基于SM算法的鋼桁架結(jié)構(gòu)冗余度優(yōu)化

吳星煌， 朱南海

（江西理工大學(xué)建筑與測(cè)繪工程學(xué)院，江西 贛州341000）

鋼桁架橋梁以其結(jié)構(gòu)造型優(yōu)美、受力合理、跨越性好受到廣泛關(guān)注[1].鑒于材料成本、拼接工藝、拓?fù)錁?gòu)型等因素，設(shè)計(jì)一個(gè)受力合理、用量少、成本低的結(jié)構(gòu)成了一個(gè)亟待解決的優(yōu)化問題.以往在截面設(shè)計(jì)方面多是按極限狀態(tài)設(shè)計(jì)方法進(jìn)行，通過逐個(gè)考慮構(gòu)件的承載能力和節(jié)點(diǎn)的位移來獲得構(gòu)件的截面尺寸，該方法并沒能考慮到結(jié)構(gòu)的整體效應(yīng)，不能形成合理的受力模式而有效發(fā)揮構(gòu)件的性能.所以亟待找到一種能夠反映結(jié)構(gòu)整體性能的量，并運(yùn)用優(yōu)化算法來對(duì)該量進(jìn)行解的搜索方法.

結(jié)構(gòu)冗余度作為反映結(jié)構(gòu)在局部危險(xiǎn)狀態(tài)下保證構(gòu)件受力替補(bǔ)性和內(nèi)力重分布的一個(gè)量[2]，恰好可以用來反應(yīng)結(jié)構(gòu)的整體性能.文獻(xiàn)[3-4]基于結(jié)構(gòu)剛度給出了結(jié)構(gòu)冗余度的計(jì)算方法，卻沒有考慮荷載對(duì)結(jié)構(gòu)冗余度的影響；文獻(xiàn)[5]討論了荷載對(duì)結(jié)構(gòu)冗余度的影響；文獻(xiàn)[6]基于敏感性理論分析了荷載作用下結(jié)構(gòu)冗余度.所以需要一個(gè)能考慮荷載作用、結(jié)構(gòu)幾何屬性的冗余度評(píng)估方法，并能有一個(gè)高效的算法對(duì)冗余度進(jìn)行優(yōu)化從而實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì).在結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)上主要有截面優(yōu)化、形狀優(yōu)化、拓?fù)鋬?yōu)化和選型優(yōu)化[7].截面優(yōu)化作為結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)最基礎(chǔ)的一步，通常伴隨著單純形算法、模擬退火算法、遺傳算法等運(yùn)用,文獻(xiàn)[8-11]分別對(duì)這幾種優(yōu)化算法及其混合算法在截面優(yōu)化設(shè)計(jì)上的運(yùn)用做了相應(yīng)的研究，鑒于對(duì)算法搜索效率的考慮，選取SM算法(單純形算法)做結(jié)構(gòu)冗余度優(yōu)化來實(shí)現(xiàn)構(gòu)件截面的優(yōu)化設(shè)計(jì).

SM算法作為一種簡(jiǎn)單、局部搜索效率高的確定性下降的方法,通過引入結(jié)構(gòu)冗余度的概念并做相應(yīng)改進(jìn)后完全可以適用鋼桁架橋的截面設(shè)計(jì).文中將傳統(tǒng)無條件約束的局部搜索能力的SM算法做了一個(gè)改進(jìn)，首先將解的搜索空間擴(kuò)大了一倍，其次對(duì)解的邊界進(jìn)行自適應(yīng)處理，然后在每代新解中引入變異[12]，最后運(yùn)用理想點(diǎn)法[13]將結(jié)構(gòu)冗余度差值最小、結(jié)構(gòu)體積最小兩個(gè)目標(biāo)整合成一個(gè)目標(biāo)函數(shù)后形成一個(gè)具備全局搜索能力的改進(jìn)SM算法.通過改進(jìn)SM算法對(duì)符合目標(biāo)函數(shù)的解空間的搜索，選出了鋼桁架橋構(gòu)件最優(yōu)截面，最后以Abaqus仿真分析的結(jié)果來驗(yàn)證算法在鋼桁架橋截面優(yōu)化設(shè)計(jì)中的有效性.

