橋梁非線性動(dòng)力響應(yīng)方法及volterra級(jí)數(shù)非線性方法探討

冉晴 扈小云 扈玥昕

摘 要：強(qiáng)震下橋梁的破壞和倒塌，造成的人員傷亡和經(jīng)濟(jì)社會(huì)效益是不容忽視的；另一方面，隨著橋梁結(jié)構(gòu)體系越來越復(fù)雜和延性抗震設(shè)計(jì)理念的轉(zhuǎn)變，都使得橋梁非線性抗震驗(yàn)算越來越受到工程師的重視。本文回顧了橋梁非線性動(dòng)力學(xué)問題的發(fā)展，總結(jié)了目前橋梁非線性抗震驗(yàn)算方法的優(yōu)、缺點(diǎn)，著眼于非線性系統(tǒng)理論及最新成果，通過volterra級(jí)數(shù)在非線性系統(tǒng)理論中的成果，探討了volterra級(jí)數(shù)在橋梁工程的運(yùn)用的可行性及優(yōu)越性，并提出了volterra級(jí)數(shù)運(yùn)用于橋梁結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵性問題。

關(guān)鍵詞：橋梁；非線性動(dòng)力學(xué)；volterra級(jí)數(shù)；非線性頻率響應(yīng)函數(shù)

Abstract： The next earthquake damage and collapsed bridges caused casualties and economic and social benefits that can not be ignored； hand， with the bridge structure system more complex and changing ductility seismic design philosophy that have made non-linear bridge seismic checking more and more attention of engineers. This paper reviews the development of the nonlinear dynamics of the bridge， the bridge excellent summary of the current method of nonlinear seismic check， disadvantages， focusing on non-linear system theory and the latest results， outcomes through volterra series of nonlinear systems theory to explore volterra progression in the use of the bridge project feasibility and superiority， and made a series of key questions volterra applied to the bridge structure.

Keywords： bridge； nonlinear dynamics； volterra series； nonlinear frequency response function

1.引言

我國廣闊、復(fù)雜的地貌，造就了多山多河的地形，為了方便人們的出行，橋梁作為可以跨谷跨河的工程結(jié)構(gòu)物得到了廣闊的發(fā)展。其中橋梁動(dòng)力學(xué)問題分析作為橋梁分析中重要的一環(huán)，關(guān)系到橋梁功能的正常使用和生命財(cái)產(chǎn)安全，被研究學(xué)者和設(shè)計(jì)工程師重點(diǎn)關(guān)注著。在2008年我國汶川8.0級(jí)地震，有24條高速公路、6140座橋梁受損，導(dǎo)致了69225人遇難，4600多萬人受災(zāi)[1]，造成難以估計(jì)的損失。只進(jìn)行橋梁線性動(dòng)力分析已經(jīng)不滿足需求，因此破壞性地震下橋梁的非線性動(dòng)力驗(yàn)算愈來愈得到工程人員的重視。另一方面，現(xiàn)代橋梁體系延性設(shè)計(jì)的理念的轉(zhuǎn)變、減隔震支座的采用和大量大跨橋梁復(fù)雜新體系的出現(xiàn)，都決定著橋梁非線性動(dòng)力響應(yīng)分析的必要性。

2.橋梁非線性動(dòng)力響應(yīng)發(fā)展

經(jīng)過了各界研究學(xué)者的1個(gè)多世紀(jì)的探索，從1900年日本提出的采用靜力等效力來模擬地震力，到現(xiàn)代能夠比較完整的考慮地震三大主要效應(yīng)（峰值、頻率、持時(shí)）的時(shí)域分析方法和頻域分析方法，對(duì)結(jié)構(gòu)地震動(dòng)力的線性響應(yīng)考慮也愈趨細(xì)致。非線性動(dòng)力響應(yīng)不再滿足疊加原理，表現(xiàn)為非常復(fù)雜的力學(xué)行為，如分叉、混沌現(xiàn)象。這些理論和計(jì)算遠(yuǎn)遠(yuǎn)不理想，本文并不探討。本文主要探討橋梁弱非線性的動(dòng)力響應(yīng)。

2.1非線性模型的發(fā)展

各界工程師通過對(duì)非線性的反應(yīng)的分析，提出了各種非線性模型模擬非線性激勵(lì)和響應(yīng)關(guān)系。對(duì)于土木結(jié)構(gòu)，材料、隔震支座的屈服、構(gòu)件間的摩擦等都表現(xiàn)出遲滯的效益，計(jì)算相應(yīng)的非線性動(dòng)力響應(yīng)，往往選擇帶有遲滯恢復(fù)力的模型：如雙線性模型、Ramberg-Osgood模型、分布彈塑性元件模型及Bouc-wen的輔助微分模型等，以這些模型為基礎(chǔ)發(fā)展出橋梁工程結(jié)構(gòu)常用的理想彈塑性模型、三線性模型、半經(jīng)驗(yàn)骨架模型、纖維模型等等。計(jì)算方法以分析得到的結(jié)果和目標(biāo)分為確定性分析和隨機(jī)分析。

