具有連續(xù)轉(zhuǎn)軸的新型3-UPU 并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性分析

韓雪艷 王子義 李仕華 田志立

1.燕山大學(xué)河北省并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室，秦皇島，066004

2.燕山大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，秦皇島，066004

0 引言

具有兩轉(zhuǎn)動(dòng)一移動(dòng)的三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)（2R1T）是非常重要的一類構(gòu)型，應(yīng)用于諸多領(lǐng)域。2R1T并聯(lián)機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)軸在空間的分布對(duì)機(jī)構(gòu)的標(biāo)定和軌跡規(guī)劃十分重要［1］，但現(xiàn)有大多數(shù)的2R1T并聯(lián)機(jī)構(gòu)在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中軸線不固定，即轉(zhuǎn)軸為瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸，為其標(biāo)定和軌跡規(guī)劃帶來了不便。

很多學(xué)者對(duì)機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)軸進(jìn)行了研究。李秦川等［1］通過分析機(jī)構(gòu)發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)后其約束螺旋的變化分析了2?UPR?SPR并聯(lián)機(jī)構(gòu)的連續(xù)轉(zhuǎn)軸。LIU等［2］采用在分支中添加平行四邊形復(fù)合運(yùn)動(dòng)副的方法構(gòu)造了一類具有很強(qiáng)的轉(zhuǎn)動(dòng)能力的三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)。XU 等［3?4］采用螺旋理論對(duì)一種 2?RPU/SPR兩轉(zhuǎn)一移并聯(lián)機(jī)構(gòu)的連續(xù)轉(zhuǎn)軸進(jìn)行了研究，并基于具有連續(xù)轉(zhuǎn)軸的2R1T并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)造了一種五自由度混聯(lián)機(jī)構(gòu)。LI等［5］采用在3T1R并聯(lián)機(jī)構(gòu)中添加冗余支鏈的方法得到了很多冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)。竇玉超等［6］提出了一種兩轉(zhuǎn)動(dòng)一移動(dòng)自由度的完全解耦并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并對(duì)其工作空間、奇異性進(jìn)行了分析。LI等［7］分析了 3?［P］［S］類并聯(lián)機(jī)構(gòu)的轉(zhuǎn)軸的分布情況。陳子明等［8?11］提出了一類無伴隨運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱兩轉(zhuǎn)一移并聯(lián)機(jī)構(gòu)，該類機(jī)構(gòu)可以繞中間對(duì)稱平面內(nèi)任一條直線做連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)。

上述研究要求機(jī)構(gòu)動(dòng)定平臺(tái)或運(yùn)動(dòng)副軸線具有特殊的位置關(guān)系，在實(shí)際應(yīng)用中很難保證，不利于機(jī)構(gòu)的應(yīng)用。本文提出了一種新型的3-UPU空間對(duì)稱的并聯(lián)機(jī)構(gòu)，并對(duì)機(jī)構(gòu)的自由度、運(yùn)動(dòng)特性和工作空間進(jìn)行了分析。

1 初始位形下機(jī)構(gòu)自由度分析

1.1 機(jī)構(gòu)構(gòu)型

如圖1所示，新型3-UPU機(jī)構(gòu)是由2個(gè)全等的正三角形平臺(tái)和3條完全相同的UPU分支組成。每個(gè)UPU分支包含2個(gè)萬向鉸鏈（Ui，i=1，2）以及1個(gè)移動(dòng)副（P副）。每個(gè)U副由2個(gè)垂直相交的轉(zhuǎn)動(dòng)副構(gòu)成，其中與平臺(tái)相連的轉(zhuǎn)動(dòng)副稱為Ui的第一轉(zhuǎn)動(dòng)副（Ui1），與中間移動(dòng)副相連的轉(zhuǎn)動(dòng)副稱為Ui的第二轉(zhuǎn)動(dòng)副（Ui2）。U11、U21以一定角度對(duì)稱傾斜布置在動(dòng)定平臺(tái)上，且其軸線相交于中間對(duì)稱平面S內(nèi)一點(diǎn)P1，U12、U22以相同角度與中間移動(dòng)副傾斜相連且其軸線交于中間對(duì)稱平面S內(nèi)一點(diǎn)P2。在初始位形下，中間移動(dòng)副與上下平臺(tái)垂直，且任意位形下均與中間對(duì)稱平面S保持垂直。

