面向避障和緊湊的浮動(dòng)滾子推桿盤形凸輪機(jī)構(gòu)尺寸綜合問題

林夢(mèng)杰 李延平 常 勇

集美大學(xué)機(jī)械與能源工程學(xué)院，廈門，361021

1 問題的提出

2010年，源于引進(jìn)德國海德堡高速印刷機(jī)機(jī)構(gòu)后消化吸收的工程實(shí)際背景，筆者歸納出以下具有一般性的浮動(dòng)滾子推桿盤形凸輪機(jī)構(gòu)問題［1］：

（1）Ⅰ類尺寸綜合問題。已知從動(dòng)構(gòu)件系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)尺寸、輸出件推程起始終止位置和角位移規(guī)律，以及許用壓力角、滾子中心在連桿上具體位置等條件，求解凸輪軸心容許選擇區(qū)域、凸輪基圓半徑許用取值范圍等。

（2）Ⅱ類尺寸綜合問題。已知從動(dòng)構(gòu)件系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)尺寸、輸出件推程起始終止位置和角位移規(guī)律，以及許用壓力角、凸輪軸心位置和滾子中心位居連桿某一方位線等條件，求解滾子中心容許選擇區(qū)段、凸輪基圓半徑許用取值范圍等。

筆者通過建立坐標(biāo)系、劃分推程區(qū)段和引入“浮動(dòng)數(shù)軸”、“瞬時(shí)/整程區(qū)間套”等新概念，圓滿解決了浮動(dòng)滾子推桿盤形凸輪機(jī)構(gòu)的狹義Ⅱ類尺寸綜合問題。

德國海德堡高速印刷機(jī)中的浮動(dòng)滾子推桿盤形凸輪機(jī)構(gòu)見圖1，該機(jī)構(gòu)由凸輪1、連桿2、搖塊3、滾子4（鉸接于連桿上）、搖桿5和機(jī)架0組成。原動(dòng)件（凸輪1）通過滾子4和連桿2，驅(qū)動(dòng)輸出件（搖桿5）在推程起始、終止位置（O20A、O2mA）間實(shí)現(xiàn)預(yù)期運(yùn)動(dòng)輸出。

圖1 浮動(dòng)滾子推桿盤形凸輪機(jī)構(gòu)的原始形態(tài)及演化形態(tài)Fig.1 Original/evolutionary form of a disk cam mechanism with a floating roller

2012年，隨著對(duì)海德堡高速印刷機(jī)機(jī)構(gòu)消化吸收的深入，通過“釋放”滾子中心，即在連桿平面上任意選取滾子中心位置，筆者提出了更具一般性的浮動(dòng)滾子推桿盤形凸輪機(jī)構(gòu)問題［2］。通過引入“浮動(dòng)坐標(biāo)系”、“瞬時(shí)/整程區(qū)域套”和“最經(jīng)濟(jì)搜索帶域”等概念，圓滿解決了浮動(dòng)滾子推桿盤形凸輪機(jī)構(gòu)的廣義Ⅱ類尺寸綜合問題，即:已知從動(dòng)構(gòu)件系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)學(xué)尺寸、輸出件推程起始終止位置和角位移規(guī)律，以及許用壓力角、滾子中心位居連桿平面和凸輪軸心位置等條件，求解滾子中心容許選擇區(qū)域、凸輪基圓半徑許用取值范圍等。

德國海德堡高速印刷機(jī)中的浮動(dòng)滾子推桿盤形凸輪機(jī)構(gòu)具有以下顯著結(jié)構(gòu)特征：①凸輪1、搖塊3與機(jī)架0構(gòu)成復(fù)合鉸鏈O1（O3），即凸輪和搖塊軸心O1、O3重合；②滾子中心C位于連桿方位線O2O3上。

2010年筆者嚴(yán)格恪守“顯著結(jié)構(gòu)特征”①和②，相應(yīng)提出的尺寸綜合方法屬于純粹性“消化吸收”［1］。2012年筆者更改了“顯著結(jié)構(gòu)特征”②，釋放滾子中心C于連桿平面Σ2上，屬于實(shí)質(zhì)性“改進(jìn)創(chuàng)新”［2］。

由于部件、元器件和線路的調(diào)整變更和重新布置等，機(jī)構(gòu)“周邊環(huán)境”發(fā)生了復(fù)雜顯著變化，機(jī)構(gòu)與環(huán)境發(fā)生“肢體沖突”的概率陡然增加。