2.2確定性方法及發(fā)展

這種方法將地震對(duì)橋梁結(jié)構(gòu)的作用根據(jù)歷史統(tǒng)計(jì)規(guī)律或者其他規(guī)律具體為某一特定的作用力，因此忽略地震的隨機(jī)性和不可重復(fù)性。由于這種方法對(duì)各種非線性模型有很強(qiáng)的適應(yīng)性，特別是非線性時(shí)程分析，隨著數(shù)值計(jì)算的發(fā)展，這種方法廣泛運(yùn)用，橋梁主要的計(jì)算軟件MIDAS、ANSYS等可以準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)了對(duì)這類方法的計(jì)算。例如非線性反應(yīng)譜方法、poshover分析和非線性時(shí)程分析方法。前者屬于頻域分析，地震反應(yīng)譜來源于大量的歷史統(tǒng)計(jì)資料和理論方法進(jìn)行擴(kuò)充，相對(duì)于彈性反應(yīng)譜適應(yīng)性其很小，不同的非線性模型，即使相同地震動(dòng)所對(duì)應(yīng)的反應(yīng)譜曲線也不相同。其次，非線性體系不滿足疊加原理，多自由度的組合仍然是十分困難的問題。但由于工程結(jié)構(gòu)抗震并不要求過分精確的結(jié)構(gòu)，這種方法對(duì)能對(duì)動(dòng)力特征和地震統(tǒng)計(jì)規(guī)律有較好的體現(xiàn)，所以不少學(xué)者對(duì)此方法進(jìn)行深入研究。學(xué)者公茂盛、翟長海等人基于大量強(qiáng)震記錄，研究了場地條件、延性系數(shù)、震級(jí)及距離等參數(shù)對(duì)非彈性反應(yīng)譜的影響，給出了四類場地條件下的平均等延性地震抗力譜[2]，及非彈性反應(yīng)譜衰減規(guī)律[3]，其成果可供抗震研究和設(shè)計(jì)直接應(yīng)用；王豐、李宏男等人考慮了地震動(dòng)方向的影響建立了基于統(tǒng)計(jì)的強(qiáng)度折減系數(shù)設(shè)計(jì)譜[4]；其他學(xué)者關(guān)于非線性反應(yīng)譜的研究也考慮強(qiáng)度折減系數(shù)、近場效應(yīng)、多自由度體系效應(yīng)、結(jié)構(gòu)超強(qiáng)等方面的影響，這里不再贅述。poshover分析，即能力譜分析和需求譜分析、推導(dǎo)分析，是擬靜力的分析，通過計(jì)算結(jié)構(gòu)基底剪力與頂點(diǎn)位移關(guān)系曲線進(jìn)行性能點(diǎn)計(jì)算結(jié)合非彈性反應(yīng)譜達(dá)到橋梁抗震分析的目的。國內(nèi)外學(xué)者提出了多種能力譜方法，如ATC-40能力譜方法、Chopra改進(jìn)能力譜方法、Fajfar改進(jìn)能力譜方法、潘龍改進(jìn)能力譜方法等，提高了適應(yīng)性和精度，幾種采用方法的對(duì)比，可以參見文獻(xiàn)[5]。非線性動(dòng)力時(shí)程方法是幾種方法中適應(yīng)性最廣，計(jì)算較為準(zhǔn)確的方法，能夠適應(yīng)于各種非線性模型，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)和非線性數(shù)值積分的發(fā)展，這種方法得以實(shí)現(xiàn)，現(xiàn)在能用于各種有限元軟件，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)力時(shí)程計(jì)算。這種方法基本原理是基于脈沖響應(yīng)函數(shù)瞬態(tài)積分，并通過計(jì)算結(jié)果改變參數(shù)。這種方法因?yàn)橛?jì)算結(jié)果比較準(zhǔn)確，又有有限元軟件支持，是最常用的研究手段，大量文獻(xiàn)可供參考，不再列出。