圖1 3-UPU機(jī)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of 3-UPU

1.2 機(jī)構(gòu)自由度分析

根據(jù)螺旋理論［12］可知

由式（1）可以得到：①分支約束力與分支轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線共面（相交或平行），并且分支約束力與分支中的移動(dòng)副軸線垂直；②分支約束力偶方向與分支所有轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線垂直，約束力偶的方向與移動(dòng)副軸線幾何關(guān)系可以是任意的。

機(jī)構(gòu)單個(gè)分支的布置見圖2。

圖2 UPU分支Fig.2 UPU branch

根據(jù)螺旋的互逆性，UPU分支約束螺旋與分支所有轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線共面（相交或平行），同時(shí)與分支中所有移動(dòng)副軸線垂直，因此約束螺旋只有1個(gè)，即通過2個(gè)交點(diǎn)P1和P2的約束力螺旋＄r1；UPU分支約束力偶的方向與分支所有轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線垂直，因此約束力偶不存在。UPU分支具有1個(gè)過轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線交點(diǎn)P1、P2的約束力，且其分布在中間對(duì)稱平面內(nèi)。

由于機(jī)構(gòu)分支采取對(duì)稱布置，故對(duì)平臺(tái)所施加的約束力＄ri（i=1，2，3）相互交錯(cuò)，且位于中間對(duì)稱平面內(nèi)，見圖3。

圖3 約束力矢量圖Fig.3 Vector diagram of the constraining screws

3個(gè)約束力＄ri（i=1，2，3）限制了動(dòng)平臺(tái)沿對(duì)稱平面方向的2個(gè)移動(dòng)自由度和對(duì)稱平面法線方向的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，機(jī)構(gòu)具有3個(gè)自由度，即在對(duì)稱面上的2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度和沿對(duì)稱面法線方向上的1個(gè)移動(dòng)自由度。

1.3 自由度數(shù)的驗(yàn)證

根據(jù)修正Kutzbach?Grubler公式［12］來計(jì)算自由度：

式中，d為機(jī)構(gòu)的階數(shù)；n為機(jī)構(gòu)的構(gòu)件數(shù)；g為機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)副數(shù)；fi為第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度數(shù)；v為機(jī)構(gòu)的冗余約束數(shù)；ξ為機(jī)構(gòu)的局部自由度數(shù)。

該機(jī)構(gòu)公共約束個(gè)數(shù)為0，機(jī)構(gòu)的階數(shù)d為6；機(jī)構(gòu)構(gòu)件數(shù)目n為8；運(yùn)動(dòng)副個(gè)數(shù)為9，其中6個(gè)U副具有2個(gè)自由度，3個(gè)移動(dòng)副具有1個(gè)自由度；機(jī)構(gòu)冗余約束v的個(gè)數(shù)為0；局部自由度ξ為0。因此，機(jī)構(gòu)自由度為

2 機(jī)構(gòu)自由度的非瞬時(shí)性分析

利用單葉雙曲面的相關(guān)性質(zhì)證明當(dāng)機(jī)構(gòu)發(fā)生運(yùn)動(dòng)后，該機(jī)構(gòu)始終關(guān)于中間平面對(duì)稱，且其自由度始終為2R1T，即自由度具有非瞬時(shí)性。

2.1 單頁(yè)雙曲面的性質(zhì)

如圖4所示，直線l繞與它不共面的直線k旋轉(zhuǎn)而成的曲面稱為單葉雙曲面。這種由一族直線所構(gòu)成的曲面稱為直紋曲面，而構(gòu)成直紋曲面的那族直線稱為直紋曲面的一族直母線。單葉雙曲面的兩族母線具有如下特性：①單葉雙曲面上異族的任意兩條直母線必共面（相交或平行），而同族的任意兩條直母線必為異面直線；②單葉雙曲面上的任意母線與主軸線的距離相同，與主軸線的夾角相同；③與主軸線距離和夾角相同的直線為同一單葉雙曲面的直母線。