若采用筆者2012年提出的廣義Ⅱ類綜合方法［2］，無論凸輪順時(shí)針還是逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，皆無法避免凸輪和（或）滾子與部件、元器件及線路發(fā)生碰撞干涉，解得的尺寸不成立，廣義Ⅱ類綜合方法“失效”。采用筆者2010年提出的狹義Ⅱ類綜合方法［1］則更有過之。

上述嘗試求解表明：采用廣義、狹義Ⅱ類尺寸綜合方法［1?2］難以適應(yīng)變化了的“周邊環(huán)境”，無法取得成功避障的機(jī)構(gòu)尺寸解。部件、元器件和線路的調(diào)整變更和重新規(guī)劃布置等，占據(jù)了“解機(jī)構(gòu)”的運(yùn)動(dòng)空間，對(duì)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)著實(shí)構(gòu)成了“障礙”。

“避障和緊湊”已有諸多研究成果［1?9］，基于“雙釋放（釋放滾子中心和凸輪軸心）的基本思想（見圖1中演化構(gòu)型（虛線）的凸輪軸心O1（x，y）、滾子中心C（u，v）），根據(jù)Ⅰ類尺寸綜合方法［3］，筆者分析推理得到最優(yōu)凸輪軸心O**1是“整程避障成功”的最適任解，給出障礙集{Di}、許用邊界{?Di}基礎(chǔ)性的概念，提出滾子、凸輪“整程避障成功”解析判據(jù)以及“簡約搜索區(qū)域求解凸輪軸心O1、滾子中心C解區(qū)域的遍歷搜索方法，提出“機(jī)構(gòu)緊湊尺寸解”求解方法，以解決面向避障和緊湊的浮動(dòng)滾子推桿盤形凸輪機(jī)構(gòu)尺寸綜合問題。

需要指出的是：部件、元器件和線路的調(diào)整變更和重新布置等，已保證不占據(jù)從動(dòng)構(gòu)件系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)空間——不構(gòu)成障礙。本文的核心和關(guān)鍵是探索解決“凸輪和滾子”的成功避障問題。

2 面向避障和緊湊的浮動(dòng)滾子推桿盤形凸輪機(jī)構(gòu)尺寸綜合問題的準(zhǔn)確描述

面向避障的機(jī)構(gòu)尺寸綜合問題的準(zhǔn)確描述如下。已知：①障礙集。障礙集D1～Dn的形態(tài)特征，相對(duì)從動(dòng)件系統(tǒng)的位置分布；②從動(dòng)件系統(tǒng)。機(jī)架長度 l0，搖桿長度 l5，搖桿初位角 θ50、行程角 βm，推程、回程運(yùn)動(dòng)角Ф0和Ф’0，推程、回程運(yùn)動(dòng)規(guī)律，滾子半經(jīng)rr，推程許用壓力角［α1］，凸輪轉(zhuǎn)動(dòng)方向。求解：“整程避障成功”凸輪軸心O1、滾子中心C的解區(qū)域；機(jī)構(gòu)緊湊尺寸解。

3 理論基礎(chǔ)和重要推證結(jié)論

3.1“固定坐標(biāo)系Oxy”和“浮動(dòng)坐標(biāo)系O2uv”的概念

基于海德堡高速印刷機(jī)機(jī)構(gòu)的浮動(dòng)滾子推桿盤形凸輪機(jī)構(gòu)的原始構(gòu)型、演化構(gòu)型見圖1。兩種構(gòu)型的凸輪和滾子分別用點(diǎn)畫線、虛線描述表達(dá)。

固定坐標(biāo)系Oxy指固連于機(jī)架平面Σ0上，以O(shè)為原點(diǎn)、O→x為x軸正向、O→y為y軸正向的直角坐標(biāo)系。浮動(dòng)坐標(biāo)系O2uv指固連于連桿平面Σ2上，以O(shè)2為原點(diǎn)、O2→u為u軸正向、O2→v為v軸正向的直角坐標(biāo)系。

3.2 滾子中心由C（uC，vC）→（xC，yC）的坐標(biāo)變換

滾子位于連桿平面Σ2上，（uC,vC）為滾子中心C的浮動(dòng)坐標(biāo)系坐標(biāo)。本文研究避障問題，需求解滾子中心C的固定坐標(biāo)系坐標(biāo)（xC,yC）?？蓳?jù)坐標(biāo)變換公式