1 結(jié)構(gòu)冗余度計(jì)算

結(jié)構(gòu)冗余度與結(jié)構(gòu)響應(yīng)敏感性成反比，根據(jù)Pandey等[14]基于敏感性理論在冗余度上的研究，提出如下冗余度評(píng)價(jià)指標(biāo)：

式（1）中：GRi為構(gòu)件單元i的冗余度；NE為結(jié)構(gòu)單元總數(shù)；Vj為j單元的體積；Sji為j單元對(duì)第i單元的應(yīng)變響應(yīng)敏感性；V為結(jié)構(gòu)總體積.

2 SM算法改進(jìn)及其對(duì)冗余度的優(yōu)化

2.1 傳統(tǒng)SM算法理論

傳統(tǒng)SM算法是一種從n+1個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，不斷重復(fù)反射、延伸、縮短、縮邊過程直到滿足目標(biāo)終止條件的多面體搜索算法，是一種局部搜索速度快、無條件約束的確定性算法，主要由以下幾部分組成：

1）n+1個(gè)初始解的產(chǎn)生

式 （4） 中：X0為初始解矩陣；n為變量的維數(shù)；fieldDR為描述變量上下邊界的矩陣；crtrp為遺傳算法中產(chǎn)生符合均勻分布實(shí)值的函數(shù)，詳情參閱文獻(xiàn)[17].

2）解的反射

式（5）中：X0,r為反射的解矩陣；Xh0為最大目標(biāo)函數(shù)值的解；X0,mean為除去Xh0后X0中所剩解的均值；reflct為以X0,mean為反射中心的反射系數(shù).3）解的延伸

式（6）中：X0,e為延伸的解矩陣；extd為延伸系數(shù).

4）解的縮短

式（7）中：X0,sht為縮短的解向量；short為縮短系數(shù).

5）解的縮邊

式（8）中：Xi0為解空間 X0中第 i個(gè)解向量；Xl0為最小目標(biāo)函數(shù)值的解；shrnk為縮邊系數(shù).

6）終止條件

式（9）中：fT0為終目標(biāo)函數(shù)；fl0為最小目標(biāo)函數(shù)；eTol為判斂誤差限；sqrt、sum分別為開方、求和函數(shù).

2.2 傳統(tǒng)SM算法改進(jìn)

為適應(yīng)結(jié)構(gòu)冗余度優(yōu)化對(duì)搜索速度和數(shù)據(jù)精度的要求，并獲得一個(gè)在有邊界約束條件下具備全局搜索能力的SM算法，現(xiàn)對(duì)SM算法做如下改進(jìn)：

改進(jìn)1，借鑒復(fù)形法[18]，將初始搜索頂點(diǎn)由n+1擴(kuò)展成2n，防止多面體搜索空間退化.

改進(jìn)2，對(duì)邊界約束做如下自適應(yīng)處理：

式（10）中：x0,i為解 X0第 i個(gè)分量為 x0，i下限；xu0為 x0，i上限；mod為取余數(shù)函數(shù).

改進(jìn)3，為增強(qiáng)算法的全局搜索能力，在每次搜索循環(huán)后對(duì)新解產(chǎn)生一個(gè)符合柯西分布[19]的隨機(jī)擾動(dòng)后再進(jìn)入新一輪的搜索，具體如下：

式（11）、式（12）中：deltax 為柯西隨機(jī)擾動(dòng)；xl0,i為擾動(dòng)后產(chǎn)生的新解；x0l為上一輪搜索的優(yōu)化解；Cauchyrnd為柯西分布隨機(jī)函數(shù)；其中α取0，θ取1.

改進(jìn)4，為防止過度優(yōu)化和循環(huán)次數(shù)過多，將式（9）改為：

式 （13） 中：log fT0、log fl0分別為 fT0、fl0取自然對(duì)數(shù)的值，保證優(yōu)化前后的解在同一量級(jí)時(shí)就終止.

