結(jié)構(gòu)動(dòng)力有限元分析中材料阻尼模型的注記

宋雪飛

上海建工集團(tuán)工程研究總院 上海 201114

有限元技術(shù)在土木工程振動(dòng)計(jì)算中的廣泛使用，使得結(jié)構(gòu)動(dòng)力建模越來(lái)越精細(xì)化，導(dǎo)致了自由度數(shù)目巨大的計(jì)算模型。對(duì)于大量自由度的結(jié)構(gòu)動(dòng)力模型，阻尼模型和參數(shù)的選取是關(guān)鍵問(wèn)題之一。

基于對(duì)材料振動(dòng)耗能的物理機(jī)制方面的一些試驗(yàn)現(xiàn)象的觀察，先后提出了與速度呈線性關(guān)系的黏滯阻尼假定、與速度呈線性關(guān)系的頻率相關(guān)的黏滯阻尼假定和復(fù)阻尼假定等，這些阻尼假定和相關(guān)分析方法在文獻(xiàn)[1-2]中得到了比較系統(tǒng)的論述。但由于阻尼現(xiàn)象與機(jī)理的復(fù)雜性，目前尚沒(méi)有建立一般的材料阻尼理論來(lái)用于土木工程結(jié)構(gòu)的動(dòng)力設(shè)計(jì)。

因此建立具有理論和試驗(yàn)數(shù)據(jù)基礎(chǔ)、適用于大規(guī)模有限元結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算的阻尼理論與模型仍是一個(gè)有待解決的重要問(wèn)題。

本文基于工程材料存在振動(dòng)耗能常數(shù)的假定和結(jié)構(gòu)動(dòng)力有限元分析理論，推導(dǎo)出了簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)材料阻尼矩陣，與構(gòu)造質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的規(guī)則完全相同，便于動(dòng)力有限元分析過(guò)程的實(shí)現(xiàn)。

同時(shí)，根據(jù)橋梁環(huán)境振動(dòng)阻尼實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)和模型橋梁阻尼的測(cè)試數(shù)據(jù)，驗(yàn)證了材料振動(dòng)耗能常數(shù)的存在性。振動(dòng)解答比較結(jié)果表明，基于材料振動(dòng)耗能常數(shù)存在假定得到的振動(dòng)反應(yīng)的結(jié)果與復(fù)阻尼假定下振動(dòng)反應(yīng)的結(jié)果在數(shù)學(xué)表達(dá)形式上相同，數(shù)值差別可以忽略不計(jì)。

1 基于有限元理論的材料阻尼模型

1.1 材料的振動(dòng)衰減常數(shù)與單元阻尼矩陣

考慮慣性效應(yīng)和阻尼效應(yīng)的彈性介質(zhì)動(dòng)力平衡方程如式（1）所示[3]：

式中：A——微分算子矩陣；

σ——應(yīng)力向量；

p——體力向量；

ρ——質(zhì)量密度；

ü——加速度向量；

η——振動(dòng)耗能常數(shù)；

式（1）對(duì)于阻尼力的處理依賴于2個(gè)假定：

1）材料振動(dòng)耗能常數(shù)η存在。

2）結(jié)構(gòu)阻尼力假定等于材料的振動(dòng)耗能常數(shù)η與材料振動(dòng)速度的乘積。

根據(jù)有限元基本原理，基于式（1）可以得到結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)有限元方程〔式（2）〕：

式中：M——結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣；

C——結(jié)構(gòu)阻尼矩陣；

K——結(jié)構(gòu)剛度矩陣；

u——節(jié)點(diǎn)位移向量；

——節(jié)點(diǎn)加速度向量；

p(t) ——節(jié)點(diǎn)動(dòng)力荷載向量。

基于式（1）得到的單元質(zhì)量矩陣Me和單元阻尼矩陣Ce如式（3）所示：

式中：Ne——單元形函數(shù)。

由式（3）可得式（4）：

式中：αe——材料的振動(dòng)衰減常數(shù)。

由式（4）可知，基于式（1）得到的單元阻尼矩陣Ce與單元質(zhì)量矩陣Me成比例，比例系數(shù)為αe。當(dāng)在單元層面上采用Rayleigh阻尼假定，并且只考慮質(zhì)量相關(guān)項(xiàng)時(shí)，可以得到與式（4）相同的結(jié)果。

αe并不取決于單元材料的振動(dòng)耗能常數(shù)ηe和質(zhì)量密度ρe的值，而是取決于它們的比值。確切地講，αe并不是逐個(gè)單元變化的，而是因材料不同而變化的。對(duì)于單一材料構(gòu)成的結(jié)構(gòu)，αe對(duì)全結(jié)構(gòu)取常數(shù)α，此時(shí)C=2αM，結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程（2）可以寫(xiě)為：

當(dāng)結(jié)構(gòu)不同區(qū)域由不同材料構(gòu)成時(shí)，應(yīng)根據(jù)不同區(qū)域確定不同的α值。此時(shí)用式（4）計(jì)算單元阻尼矩陣Ce，并根據(jù)與單元質(zhì)量矩陣Me集成結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣M相同的集成規(guī)則集成單元阻尼矩陣C。本文的討論從式（5）開(kāi)始。

1.2 振型阻尼比與振型頻率之間的理論關(guān)系

記由質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K構(gòu)成的數(shù)學(xué)特征值問(wèn)題所對(duì)應(yīng)的特征值為ω21、ω22、…，特征向量為φ=[φ1,φ2,…]。作變換u=φx，利用φ與質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K的加權(quán)正交關(guān)系（且φ關(guān)于質(zhì)量矩陣M歸一化）可以得到：