圖4 單葉雙曲面示意圖Fig.4 Schematic diagram of single leaf hyperboloid

2.2 機(jī)構(gòu)在任意位形下的對(duì)稱性分析

首先，討論分支的對(duì)稱性。如圖5所示，在初始位形下，每個(gè)分支的 U12、U22轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線 l1、l2關(guān)于中間對(duì)稱平面S1對(duì)稱，且相交于平面S1上一點(diǎn)P2，移動(dòng)副軸線lp垂直于平面S1。當(dāng)機(jī)構(gòu)發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)或移動(dòng)時(shí)，U12、U22轉(zhuǎn)動(dòng)副之間只發(fā)生沿移動(dòng)副軸線lp方向的移動(dòng)，所以機(jī)構(gòu)位形發(fā)生變化時(shí)，這兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副將始終關(guān)于一個(gè)分支平面對(duì)稱，相交于平面上一點(diǎn)移動(dòng)副軸線lp始終與該平面保持垂直狀態(tài)。

圖5 分支對(duì)稱平面Fig.5 Branch symmetric plane

其次，討論動(dòng)定平臺(tái)的對(duì)稱性。在初始位形下，動(dòng)定平臺(tái)關(guān)于平面S2對(duì)稱，見圖6。分支與定動(dòng)平臺(tái)連接的轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線l3、l4關(guān)于平面S2對(duì)稱，相交于平面上P2點(diǎn)，且l3、l4到平面S2上任意直線k的距離和夾角相同。

圖6 動(dòng)定平臺(tái)旋轉(zhuǎn)前后的位形Fig.6 The position of the moving and fixed platform before and after rotation

同理，與動(dòng)定平臺(tái)相連的另外2個(gè)分支上的2組轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線也是彼此相交的。機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)后，由于動(dòng)定平臺(tái)結(jié)構(gòu)上鏡面對(duì)稱，而且固連其上的3個(gè)分支的U11、U21轉(zhuǎn)動(dòng)副的3對(duì)軸線彼此相交，因此動(dòng)定平臺(tái)關(guān)于某一平面對(duì)稱，該平面由3對(duì)軸線的交點(diǎn)確定，且該平面相當(dāng)于原中間對(duì)稱平面繞直線k轉(zhuǎn)動(dòng)θ/2。

此外，當(dāng)動(dòng)平臺(tái)發(fā)生沿對(duì)稱平面法線方向移動(dòng)時(shí)，動(dòng)定平臺(tái)關(guān)于中間平面對(duì)稱，其正確性顯而易見，在此不再贅述。

圖7 3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)Fig.7 3-UPU parallel mechanism

最后，討論機(jī)構(gòu)的對(duì)稱性。如圖7所示，由于每個(gè)分支中的U1、U2副的中心點(diǎn)（U副兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線的交點(diǎn)）始終關(guān)于分支對(duì)稱平面S1（或）對(duì)稱，也始終關(guān)于動(dòng)定平臺(tái)對(duì)稱平面S（2或）對(duì)稱，且兩點(diǎn)間的對(duì)稱平面只有1個(gè)，所以2個(gè)對(duì)稱平面S1（或）、S（2或）為同一平面S。因此，機(jī)構(gòu)在任意位形下，均存在1個(gè)中間對(duì)稱平面S，且每個(gè)分支的上下2組U副轉(zhuǎn)動(dòng)副的軸線始終對(duì)稱且相交于中間對(duì)稱平面S上的P1、P2點(diǎn)，移動(dòng)副的軸線始終垂直于中間對(duì)稱平面S。

2.3 機(jī)構(gòu)自由度非瞬時(shí)性

根據(jù)前述分析，在初始位形下，機(jī)構(gòu)的每個(gè)分支均存在1個(gè)約束力，分布在中間對(duì)稱平面S內(nèi)且通過2個(gè)運(yùn)動(dòng)副的交點(diǎn)。3個(gè)約束力均交錯(cuò)分布在中間對(duì)稱平面內(nèi)且通過各分支的2個(gè)運(yùn)動(dòng)副交點(diǎn)，限制了動(dòng)平臺(tái)沿平面S上的2個(gè)移動(dòng)自由度和對(duì)稱平面法線方向上的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，使得機(jī)構(gòu)只具有繞中間對(duì)稱平面內(nèi)直線轉(zhuǎn)動(dòng)自由度與垂直于中間對(duì)稱平面移動(dòng)自由度。動(dòng)平臺(tái)發(fā)生上述3種運(yùn)動(dòng)后，由前述論證可知，機(jī)構(gòu)的3個(gè)約束力仍分布在中間對(duì)稱平面內(nèi)且通過各分支的2個(gè)運(yùn)動(dòng)副交點(diǎn)，因此，機(jī)構(gòu)自由度是非瞬時(shí)的。

