基于原子范數(shù)的多跳頻信號時頻參數(shù)估計

東潤澤, 郭 英,2, 張坤峰, 楊銀松

(1. 空軍工程大學信息與導航學院, 陜西 西安 710077; 2. 通信網(wǎng)信息傳輸與分發(fā)技術重點實驗室, 河北 石家莊 050081)

0 引 言

跳頻通信的偵察主要分為跳頻信號檢測、參數(shù)估計和網(wǎng)臺分選3個部分[1-3],其中跳頻信號的參數(shù)估計是對敵方跳頻網(wǎng)臺進行干擾的關鍵環(huán)節(jié)。近年來針對多跳頻信號的參數(shù)估計主要包括時頻分析[4-5]、稀疏重構[6-8]和原子分解[9-11]3種方法。時頻分析方法通過得到清晰穩(wěn)健的時頻圖然后實現(xiàn)對參數(shù)的估計,雖然一些改進的時頻分布能抑制交叉項從而得到更加清晰的時頻圖,但是該方法依然存在對噪聲敏感、跳頻參數(shù)估計不準確的缺點。文獻[6]通過在空間頻率域構建超完備稀疏字典,利用稀疏貝葉斯重構信號完成頻率參數(shù)估計,但未考慮頻率不在字典網(wǎng)格上的情況。文獻[7]通過稀疏重構來獲取高聚集度的時頻圖,但只適用于在已知頻率集中的信號。原子分解算法是通過構建原子字典來對接收信號進行表示,進而利用匹配跟蹤(matching pursuit, MP)算法完成對跳頻信號參數(shù)的估計,但是構造的原子字典是離散的,信號的參數(shù)空間卻是連續(xù)的,在不知道信號先驗信息的情況下很難構造出匹配的原子字典[12]。文獻[13-14]提出一種基于稀疏線性回歸(sparse linear regression, SLR)的參數(shù)估計方法,在低信噪比情況下能獲得清晰的時頻圖,但在處理多跳頻信號時信號配對存在困難。文獻[15]針對有限網(wǎng)格與實際信號連續(xù)的參數(shù)之間存在的不匹配問題提出一種無網(wǎng)格壓縮感知的方法,該方法思路新穎,在信號去噪[16-17]、波達方向(direction of arrival, DOA)估計[18-20]和雷達成像[21-22]等領域得到了廣泛應用。

綜上所述,目前對多跳頻信號的參數(shù)估計主要是將信號的連續(xù)參數(shù)空間進行離散化,然后構建有限字典來對參數(shù)空間進行表示,并未考慮字典和信號不匹配的情況。針對該問題,本文在文獻[17]基礎上,利用跳頻信號在時頻域的稀疏性構造可以描述連續(xù)變量的無限原子集合,通過對接收信號進行重疊劃分建立每段信號的原子范數(shù)最小化模型,通過求解其對偶問題完成對每段信號的估計,利用對偶多項式完成對每個分段信號的頻率估計,再把每個分段信號內存在的頻率合起來得到跳頻信號頻率集的估計,并通過統(tǒng)計各個分段內頻率分量的數(shù)目完成跳變時刻的檢測。

1 數(shù)學模型

1.1 跳頻信號數(shù)學模型

假設在觀測時間(0,T]內共有N個跳頻信號,則接收信號可表示為

(1)

式中,sn(t)表示第n個跳頻信號;cn表示第n個跳頻信號的幅度;v(t)表示均值為零,方差為σ2的高斯白噪聲。設第n個跳頻信號sn(t)的跳周期為Tn,在觀測時間內共有K個完整跳,第k(k=1,…,K)個完整跳的中心頻率為fn k,初相為φn k,最開始非完整跳的持續(xù)時間為Δtn 0,中心頻率為fn 0,初相為φn 0,則sn(t)可表示為

(2)

式中,rect(t)表示單位矩形脈沖函數(shù),0

,m∈(0,M]

(3)

1.2 原子范數(shù)及其對偶范數(shù)

定義A為一個原子集合,假設A中的任一原子a不在其他原子構成的凸包conv(Aa)內,且凸包conv(A)是以原點為中心成中心對稱的,即A中的原子都是凸包conv(A)的極值點,a∈A當且僅當-a∈A,則原子范數(shù)‖·‖A定義[23]為

‖x‖A=inf{t> 0|x∈tconv(A)}=

(4)

≤1}=

sup{〈t,x〉|‖x‖A≤1}=sup{〈t,a〉|a∈A}

(5)

2 算法原理

2.1 原子范數(shù)最小化問題

根據(jù)跳頻信號在時頻域具有的稀疏性,首先定義原子集A中的原子[15]為

[a(f,φ)]h=ej2π(hf+φ),a(f,φ)∈CH

(6)

式中,f∈[0,1]表示歸一化頻率；h∈(0,H]表示A中的原子是H維的復向量；φ∈[0,2π),則原子集A={a(f,φ)|f∈[0,1],φ∈[0,2π)}。