2.3 改進(jìn)SM算法對(duì)結(jié)構(gòu)冗余度的優(yōu)化

結(jié)構(gòu)冗余度初始優(yōu)化模型為：

式（14）中：f0、f0V分別為結(jié)構(gòu)冗余度、結(jié)構(gòu)體積的目標(biāo)函數(shù)；XL0、XU0分別為解空間的下、上限向量.

為使改進(jìn)后的SM算法能一次性考慮結(jié)構(gòu)冗余度優(yōu)化中的兩個(gè)目標(biāo)，對(duì)式（14）用理想點(diǎn)法將結(jié)構(gòu)冗余度最小、結(jié)構(gòu)體積最小兩個(gè)目標(biāo)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化[20]整合，得最終結(jié)構(gòu)冗余度優(yōu)化模型為：

式（15）中：min fT0為終目標(biāo)函數(shù)最小值；fT為目標(biāo)函數(shù)f0、f0V的解空間；min V為最小體積值；T為理想點(diǎn)空間；min T為理想點(diǎn)空間集；repmat為矩陣復(fù)制函數(shù)，用來得到2n個(gè)理想點(diǎn)空間.

結(jié)合式（4）～式（13）得改進(jìn) SM 算法后，再引入結(jié)構(gòu)冗余度計(jì)算式（1）～式（3）形成基于SM算法的結(jié)構(gòu)冗余度優(yōu)化算法，最后依據(jù)最終優(yōu)化模型式（15）按圖1所示流程對(duì)結(jié)構(gòu)冗余度進(jìn)行優(yōu)化.

圖1 改進(jìn)SM算法對(duì)結(jié)構(gòu)冗余度的優(yōu)化流程

3 鋼桁架橋算例分析

3.1 鋼桁架橋簡(jiǎn)化模型

取位于密執(zhí)安的Old North Park Bridge鋼桁架橋做優(yōu)化模型，橋長(zhǎng)32m，橋高5.5m，橋身由8段桁架組成，每段長(zhǎng)4 m，容許載重10 kN，桁架構(gòu)件容許應(yīng)力400 MPa，橋梁構(gòu)件分為頂梁及側(cè)、橋身弦桿、底梁三類.依照Old North Park Bridge鋼桁架橋，縮小2倍得圖2所示16節(jié)點(diǎn)29桿平面鋼桁架尺縮模型，所以桁架模型跨度16m，高2.75m，橋身8段，每段長(zhǎng)2m，容許荷載5 kN，左端固定鉸約束，右端活動(dòng)鉸約束.桿件截面規(guī)格均按《結(jié)構(gòu)用厚壁無縫鋼管表》選用，截面尺寸變量（外徑、壁厚）按連續(xù)變量處理，外徑 40～350mm，壁厚 3～15mm.構(gòu)件彈模200 GPa、泊松比0.3，為便于型鋼與圓鋼管的比較，對(duì)構(gòu)件截面做圓截面換算和回轉(zhuǎn)半徑處理，表1為Old North Park Bridge鋼桁架橋的幾何性能參數(shù).

圖2 平面鋼桁架橋有限元模型

表1 型鋼桁架橋中各種構(gòu)件的幾何性能參數(shù)

3.2 SM算法對(duì)鋼桁架橋的截面優(yōu)化

將圖2鋼桁架橋構(gòu)件截面分為頂側(cè)梁、弦桿、底梁三類截面變量，每類變量由Di、ti兩個(gè)變量組成，即每個(gè)解向量Xi0是6維的行向量.根據(jù)式（1）～式（15）的描述，得鋼桁架橋截面優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為：

式 （16） 中：fT為終目標(biāo)函數(shù)集合；Tf為結(jié)構(gòu)冗余度、體積的集合函數(shù)；T為理想點(diǎn)集合函數(shù)；logfTi為終目標(biāo)第i個(gè)分量的自然對(duì)數(shù)函數(shù)；logfli為最小終目標(biāo)第i個(gè)分量的自然對(duì)數(shù)函數(shù)；Di、ti分別為鋼管外徑、壁厚；eTol為判斂誤差限.