3 機(jī)構(gòu)連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)特性分析

3.1 機(jī)構(gòu)連續(xù)轉(zhuǎn)軸位置確定

初始位形下，該機(jī)構(gòu)可以繞中間對(duì)稱平面S內(nèi)任意一條直線做瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)，且機(jī)構(gòu)發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)后仍關(guān)于某一中間平面S′對(duì)稱，仍然具有繞平面S′上任意直線做瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)的能力；機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)前后，轉(zhuǎn)動(dòng)軸線始終位于對(duì)稱平面內(nèi)，所以可以繞對(duì)稱平面內(nèi)同一條直線連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)。同理，轉(zhuǎn)動(dòng)后的中間對(duì)稱平面內(nèi)所有直線均作為機(jī)構(gòu)繼續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)的連續(xù)轉(zhuǎn)軸。

信號(hào)參數(shù)如表1所示。在這個(gè)信號(hào)中,基波、2次諧波和3次諧波附近都存在一個(gè)間諧波,如果直接使用加窗插值FFT算法進(jìn)行處理,上述分量將難以被區(qū)分出來,計(jì)算結(jié)果誤差會(huì)很大。為了避免這種情況,在計(jì)算信號(hào)參數(shù)前使用本文方法來處理待測(cè)信號(hào)。

此外，由于機(jī)構(gòu)動(dòng)平臺(tái)沿著對(duì)稱平面S的法線移動(dòng)后，動(dòng)定平臺(tái)的姿態(tài)均未改變，移動(dòng)前后機(jī)構(gòu)對(duì)稱平面S仍相互平行，故約束力仍位于移動(dòng)后的機(jī)構(gòu)對(duì)稱平面內(nèi)，動(dòng)平臺(tái)仍可沿著該方向移動(dòng)，即機(jī)構(gòu)的移動(dòng)也是連續(xù)的。

綜上，該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性為：動(dòng)平臺(tái)可以繞機(jī)構(gòu)中間對(duì)稱平面上的任意一條直線連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)，或沿垂直于中間對(duì)稱平面方向連續(xù)移動(dòng)。當(dāng)動(dòng)平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)或移動(dòng)后，動(dòng)平臺(tái)仍可繞著新的中間對(duì)稱平面內(nèi)的任意一條直線轉(zhuǎn)動(dòng)或沿垂直于新的中間對(duì)稱平面的方向移動(dòng)。所以該機(jī)構(gòu)對(duì)稱平面上的任一直線皆為連續(xù)轉(zhuǎn)軸。

3.2 連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)的仿真驗(yàn)證

采用SolidWorks建立機(jī)構(gòu)仿真模型，驗(yàn)證其可在任意位形下繞中間對(duì)稱平面上的任一直線做連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)。

在初始位形下，如圖8所示，選取中間對(duì)稱平面內(nèi)任一直線k1作為轉(zhuǎn)動(dòng)軸線，并在此軸線處搭建1個(gè)分別與動(dòng)定平臺(tái)固連的中間轉(zhuǎn)動(dòng)副，在其上添加旋轉(zhuǎn)馬達(dá)，驅(qū)動(dòng)動(dòng)平臺(tái)繞該軸線連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)一定角度θ1（取θ1=20°）。提取3個(gè)移動(dòng)副的位置參數(shù)數(shù)據(jù)，并作為驅(qū)動(dòng)添加到機(jī)構(gòu)的3個(gè)移動(dòng)副中，見圖9；動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到P′點(diǎn)軌跡是一段繞所選軸線的圓弧，所以在初始位形下該機(jī)構(gòu)可以在移動(dòng)副驅(qū)動(dòng)下繞中間對(duì)稱平面內(nèi)任一直線做連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)。

圖8 初始位形下以中間轉(zhuǎn)動(dòng)副驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)Fig.8 The mechanism driving by middle rotational pair under the initial position

圖9 初始位形下以移動(dòng)副驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)Fig.9 The mechanism driving by prismatic pair under the initial position