跳頻信號具有在其持續(xù)時間內頻率隨機跳變的特性,為了使接收到的跳頻信號能夠被A中的原子所表示,需要對其進行等間隔劃分,將長度為M的一段信號劃分為G段長為H的信號,每段之間重疊長度為i,則有

(7)

將這G段信號按列組成觀測矩陣Y=[y1,y2,…,yG],Y∈CH×G如圖1所示。則式(3)可重寫為Y=S+V,其中，S和V分別代表原信號矩陣和高斯白噪聲矩陣,S=[s1,s2,…,sG],vg～N(0,σ2IH),vg∈V。

圖1 跳頻信號劃分示意圖Fig.1 Schematic diagram of frequency hopping signal division

(8)

將式(8)轉化為無約束最優(yōu)化問題為

τ‖sg‖A

(9)

式中,τ為正則化參數(shù)。

2.2 基于對偶范數(shù)的半定規(guī)劃問題

根據(jù)文獻[17],原子范數(shù)最小化問題(9)的對偶問題為

(10)

,a(f,φ)〉=

(11)

(12)

(13)

u=[u1,u2,…,uN]

,tg〉

s.t.TH(Q)=e1

(14)

式(14)的對偶形式為

(15)

因此原子范數(shù)最小化問題(9)等價于

(16)

2.3 基于對偶多項式的頻率定位

(17)

圖2給出了由截取的一段長為64點的跳頻信號得到的對偶多項式的值,其縱軸以τ進行歸一化,信噪比為10 dB。對每一段信號進行頻率定位得到的頻率分量取并集,我們就得到了跳頻信號的頻率集。

圖2 基于對偶多項式的頻率定位Fig.2 Frequency localization based on dual polynomials

3 仿真實驗與分析

3.1 實驗1

假設觀測時間T=5.12 ms,跳頻信號個數(shù)N=3,采樣率fs=200 kHz,采樣點數(shù)M=1 024,3個跳頻信號同步跳,頻率集分別為[108,20,46,134]kHz、[46,130,96,160]kHz和[140,72,122,32]kHz,跳周期為1.28 ms,信噪比為10 dB。重疊劃分得到的每段信號長為H=64,每段之間重疊i=32,則共有G=31段信號。對每一段信號分別進行頻率定位,每一段信號對應的頻率分量個數(shù)如圖3所示。

圖3 各段信號包含的頻率分量個數(shù)Fig.3 Number of frequency components contained ineach segment of the signal

對所有分段信號的頻率分量個數(shù)求平均,我們認為頻率分量個數(shù)大于平均數(shù)的分段信號包含了跳變時刻,即第8,16和24段,取每一段的中心點為跳變時刻點,分別為第256,512,768。然后以檢測出的跳變時刻點為邊界,重新劃分接收信號為4段,再進行頻率定位,得到的時頻圖如圖4所示。

圖4 多跳頻信號同步跳時頻圖Fig.4 Time frequency diagram for synchronous multiplefrequency hopping signals

3.2 實驗2

設置3個跳頻信號異步跳,頻率集分別為[60,128,78]kHz、[154,180,104,40,162]kHz和[92,70,104,154,66,126,104]kHz,跳周期分別為2.33 ms、1.28 ms和1.04 ms,每個跳頻信號第一跳的持續(xù)時間分別為275、153和155個采樣點數(shù),其他條件和信號劃分方式同實驗1,得到的時頻圖如圖5所示。

3.3 實驗3

為驗證噪聲對本文算法估計跳頻頻率的影響,設定信噪比從0 dB以1 dB為步長遞增至10 dB,跳頻信號個數(shù)N分別取2和3,其他條件和信號劃分方式同實驗1,取第一段長為64點的信號,在每個信噪比下進行100次蒙特卡羅實驗,圖6給出了歸一化頻率的MSE隨信噪比變化的曲線。可以看出,本文算法對跳頻信號頻率的估計性能隨著信噪比的增大而提高,當信噪比大于0 dB時,頻率估計的MSE低于200 Hz。與文獻[6]稀疏重構算法相比,本文算法的誤差降低了一個數(shù)量級,與文獻[10]原子分解算法相比,本文算法在相同信噪比下具有更好的估計性能。

圖5 多跳頻信號異步跳時頻圖Fig.5 Time frequency diagram for asynchronous multiplefrequency hopping signals

圖6 頻率估計均方誤差隨信噪比的變化Fig.6 Change of mean square error with signal to noiseratio of frequency estimation

4 結束語

本文從跳頻信號參數(shù)估計的基字典不匹配問題出發(fā),提出了一種基于原子范數(shù)的多跳頻信號參數(shù)估計方法。該方法與以往方法相比不需要預先設定基字典,能夠直接獲得信號的頻率集,而不是從跳頻圖案中對頻率集進行估計,在低信噪比下具有良好的估計性能。