根據(jù)黏滯阻尼假定中振型阻尼比定義，式（6）可以寫(xiě)為：

比較式（6）和式（7）可知：

由于材料的振動(dòng)衰減常數(shù)α僅依賴于材料特性，根據(jù)式（8），必然得到振型阻尼比ζj與振型頻率ωj的乘積為常數(shù)的結(jié)論。

1.3 阻尼比和自由振動(dòng)頻率關(guān)系的試驗(yàn)結(jié)果

圖1～圖3是3座大橋的振型阻尼比和振型頻率的實(shí)測(cè)結(jié)果，以及得到ζjω?j的結(jié)果。由圖可見(jiàn)，振型阻尼比隨振型頻率的增大呈衰減趨勢(shì)，而ζ jω?j則基本可以假定為一個(gè)常數(shù)。圖4是獵德大橋（主跨167 m＋219 m，自錨式懸索橋）幾何相似比1/50的模型在振動(dòng)臺(tái)進(jìn)行白噪聲激勵(lì)所識(shí)別得到的自由振動(dòng)頻率和阻尼比的結(jié)果。其與前3座大橋的實(shí)測(cè)結(jié)果所反映的規(guī)律相同。

圖1 蘇通長(zhǎng)江公路大橋振型阻尼比和自由振動(dòng)頻率的實(shí)測(cè)結(jié)果

圖2 西堠門大橋振型阻尼比和自由振動(dòng)頻率的實(shí)測(cè)結(jié)果

圖3 紅光大橋振型阻尼比和自由振動(dòng)頻率的實(shí)測(cè)結(jié)果

圖4 獵德大橋模型（幾何相似比：1/50）阻尼比與自由振動(dòng)頻率的實(shí)測(cè)結(jié)果

可見(jiàn)，振型阻尼比ζj與振型頻率ωj之積為常數(shù)這一理論結(jié)果得到了橋梁原型和模型實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的有力支持，驗(yàn)證了前述材料振動(dòng)耗能常數(shù)η的存在性，表明這是材料耗能機(jī)理的一個(gè)更符合實(shí)際的描述。同時(shí)也間接支持了與速度成線性關(guān)系的黏滯阻尼假定的合理性。

上述試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果表明，通常采用的常振型阻尼比假定缺少試驗(yàn)測(cè)試數(shù)據(jù)的支持，不是一個(gè)合理的假定，特別是對(duì)具有大量動(dòng)力自由度的結(jié)構(gòu)進(jìn)行有限元計(jì)算時(shí)。試驗(yàn)結(jié)果也輔證了前面數(shù)字解答的結(jié)論。

2 復(fù)雜結(jié)構(gòu)情況

多數(shù)土木工程結(jié)構(gòu)是一個(gè)復(fù)雜體系，耗能機(jī)制十分復(fù)雜，可分為材料阻尼、節(jié)點(diǎn)阻尼和界面阻尼。僅就材料阻尼而言，由于結(jié)構(gòu)的不同部分由不同材料制作，因此材料耗能常數(shù)η和振動(dòng)衰減常數(shù)α對(duì)于結(jié)構(gòu)不同部分一般不同，也就是說(shuō)不能針對(duì)全結(jié)構(gòu)取相同的α。在這種情況下，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)方程不能寫(xiě)為式（5），而只能寫(xiě)為式（2）。

在結(jié)構(gòu)動(dòng)力有限元建模中，如果不考慮非線性問(wèn)題，結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)阻尼、界面阻尼以及人工阻尼一般可以描述為集中參數(shù)的黏滯阻尼。這樣在形成結(jié)構(gòu)體系的材料阻尼矩陣后，可以將其他阻尼作為集中阻尼，按照動(dòng)力有限元總體阻尼矩陣與單元阻尼矩陣的關(guān)系，計(jì)入這些阻尼效應(yīng)。

在上述復(fù)雜阻尼情況下，結(jié)構(gòu)的阻尼矩陣不能通過(guò)無(wú)阻尼實(shí)振型解耦。如果仍要堅(jiān)持采用向量疊加法計(jì)算結(jié)構(gòu)的振動(dòng)反應(yīng)，則必須解算實(shí)對(duì)稱矩陣（也可以是實(shí)非對(duì)稱矩陣）的復(fù)特征值問(wèn)題。關(guān)于這一問(wèn)題的討論可參見(jiàn)文獻(xiàn)[4-7]。

3 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)本文的研究工作，得到了以下結(jié)果和結(jié)論：

1）提出了工程材料存在振動(dòng)耗能常數(shù)假定?；诖思俣?，在理論上證明了結(jié)構(gòu)振型阻尼比和振型頻率的乘積為常數(shù)的結(jié)論，3座原型橋梁和1座模型橋梁振型阻尼比和振型頻率的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)驗(yàn)證了上述理論結(jié)論和材料存在振動(dòng)耗能常數(shù)假定的合理性。

2）基于材料存在振動(dòng)耗能常數(shù)的假定，給出了面向大量自由度土木工程結(jié)構(gòu)動(dòng)力有限元分析的阻尼矩陣構(gòu)造方法，其規(guī)則與構(gòu)造質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的方法相同，便于動(dòng)力有限元方法的軟件實(shí)現(xiàn)。

3）本文阻尼假定下，結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)方程和解答以實(shí)數(shù)表達(dá)，避免了復(fù)阻尼假定下繁瑣的復(fù)數(shù)運(yùn)算。