同理，在動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)后，重復(fù)上述過程，驅(qū)動(dòng)動(dòng)平臺(tái)繞新對(duì)稱平面內(nèi)任意軸線k2旋轉(zhuǎn)一定角度θ2（本文取θ2=20°），見圖10。如圖11所示，動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)P′運(yùn)動(dòng)到P″點(diǎn)，經(jīng)驗(yàn)證其軌跡為一段繞所選軸線的圓弧，所以在任意位形下該機(jī)構(gòu)可以在移動(dòng)副驅(qū)動(dòng)下繞中間對(duì)稱平面內(nèi)任一直線做連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)。根據(jù)上述仿真結(jié)果，該機(jī)構(gòu)可實(shí)現(xiàn)連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)。

圖10 轉(zhuǎn)動(dòng)后以中間轉(zhuǎn)動(dòng)副驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)Fig.10 The mechanism driving by middle rotational pair after rotation

圖11 轉(zhuǎn)動(dòng)后以移動(dòng)副驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)Fig.11 The mechanism driving by prismatic pair after rotation

4 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解及工作空間分析

4.1 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)反解分析

4.1.1 轉(zhuǎn)動(dòng)角度分析

如圖12所示，初始位形下，O、O1分別為定平臺(tái)、動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)，O2為平面S2上的一點(diǎn)，OO2、O1O2分別與中間對(duì)稱平面S2的夾角相同且設(shè)為α。假設(shè)動(dòng)平臺(tái)繞平面S2內(nèi)一條直線k轉(zhuǎn)動(dòng)β角時(shí)，平面S2轉(zhuǎn)動(dòng)了γ角，因OO2和O1O2與中間對(duì)稱平面的夾角仍然相同，可得

因此，在動(dòng)平臺(tái)旋轉(zhuǎn)過程中，動(dòng)平臺(tái)繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過角度是中間對(duì)稱平面S繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過角度的2倍。

圖12 機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)動(dòng)角度關(guān)系圖Fig.12 The relation chart of rotation angle

4.1.2 位置反解

如圖13所示，在動(dòng)定平臺(tái)和中間對(duì)稱平面上分別建立坐標(biāo)系，其中，A1、A2、A3為與定平臺(tái)相連U1副的中心點(diǎn)，a1、a2、a3為與動(dòng)平臺(tái)相連U2副中心點(diǎn)。定系OXYZ的原點(diǎn)O在定平臺(tái)中心，X軸垂直于A1A3指向A2方向，Z軸垂直于定平臺(tái)且指向上方，Y軸按照右手定則確定；動(dòng)系O1X1Y1Z1在動(dòng)平臺(tái)上的布置與定系OXYZ在定平臺(tái)上的布置相同；與中間對(duì)稱平面S固定的坐標(biāo)系O2X2Y2Z2的各個(gè)軸線在初始位形下與定平臺(tái)各坐標(biāo)軸平行。

圖13 機(jī)構(gòu)的坐標(biāo)系Fig.13 The coordinate system of the mechanism

由于動(dòng)定平臺(tái)關(guān)于中間對(duì)稱平面對(duì)稱，動(dòng)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)時(shí)定系坐標(biāo)原點(diǎn)O到動(dòng)系坐標(biāo)原點(diǎn)O1的向量始終為中間對(duì)稱平面的法向量，因此當(dāng)動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)O1已知時(shí)，中間對(duì)稱平面的姿態(tài)也可以確定。平面S的姿態(tài)矩陣可以采用繞著坐標(biāo)系O2X2Y2Z2旋轉(zhuǎn)的xyz型歐拉角（α，β，γ）來表示。受機(jī)構(gòu)的約束力的限制，平面S只能繞著X2、Y2軸轉(zhuǎn)動(dòng)，不能繞著Z2軸轉(zhuǎn)動(dòng)，故γ=0，因此平面S的姿態(tài)矩陣T′為

當(dāng)已知?jiǎng)悠脚_(tái)中心點(diǎn)O1在定系中的坐標(biāo)(x,y,z)T時(shí)，中間對(duì)稱平面的單位法向量為

結(jié)合平面S的姿態(tài)矩陣T′，可得

求解式（7）可得

由轉(zhuǎn)角分析可知，動(dòng)平臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)角度為中間對(duì)稱平面轉(zhuǎn)動(dòng)角度的2倍，動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)矩陣T可以表示為

其中，姿態(tài)角α、β為動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)角的1/2，而動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)角的范圍是(-π,π)，則α、β取值范圍是(-π/2,π/2)。