解得xC和yC。上式是后文的求解計(jì)算基礎(chǔ)。據(jù)上式，有

式中，s2m、θ2m分別為推程終止位置的連桿長度、連桿位置角。

3.3 機(jī)構(gòu)Ⅰ類尺寸綜合問題的重要結(jié)論［4］

3.3.1 整程區(qū)域套Γ*(x,y)和整程邊界Γ*(x,y)

若在連桿平面Σ2上給定某一滾子中心C，即對(duì)應(yīng)存在凸輪軸心O1的解域——整程區(qū)域套Γ*（x，y），則對(duì)應(yīng)邊界為整程邊界?Γ*（x，y），見圖 2［3］。

3.3.2 最優(yōu)凸輪軸心O**1及其性質(zhì)［3］

整程區(qū)域套 Γ*（x，y）呈半封閉、類角形的形態(tài)特征［3］。給定滾子中心C，存在最優(yōu)凸輪軸心角點(diǎn)O**1，即取得凸輪最小基圓半徑r0min，見圖2。

3.4 凸輪工作輪廓最大向徑rmax

據(jù)圖2推知

式中，rr為滾子半徑；xO1、yO1分別為凸輪軸心O1的x、y坐標(biāo)（據(jù)Ⅰ類尺寸綜合方法解得），xCm、yCm

為推程終止位置滾子中心Cm的x、y坐標(biāo)（據(jù)式（1）解得）。

3.5 最優(yōu)凸輪軸心O**1內(nèi)涵重要拓展引申

3.5.1 凸輪整周轉(zhuǎn)動(dòng)的最小占據(jù)區(qū)域

對(duì)應(yīng)Σ2上同一滾子中心C，凸輪軸心分別取四點(diǎn)，繪出凸輪整周轉(zhuǎn)動(dòng)占據(jù)的4個(gè)圓形區(qū)域，見圖2。顯見，凸輪軸心取點(diǎn)的占據(jù)區(qū)域最小。前述為圓心、小半徑劃弧，與?Γ*(x,y)截得的交點(diǎn)和中點(diǎn)。

3.5.2 “整程避障成功”的凸輪軸心最適任解

整程區(qū)域套 Γ*（x，y）除外的邊界點(diǎn)和內(nèi)點(diǎn)，皆因在避障和尺寸方面居于劣勢，故不予考慮。

4 “整程避障成功”的滾子和凸輪的解析判據(jù)

4.1 障礙集{Di}的靜占區(qū)域、滾子和凸輪的動(dòng)占區(qū)域

4.1.1 障礙集{Di}的靜占區(qū)域

Σ0上的障礙集{Di}及其許用邊界{?Di}（i=1，2，…，n）見圖3。

圖3 障礙集{Di}及其許用邊界{?Di}Fig.3 Obstacle set{Di}and its allowable boundary{?Di}

任一障礙Di的靜占區(qū)域?yàn)?/p>

應(yīng)指出，許用邊界?Di是障礙Di真實(shí)邊界的外等距曲線，而此“等距”一般取5～8 mm。為使圖簡約清晰，真實(shí)邊界未畫。后文中各圖皆為許用邊界{?Di}。

4.1.2 滾子和凸輪的瞬時(shí)/整程動(dòng)占區(qū)域Droll/{Droll}和Dcam/{Dcam}

滾子瞬時(shí)動(dòng)占區(qū)域Droll指任一瞬時(shí)以滾子中心C為圓心、滾子半徑rr為半徑的圓形區(qū)域。

滾子整程動(dòng)占區(qū)域{Droll}指所有瞬時(shí)以滾子中心C為圓心、滾子半徑rr為半徑的圓形區(qū)域的并集。

凸輪瞬時(shí)動(dòng)占區(qū)域Dcam指任一瞬時(shí)以凸輪工作輪廓為整體邊界的盤形區(qū)域。

凸輪整程動(dòng)占區(qū)域{Dcam}指以凸輪軸心O1為圓心、凸輪工作輪廓最大向徑rmax（圖2）為半徑的圓形區(qū)域。

不難理解，{Droll}和{Dcam}是由無數(shù)個(gè)瞬時(shí)Droll和Dcam構(gòu)成的無限序列。

4.2 滾子瞬時(shí)/整程避障成功的位置特征與解析判據(jù)

4.2.1 滾子瞬時(shí)/整程避障成功的位置特征

瞬時(shí)避障成功的位置特征就是Droll與{Di}相離，即

整程避障成功的位置特征就是{Droll}與{Di}相離，即

4.2.2 滾子瞬時(shí)/整程避障成功的解析判據(jù)