取反射系數(shù)reflct=1，延伸系數(shù)extd=2，縮短系數(shù)short=0.5，縮邊系數(shù)shrnk=0.5，判斂誤差限eTol=0.01.圖2鋼桁架橋在自重和各節(jié)點(diǎn)5KN容許荷載的共同作用下經(jīng)上述改進(jìn)SM算法循環(huán)優(yōu)化100次后得到圖3、圖4，表2所示結(jié)果.

由圖3、圖4可知，經(jīng)SM算法100次循環(huán)迭代后各類構(gòu)件外徑、壁厚迭代前后數(shù)值趨于一致，即得到了滿足終目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)件最優(yōu)外徑、壁厚解.

圖3 構(gòu)件壁厚均值優(yōu)化趨勢(shì)

圖4 構(gòu)件外徑均值優(yōu)化趨勢(shì)

表2 SM算法對(duì)構(gòu)件截面優(yōu)化設(shè)計(jì)所得結(jié)果

對(duì)比表1和表2可知：文中提的改進(jìn)SM算法設(shè)計(jì)出的截面優(yōu)化構(gòu)件所組成的鋼桁架橋比之前按承載力設(shè)計(jì)的鋼桁架橋的用鋼量少了0.0119m3；依照《混凝土規(guī)范》中長(zhǎng)細(xì)比與穩(wěn)定系數(shù)、構(gòu)件承載力成反比的關(guān)系，優(yōu)化后作為主要承載構(gòu)件底梁的回轉(zhuǎn)半徑明顯增大，即優(yōu)化后橋梁的穩(wěn)定性也有所提高.其中對(duì)結(jié)構(gòu)冗余度布置的優(yōu)化效果如圖5所示.

對(duì)比圖 5（a）、圖 5（b）中結(jié)構(gòu)冗余度標(biāo)準(zhǔn)差基準(zhǔn)線的取值可知：經(jīng)改進(jìn)SM算法優(yōu)化后，結(jié)構(gòu)冗余度標(biāo)注差明顯減小 （即經(jīng)改進(jìn)SM算法優(yōu)化后，鋼桁架橋各構(gòu)件間冗余度的布置更加均勻）；對(duì)比構(gòu)件1～16所對(duì)應(yīng)的關(guān)鍵構(gòu)件底梁和頂側(cè)梁的冗余度分布可知：文中所提的改進(jìn)SM算法對(duì)關(guān)鍵構(gòu)件的冗余度均勻布置效果更加明顯.

4 Abaqus對(duì)優(yōu)化結(jié)果的分析驗(yàn)證

按表2所示優(yōu)化后的截面特性，將鋼桁架橋在Abaqus中建模，并將表1經(jīng)過圓截面換算和回轉(zhuǎn)半徑處理后的未優(yōu)化的鋼桁架作為對(duì)照組，通過二者的仿真分析結(jié)果做鋼桁架橋的強(qiáng)度、剛度對(duì)比分析，結(jié)果如圖6、圖7所示.其中強(qiáng)度按第一強(qiáng)度準(zhǔn)則，以容許應(yīng)力400 MPa作為判別標(biāo)準(zhǔn)；剛度參照《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范》[21]選取跨度的1/400作為判別標(biāo)準(zhǔn)，故文中容許擾度值為40 mm.

