突然擴(kuò)散水躍方程的顯式解

寧利中，渠亞偉，寧碧波，王新宏，田偉利，劉 爽

(1. 西安理工大學(xué)西北旱區(qū)生態(tài)水利工程國家重點實驗室培育基地，陜西西安 710048; 2. 嘉興學(xué)院建筑工程學(xué)院,浙江嘉興 314001； 3. 上海大學(xué)建筑系,上海 200444)

高水頭泄水建筑物的下泄水流具有水頭高、流速大、水流集中的特點，故下泄水流的動能很大。為了使下泄水流與下游河道水流正常平順銜接，必須在泄水建筑物下游盡可能短的范圍內(nèi)或所規(guī)定區(qū)域內(nèi)集中消減下泄水流的動能，以確保建筑物與河道的安全。對于具體的水流條件、地形地質(zhì)條件、泄水建筑物的形式與布置等，必須采取不同的消能方式。水躍或者底流消能作為基本的消能方式之一，已在工程中廣泛應(yīng)用。關(guān)于水躍消能的研究也已獲得很大進(jìn)展[1-6]。

水平渠底等寬矩形斷面渠道中的水躍是水躍的最簡單形式，它具有共軛水深比的顯式解。但是，限于地形條件，消能段經(jīng)常布置成擴(kuò)散式水躍消能，因此，需研究水平渠底漸擴(kuò)明渠段中的水躍[7-12]及水平突然擴(kuò)散段(簡稱水平突擴(kuò)段)的水躍[7,13-19]。水平突擴(kuò)水躍的共軛水深是底流消能工水力設(shè)計的重要參數(shù)。本文將研究突擴(kuò)水躍共軛水深方程及其水力特性。首先研究回流平均水深，并通過試驗資料確定回流平均水深關(guān)系中的系數(shù)α。然后，應(yīng)用動量守恒原理推導(dǎo)突擴(kuò)水躍方程，并給出突擴(kuò)水躍方程的顯式解。

1 理論分析

1.1 突擴(kuò)水躍方程

圖1是水平渠底突擴(kuò)水躍的流動示意圖。h1,h2為躍前、躍后斷面水深，h3為回流區(qū)平均水深，b，B為上游、下游渠槽寬度。

圖1 突擴(kuò)式水躍示意Fig.1 Hydraulic jump in abruptly expanding channel

對圖1所示的流動運用動量原理建立共軛水深關(guān)系式前，作出如下假定：①躍前與躍后斷面上的水流為漸變流,動水壓力服從靜水壓力分布；②躍前與躍后斷面上的動量修正系數(shù)相等，數(shù)值為1.0；③忽略明渠(槽)底壁面的摩擦阻力。

在流動方向?qū)D1的躍前與躍后兩斷面應(yīng)用動量原理，有

(1)

式中：Q為流量；γ為水重度；g為重力加速度；v1為躍前斷面平均流速,v2為躍后斷面平均流速；α01,α02分別為躍前斷面和躍后斷面的動量修正系數(shù)；Pi為流動方向作用的力。

根據(jù)連續(xù)性原理，有：Q=v1h1b=v2h2B

(2)

根據(jù)假定(1)，躍前斷面的動水總壓力為：

(3)

(4)

始端擴(kuò)散區(qū)壁面壓強(qiáng)與回流平均水深有關(guān)，它是確定始端擴(kuò)散區(qū)壁面壓強(qiáng)的重要參數(shù)。回流水深沿始端擴(kuò)散區(qū)壁面變化。為了方便計算，通常選用平均回流水深計算水躍始端擴(kuò)散斷面上的動水總壓力，即

(5)

根據(jù)假定(2)，有：α01=α02=1.0。

(6)

將式(2)～(6)代入式(1)，得

(7)

(8)

式(8)即為突擴(kuò)水躍的共軛水深方程。

圖2 系數(shù)α隨著突擴(kuò)比β的變化Fig.2 Variation of coefficient α with abrupt expansion ratio β

1.2 回流平均水深

由于回流水深沿始端擴(kuò)散區(qū)壁面是變化的，本文認(rèn)為回流平均水深h3是躍前、躍后水深h1,h2的函數(shù)，同時又受突擴(kuò)比β影響。假定

(9)

式中：系數(shù)α可由試驗確定。根據(jù)文獻(xiàn)[7]和[9]關(guān)于回流水深的試驗資料，發(fā)現(xiàn)系數(shù)α是突擴(kuò)比β的函數(shù)，如圖2所示，其關(guān)系式可表示為

α=-0.066 9β2+0.484 6β-0.329

(10)

顯然，系數(shù)α小于0.5，在β=3.0左右存在極值。 回流水深系數(shù)由5個試驗數(shù)據(jù)確定，每個試驗數(shù)據(jù)取相同擴(kuò)散比情況下10多個試驗數(shù)據(jù)的平均值。

1.3 水躍方程顯式解

將式(9)代入式(8)，得

(11)

整理式(11)，得

(12)

式(12)即為假設(shè)條件下突擴(kuò)水躍的共軛水深方程。對于方程(12)，參照文獻(xiàn)[20]處理一元三次方程的方法，則共軛水深方程的解為

(13a)

(13b)

2 水躍方程顯式解的驗證

水躍方程顯式解與文獻(xiàn)[13,18]試驗結(jié)果的比較見表1。

表1 顯式解與試驗資料[13,18]的比較Tab.1 Comparison between explicit solutions and experimental data

不同突擴(kuò)比情況下水躍方程顯式解與文獻(xiàn)[13,18]試驗結(jié)果的平均誤差和最大誤差分析見表2。計算共軛水深比與試驗共軛水深比的比較見圖3?？梢钥闯?①水躍方程顯式解與試驗的平均誤差為5.481%，最大誤差為28.125%，最大誤差發(fā)生在β=3.0的情況。②不同突擴(kuò)比情況下水躍方程顯式解與文獻(xiàn)[13,18]試驗結(jié)果的比較說明，最大平均誤差發(fā)生在β=3.0的情況下,最小平均誤差發(fā)生在β=1.2的情況。最大誤差和不同突擴(kuò)比情況下，最大平均誤差都發(fā)生在β=3.0的情況，說明這種情況流動最復(fù)雜，個別試驗點的試驗情況和理論假定偏離較大。另外，也不排除個別試驗點在試驗觀測時存在較大誤差。③在90組試驗數(shù)據(jù)中，水躍方程顯式解與試驗的誤差小于5%的有57組，占試驗資料的63.3%。誤差大于20%的僅有3組，占試驗資料的3.3%。這說明，水躍方程顯式解是可靠的，具有較高精度，可用于計算實際工程問題。

表2不同突擴(kuò)比時顯式解與試驗結(jié)果的誤差

Tab.2 Errors between explicit solution at different abrupt expansion ratios and experimental data

突擴(kuò)比β=1.2β=1.5β=2.0β=3.0β=5.0平均誤差/%2.4214.5636.2478.6332.896最大誤差/%8.86118.93925.85028.1259.091

圖3 共軛水深比計算結(jié)果與試驗結(jié)果比較Fig.3 Comparison between calculated results and experimental results of conjugate depth

3 結(jié) 語