瞬時(shí)避障成功的解析判據(jù)如下：

式中，xC、yC、dminC分別為任一瞬時(shí) C 的 x、y坐標(biāo)和至{?Di}最小距離；diminC為任一瞬時(shí) C 至?Di的最小距離。

整程避障成功的解析判據(jù)如下：

式中，x{C}、y{C}、dmin{C}分別為整程所有瞬時(shí)C的x、y坐標(biāo)和至{?Di}最小距離。

x{C}=x{C}(θ1)和 y{C}=y{C}(θ1)是 θ1的一元函數(shù)。據(jù)式（8）對(duì)θ1進(jìn)行等距-離散化，例如取°，參見后文示例。

式（8）包括兩層含義：①滿足所有障礙{Di}；②滿足所有瞬時(shí)θ1∈［0，360°］。

因?yàn)檎系K集{Di}的非時(shí)變性以及推程、回程滾子中心C的軌跡重合，據(jù)式（8）推知，滿足推程 θ1∈［0，Φ0］即滿足整程 θ1∈［0，360°］，Φ0為推程運(yùn)動(dòng)角。

4.3 凸輪整程避障成功的位置特征與解析判據(jù)

4.3.1 凸輪瞬時(shí)/整程避障成功的位置特征

瞬時(shí)避障成功的位置特征就是Dcam與{Di}相離，即

整程避障成功的位置特征就是{Dcam}與{Di}相離，即

4.3.2 凸輪整程避障成功的解析判據(jù)

凸輪整程避障成功的解析判據(jù)如下：

式中，xO1、yO1、dminO1分別為O1的 x、y坐標(biāo)和至{?Di}的最小距離。

后文中“避障成功”皆指整程避障成功。

5 避障成功滾子中心C、凸輪軸心O1解區(qū)域的遍歷搜索求解

遍歷搜索求解的策略、路線和方法步驟如下。

（1）選定簡約搜索區(qū)域Σ[2]。如圖4所示，選定簡約搜索區(qū)域

圖4 簡約搜索區(qū)域Σ[2]和Σ[0]的離散-網(wǎng)格化Fig.4 Simplified search areaΣ[2]andΣ[0]

（2）Σ[2]的離散-網(wǎng)格化。對(duì)Σ[2]沿u、v方向離散-網(wǎng)格化（圖4）：

任一網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)C（up，vq），有

（4）選定簡約搜索區(qū)域Σ[0]。選定簡約搜索區(qū)域Σ[0]（圖4）：

式中，yP20f、yP20r分別為往程前半、后半?yún)^(qū)段絕對(duì)瞬心P20的y坐標(biāo)。

圖5 滾子中心C的過程、結(jié)果解區(qū)域和Fig.5 The process and result solution region of the roll center C and

（5）Σ[0]的離散-網(wǎng)格化。如圖4所示，對(duì)Σ[0]沿x、y方向離散-網(wǎng)格化：

任一網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)O1（xj，yk），有

式（15）和式（22）的Δ等同，取決于指數(shù)m，據(jù)精度要求而定。

（6）滾子避障成功、凸輪軸心位于Σ[0]內(nèi)的過程解區(qū)域 Σcam[0]Σ。對(duì)圖5的過程解區(qū)域 Σroll[2]Σ，遍歷取滾子中心C的節(jié)點(diǎn)（up，vq）為滾子中心C，根據(jù)Ⅰ類尺寸綜合方法［3?4］解得對(duì)應(yīng)凸輪軸心“角點(diǎn)”，該角點(diǎn)位于Σ[0]內(nèi)，標(biāo)淺色。

遍歷取 Σroll[2]Σ上各滾子中心節(jié)點(diǎn)，圖6中生成得到淺色過程解區(qū)域，記為Σcam[0]Σ。

圖6 凸輪軸心O1的過程、結(jié)果解區(qū)域Σcam[0]Σ和 Σcam[0]ΣΣ Fig.6 The process and result solution region of the cam axis O1 Σcam[0]Σ and Σcam[0]ΣΣ

（7）滾子避障成功、凸輪軸心位于Σ[0]內(nèi)的過程解區(qū)反轉(zhuǎn)過來，將與圖對(duì)應(yīng)的圖5節(jié)點(diǎn)(up,vq)標(biāo)記淺色，生成得到淺色過程解區(qū)域，記為Σroll[2]Σ。