當(dāng)已知?jiǎng)悠脚_(tái)中心點(diǎn)O1在定系中的坐標(biāo)時(shí)，可得到動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)矩陣，動(dòng)系中任意一點(diǎn)P在定系中的坐標(biāo)P(0)即為

式中，P(1)為任意一點(diǎn)P在動(dòng)系中的坐標(biāo)。

從而可解得動(dòng)平臺(tái)U2副中心點(diǎn)在定系中的坐所以可以求得該機(jī)構(gòu)的反解即各移動(dòng)副的長(zhǎng)度

4.2 機(jī)構(gòu)工作空間分析

為了更方便應(yīng)用，機(jī)構(gòu)采用懸吊方式，定平臺(tái)固定于橫梁上，并改進(jìn)機(jī)構(gòu)布置，擴(kuò)大了移動(dòng)副的移動(dòng)范圍及U副的轉(zhuǎn)角范圍，見圖14。以電動(dòng)缸作為機(jī)構(gòu)的P副，制作了實(shí)驗(yàn)樣機(jī)，見圖15。

圖14 改進(jìn)的機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.14 Improved mechanism diagram

圖15 改進(jìn)后機(jī)構(gòu)實(shí)驗(yàn)樣機(jī)Fig.15 Improved experimental prototype

采用動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)O1在定系中的位置坐標(biāo)(x,y,z)能達(dá)到的范圍來表示其工作空間。設(shè)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)及輸入?yún)?shù)范圍：定平臺(tái)3個(gè)U副中心間的距離a=414 mm；移動(dòng)副的移動(dòng)范圍為0～300 mm；當(dāng)移動(dòng)副處于零值時(shí)，機(jī)構(gòu)動(dòng)定平臺(tái)的中心距離為290 mm；U副的轉(zhuǎn)角范圍是在母線與中心線夾角為60°的圓錐形范圍內(nèi)（由于初始位形下P副所在連桿軸線垂直于定平臺(tái)，故P副軸線的轉(zhuǎn)角范圍也是與初始位形成60°的圓錐）。機(jī)構(gòu)各分支始終相互平行，不存在分支干涉，只考慮桿長(zhǎng)及轉(zhuǎn)角限制。通過MATLAB編程，繪制機(jī)構(gòu)的工作空間見圖16。

圖16 3-UPU機(jī)構(gòu)工作空間Fig.16 Workspace of 3-UPU parallel mechanism

由圖16可知，3-UPU機(jī)構(gòu)的工作空間外形近似呈對(duì)稱六面體形狀。Z方向的范圍與P副的移動(dòng)范圍相同。在垂直于Z軸的平面上，沿著分支方向的可達(dá)范圍最大。在Z為350～450 mm的范圍內(nèi)工作空間較大，且在垂直于Z軸的平面內(nèi)沿著各方向的變動(dòng)較小。由上述分析可知，該機(jī)構(gòu)的工作空間相對(duì)較大，且呈對(duì)稱分布，具有較好的應(yīng)用價(jià)值。

5 結(jié)論

（1）本文提出了一種新型3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)，由全等的動(dòng)定平臺(tái)和3條對(duì)稱布置的UPU分支組成。該機(jī)構(gòu)的動(dòng)定平臺(tái)始終關(guān)于1個(gè)中間平面對(duì)稱，每個(gè)分支中的2個(gè)U副與動(dòng)定平臺(tái)傾斜布置，分支呈空間對(duì)稱結(jié)構(gòu)，且2對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸線始終相交于中間對(duì)稱平面上的2個(gè)點(diǎn)。

（2）該機(jī)構(gòu)受到共面的3個(gè)約束力作用，具有在對(duì)稱面內(nèi)的2個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度和沿垂直對(duì)稱面方向的移動(dòng)自由度，它是2R1T并聯(lián)機(jī)構(gòu)。機(jī)構(gòu)中間對(duì)稱平面內(nèi)任一直線均為機(jī)構(gòu)的連續(xù)轉(zhuǎn)軸，機(jī)構(gòu)沿對(duì)稱平面法線方向的移動(dòng)也是連續(xù)運(yùn)動(dòng)。

（3）本文推導(dǎo)了該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)反解公式，并分析了該機(jī)構(gòu)的工作空間。該機(jī)構(gòu)的工作空間較大，運(yùn)動(dòng)性能良好，具有很好的應(yīng)用前景。