4—6階振型中紗管下部的相對(duì)位移都很小，且頂部與底部相對(duì)位移偏差較大，易導(dǎo)致細(xì)紗斷頭；錠子額定轉(zhuǎn)速在3—4階之間，振型相對(duì)偏移誤差較小，頂部相對(duì)位移適中；結(jié)合面2的接觸面積較小時(shí)組合系統(tǒng)的頂部相對(duì)位移較大，易產(chǎn)生紗線斷頭，故在紗管檢測(cè)中僅需對(duì)紗管上部的振幅進(jìn)行檢測(cè)，就能很好的判斷出紗管的合格與否.

圖10 結(jié)合面2周向1段接觸組合系統(tǒng)振型Fig.10 Modes of combination system as 1 stages of circumferential contact of joint interface

圖11 結(jié)合面2周向單側(cè)接觸時(shí)前六階振型Fig.11 First six order modes as circumferential unilateral contact of joint interface 2

由圖11可知：結(jié)合面4接觸良好且結(jié)合面2存在周向單側(cè)接觸時(shí)1—2、5階振型相對(duì)位移最大處都為紗管頂部，在第1—3、5—6階振型中紗管底部的相對(duì)位移都很小；額定轉(zhuǎn)速在4—5階之間，且4—5階振型中紗管頂部的相對(duì)位移都較大，故周向作用力不均勻致使紗管相對(duì)位移增加，引起紡紗生產(chǎn)過(guò)程中的斷頭和張力波動(dòng)，不利于高速紡紗，且在紗管檢測(cè)中僅需對(duì)紗管上部的振幅進(jìn)行檢測(cè)，就能很好的判斷出紗管的合格與否.

由圖12可知：結(jié)合面2完全接觸且結(jié)合面4磨損時(shí)1階振型整體相對(duì)位移大，且紗管具有向上位移；5—6階振型相對(duì)位移最大處都為紗管頂部，2—4階振型相對(duì)位移最大處都為紗管底部.在結(jié)合面2完全接觸且結(jié)合面4磨損時(shí)紗管頂部和底部的相對(duì)位移都較大，故結(jié)合面4磨損對(duì)組合系統(tǒng)的振型影響更大，且額定轉(zhuǎn)速所對(duì)應(yīng)的固有頻率并不在1—6階固有頻率和振型范圍內(nèi)，此時(shí)對(duì)紗管上部的振幅進(jìn)行檢測(cè)，也能很好地判斷出紗管的合格與否.

圖12 下底口損壞時(shí)前六階振型Fig.12 First six order modes as lower bottom is damaged

3 結(jié)論

（1）針對(duì)錠子組合系統(tǒng)結(jié)合面磨損對(duì)其動(dòng)態(tài)特性的影響，采用彈簧-阻尼單元來(lái)模擬錠子錐面與紗管的結(jié)合面，建立錠子與紗管結(jié)合面的接觸模型和錠子組合系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，為錠子與紗管結(jié)構(gòu)優(yōu)化和組合系統(tǒng)振動(dòng)分析提供理論參考.

（2）錠子與紗管的結(jié)合面磨損引起的接觸面積變化影響錠子組合系統(tǒng)的固有頻率，且周向單側(cè)接觸比周向完全接觸產(chǎn)生的影響大；錠子與紗管下底口結(jié)合面磨損對(duì)組合系統(tǒng)固有頻率的影響比錠子與紗管天眼結(jié)合面磨損的影響大；紗管振程檢測(cè)額定轉(zhuǎn)速為18 000 r/min，不在其固有頻率所對(duì)應(yīng)的臨界轉(zhuǎn)速上，避免系統(tǒng)共振.

（3）錠子與紗管組合系統(tǒng)結(jié)合面磨損加劇振型變化，錠子與紗管下底口結(jié)合面接觸良好時(shí)紗管底部振型的相對(duì)位移明顯變小，紗管頂部振型的相對(duì)位移隨著錠子與紗管天眼處的接觸面積減小而加劇，但接觸面積較小致使紗管整體相對(duì)位移較大；錠子與紗管下底口結(jié)合面磨損時(shí)，紗管底部振型的相對(duì)位移明顯增大，且其頂部振型的相對(duì)位移亦比較大，故在紗管檢測(cè)時(shí)設(shè)置對(duì)紗管上部進(jìn)行檢測(cè)是比較合理的，且結(jié)合面磨損引起紗管相對(duì)位移增加，增加張力波動(dòng)，致使紗線斷頭，不利于紡紗生產(chǎn)過(guò)程高速化.