（8）滾子和凸輪避障成功凸輪軸心O1的結(jié)果解區(qū)域 Σcam[0]ΣΣ。對(duì)圖6淺色過程解區(qū)域 Σcam[0]Σ，遍歷取凸輪軸心O1的節(jié)點(diǎn)(xj,yk)，即凸輪軸心O1，檢驗(yàn)校核是否滿足式（12）。若滿足式（12），標(biāo)深色；反之，仍標(biāo)淺色。

遍歷取 Σcam[0]Σ，得到深色結(jié)果解區(qū)域，記為

（9）滾子和凸輪避障成功滾子中心C的結(jié)果解區(qū)域 Σroll[2]ΣΣ。反過來，將與圖6對(duì)應(yīng)的圖5節(jié)點(diǎn)(up,vq)標(biāo)深色，得到深色結(jié)果解區(qū)域，記為

圖5～圖7的繪制生成，皆基于后文示例已知條件數(shù)據(jù)。

圖7 機(jī)構(gòu)緊湊尺寸解（C、O1）的求解Fig.7 Solution of compact size solution（C、O1）

6 機(jī)構(gòu)緊湊尺寸解（滾子中心C、凸輪軸心O1）的求解

根據(jù)“最優(yōu)解常出現(xiàn)在邊界”的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)（圖7），確定最優(yōu)解步驟如下。

（1）沿解區(qū)域Σroll[2]ΣΣ的下側(cè)（靠近連桿側(cè)）、右側(cè)邊界和沿逆時(shí)針方向，順次選取滾子中心C的離散點(diǎn)1～5；

（2）對(duì)應(yīng)得到分布于解區(qū)域Σcam[0]ΣΣ的下側(cè)（靠近連桿側(cè)）、右側(cè)邊界上，也是沿逆時(shí)針方向的5個(gè)離散點(diǎn)1′、2′、3′、4′、5′，即凸輪軸心O1；

（3）據(jù)滾子中心C、凸輪軸心O1的5種組合（1，1′）～（5，5′），據(jù)式（2）計(jì)算繪出對(duì)應(yīng)的凸輪整程動(dòng)占區(qū)域{Dcam}，即圖7a、7b中的5個(gè)圓。

分析圖7，得到以下重要結(jié)論：

（1）無論凸輪順時(shí)針還是逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，滾子中心C 位于解區(qū)域 Σroll[2]ΣΣ的角點(diǎn)3時(shí)，凸輪軸心O1也位于解區(qū)域 Σcam[0]ΣΣ的角點(diǎn)3′；

（2）凸輪軸心O1取在角點(diǎn)3′，凸輪整程動(dòng)占區(qū)域{Dcam}最小，見圖7a、7b中的粗實(shí)線圓。

由圖7不難看出：凸輪軸心O1取在角點(diǎn)3′，粗實(shí)線{Dcam}最充分嵌入、利用了從動(dòng)件系統(tǒng)和障礙集已占據(jù)空間，對(duì)環(huán)境空間的額外索取達(dá)到最小，即最緊湊。

7 機(jī)構(gòu)綜合示例

圖1中，機(jī)架長度l0=140 mm，搖桿長度l5=50 mm，搖桿初位角θ50=140°，行程角 βm=80°，推程選用擺線運(yùn)動(dòng)規(guī)律，推程運(yùn)動(dòng)角Ф0=150°，滾子半經(jīng)rr=6 mm，許用壓力角［α1］=40°，3個(gè)障礙靜占區(qū)域 D1～D3（許用邊界?D1～?D3數(shù)據(jù)描述從略），求解：①滾子和凸輪整程避障成功的結(jié)果解；②機(jī)構(gòu)緊湊尺寸解。

求解過程如下。

（2）機(jī)構(gòu)緊湊尺寸解。①凸輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。據(jù)第6節(jié)和Ⅰ類尺寸綜合方法［3］，機(jī)構(gòu)緊湊尺寸解為：滾子中心 C（65.20，25.83），凸輪軸心 O1（22.49，16.02），見圖 7a。據(jù)式（1）解 得 xCm=95.31 mm，yCm=29.14 mm，據(jù)式（2）解得 rmax=75.16 mm。②凸輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。步驟同上，機(jī)構(gòu)緊湊尺寸解為：滾子中心C（70.67，4.07），凸輪軸心O1（6.39，19.59），見圖7b。據(jù)式（1）解得 xCm=95.31 mm，yCm=29.14 mm，據(jù)式（2）解得 rmax=83.74 mm。

對(duì)比求解上面的計(jì)算結(jié)果后可知，較之凸輪逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，凸輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的尺寸更緊湊、更具優(yōu)越性。