圖5 鋼桁架橋經(jīng)改進(jìn)SM算法優(yōu)化前后的冗余度分布圖

圖6 鋼桁架橋經(jīng)改進(jìn)SM算法優(yōu)化前后的應(yīng)力分布云圖

圖7 鋼桁架橋經(jīng)改進(jìn)SM算法優(yōu)化前后的位移分布云圖

從圖6（b）可知，經(jīng)改進(jìn)的SM算法設(shè)計(jì)所得鋼桁架橋除非主要受力的頂側(cè)梁外，其他構(gòu)件應(yīng)力分布都比較均勻，其中主要承受橋面板與汽車動(dòng)力荷載的受拉底梁相比其他構(gòu)件而言，承載能力得到了增強(qiáng)，應(yīng)力最大值93.81 MPa明顯小于構(gòu)件容許應(yīng)力400 MPa，即經(jīng)SM算法設(shè)計(jì)所得鋼桁架橋滿足強(qiáng)度要求.從圖7（b）可知，經(jīng)SM算法設(shè)計(jì)所得鋼桁架橋符合簡(jiǎn)支梁的彎曲特點(diǎn)，其中最大擾曲點(diǎn)（底梁中點(diǎn)）位移值8.562mm明顯小于容許擾度值40mm，即經(jīng)文中所提的改進(jìn)SM算法截面優(yōu)化設(shè)計(jì)所得的鋼桁架橋滿足剛度要求.

對(duì)比圖 6（a）和圖 6（b）知，經(jīng) SM 算法優(yōu)化設(shè)計(jì)所得鋼桁架橋明顯比未經(jīng)SM算法優(yōu)化的按構(gòu)件承載力設(shè)計(jì)所得結(jié)構(gòu)應(yīng)力分布要均勻，特別是底梁這種承受橋面荷載的關(guān)鍵構(gòu)件不會(huì)出現(xiàn)應(yīng)力分布不均的現(xiàn)象；從兩圖中最大應(yīng)力值可知，經(jīng)SM算法優(yōu)化設(shè)計(jì)后所得的結(jié)構(gòu)在獲得較小用鋼量的同時(shí)，雖對(duì)頂側(cè)梁承載力有所削弱但并不影響結(jié)構(gòu)整體的承載力，反而使得關(guān)鍵構(gòu)件得到了增強(qiáng)，得到了一種更為合理的結(jié)構(gòu)受力模式.對(duì)比圖7（a）和圖7（b）知，文中提出的基于結(jié)構(gòu)冗余度的改進(jìn)SM算法做鋼桁架橋的截面設(shè)計(jì)與按傳統(tǒng)的按構(gòu)件承載力做結(jié)構(gòu)的截面設(shè)計(jì)方法一樣，變形形式都滿足簡(jiǎn)支梁的變形特點(diǎn)，雖然經(jīng)SM算法截面優(yōu)化所得鋼桁架橋的最大位移有所增加，但與按傳統(tǒng)的承載力設(shè)計(jì)方法所得結(jié)構(gòu)的位移在同一個(gè)量級(jí)（差值在毫米范圍），都滿足結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)所需的剛度要求.通過上述對(duì)比表明：本文所提的基于結(jié)構(gòu)冗余度的改進(jìn)SM算法在鋼桁架橋截面設(shè)計(jì)上可行.

5 結(jié) 論

文中通過引入結(jié)構(gòu)冗余度、SM算法改進(jìn)、實(shí)例計(jì)算和有限元軟件的仿真分析，表明了本文提出的基于結(jié)構(gòu)冗余度的改進(jìn)SM算法在考慮結(jié)構(gòu)整體性能后的截面優(yōu)化設(shè)計(jì)方法對(duì)于鋼桁架橋截面設(shè)計(jì)的有效性，并得出如下結(jié)論：

1）基于響應(yīng)敏感性的結(jié)構(gòu)冗余度能有效地反映結(jié)構(gòu)的整體承載力，為結(jié)構(gòu)整體性能的優(yōu)化提供結(jié)構(gòu)層面的一個(gè)優(yōu)化量.

2）結(jié)構(gòu)冗余度在SM算法中的引入，使得做截面優(yōu)化的同時(shí)能充分考慮到結(jié)構(gòu)的受力、變形、穩(wěn)定性等因素，為優(yōu)化變量的減少提供了途徑.

3）文中提出的基于結(jié)構(gòu)冗余度的改進(jìn)SM算法跟傳統(tǒng)的按構(gòu)件承載力設(shè)計(jì)方法一樣，對(duì)鋼桁架橋的截面優(yōu)化設(shè)計(jì)同樣適用，并且能在滿足設(shè)計(jì)所需的強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性要求的同時(shí)獲得結(jié)構(gòu)的較小用鋼量.