2.3隨機(jī)方法的發(fā)展

這類方法所得出的結(jié)果是響應(yīng)統(tǒng)計(jì)值，并可以進(jìn)而計(jì)算某一情況下的破壞概率分析。隨機(jī)理論出現(xiàn)于較早，但主要發(fā)展與20世紀(jì)50年代，70年代趨于采用成熟。Rayleigh于1919年第一次提出隨機(jī)振動(dòng)的概率。在地震工程中對(duì)地震動(dòng)經(jīng)常采用平穩(wěn)化遍歷隨機(jī)過程描述，即隨機(jī)變量統(tǒng)計(jì)特征都與時(shí)間無關(guān)，使得不少統(tǒng)計(jì)學(xué)理論得以運(yùn)用。1930年，著名控制理論學(xué)家Winer在他的著作中首次精確定義了一個(gè)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)，并把譜分析建立在隨機(jī)過程統(tǒng)計(jì)特征的基礎(chǔ)上，并定義功率譜密度為頻域的連續(xù)函數(shù)。功率譜的方法由于概念清晰和并且線性結(jié)構(gòu)多激勵(lì)等數(shù)學(xué)的解決得到了比較廣泛的運(yùn)用，其基于頻譜方法的激勵(lì)與響應(yīng)反映地震頻率成分和結(jié)構(gòu)動(dòng)力的特性，能夠計(jì)算可靠度，很好的的補(bǔ)充確定性分析的缺點(diǎn)。因此，國內(nèi)外少學(xué)者相續(xù)提出了不少功率譜密度曲線模型和功率譜估計(jì)的方法。首先提出的是在整個(gè)頻域內(nèi)能量均勻分布的白噪聲模型。隨后巴爾斯坦、金井清和田治洪分別提出的過濾白噪聲模型，將地表土層看做是濾波器，并假定功率譜為經(jīng)過土層過濾的白噪聲，隨后我國學(xué)者提出雙過濾白噪聲，它們的參數(shù)跟土層的特征周期和阻尼比相關(guān)。這些功率譜密度模型理論上對(duì)于線性和非線性都可以用，但是由于目前非線性求解方法的計(jì)算難度大，大部分功率譜密度模型無法適應(yīng)。其他方法還包括，等效線性化法和等效非線性法、FPK方程法、攝動(dòng)法、矩函數(shù)截?cái)喾ā㈦S機(jī)平均法等[6、7]。等效線性化法將由Caughey提出，轉(zhuǎn)化策略是使非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)在隨機(jī)激勵(lì)下平均誤差最小，求解問題歸結(jié)為求解擴(kuò)階的Lyapunov方程，求解困難。我國學(xué)者林家浩首創(chuàng)的虛擬激勵(lì)法[8]簡化了計(jì)算，特別是多自由度計(jì)算效率很高，但是外激勵(lì)僅限于白噪聲或過濾白噪聲。FPK方程式非線性振動(dòng)分析最嚴(yán)密的方法，但是求解條件苛刻能解決問題不多，基本局限于單自由度；矩函數(shù)截?cái)喾ɑ陧憫?yīng)為高斯分布的假設(shè)來求解非線性系統(tǒng)的反應(yīng)矩，但是計(jì)算復(fù)雜難以推廣。這些方法都面臨計(jì)算復(fù)雜，計(jì)算成本高，多自由度計(jì)算困難等等問題，不能領(lǐng)人滿意。另外，Monte Carlo數(shù)值模擬法由于計(jì)算特別費(fèi)時(shí)，極少被直接運(yùn)用而是檢驗(yàn)的手段。

3.volterra級(jí)數(shù)及非線性動(dòng)力學(xué)運(yùn)用

對(duì)于非線性系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)，上述方法都并不令人滿意，不少學(xué)者將目光轉(zhuǎn)向了數(shù)學(xué)領(lǐng)域。至上世紀(jì)初，Volterra首次提出了將一階線性積分向多維進(jìn)行了擴(kuò)展，即volterra級(jí)數(shù)。從泛函的角度上看，可以認(rèn)為volterra級(jí)數(shù)是泰勒級(jí)數(shù)的廣義形式。1959年MIT學(xué)者Geoge，提出了非線性頻率響應(yīng)函數(shù)的概念，并將各階次Volterra級(jí)數(shù)核函數(shù)的多維傅里葉變換定義為廣義頻率響應(yīng)函數(shù)（GFRF）。Barrett最早引入了到非線性動(dòng)力微分方程的求解。volterra級(jí)數(shù)的各階核函數(shù)與激勵(lì)無關(guān)，時(shí)域核和頻域核分別表示各階脈沖響應(yīng)函數(shù)和頻率響應(yīng)函數(shù)，具有明確的物理意義。由此引入volterra級(jí)數(shù)的非線性振動(dòng)理論開啟了新篇章。Rice和 Bedrosian研究了諧波和高斯噪聲下的Volterra系統(tǒng)的非線性頻響函數(shù)[9]；Bussagan和他的同事將該方法推廣到多激勵(lì)系統(tǒng)研究[10]；Z.K.Peng等學(xué)者研究了多自由度多個(gè)非線性變量的Volterra級(jí)數(shù)的頻響函數(shù)[11]；Billings和Peyton提出一種基于諧波探測(cè)的遞推方法來計(jì)算給定動(dòng)力方程的非線性系統(tǒng)廣義頻響函數(shù)并推廣到多自由度[12、13]。S.A.Billing與其合作者首創(chuàng)性的提出NARMAX離散時(shí)間模型[14、15]，該方法相較與Volterra級(jí)數(shù)的降低了參數(shù)辨識(shí)量，不少學(xué)者對(duì)其大量研究，并且這種方法可以對(duì)黑箱系統(tǒng)辨識(shí)為提供非線性系統(tǒng)辨識(shí)了方便；Wael Suleiman提出基于梯度下降法有限自由度非線性系統(tǒng)volterra級(jí)數(shù)的在線辨識(shí)新方法[16]。隨著volterra級(jí)數(shù)理論在非線性動(dòng)力系統(tǒng)。這些研究為volterra級(jí)數(shù)對(duì)實(shí)際工程的運(yùn)用打下基礎(chǔ)，文獻(xiàn)[17]運(yùn)用volterra級(jí)數(shù)研究了汽車?yán)锏腗onroe-McPherson支撐緩沖器，并取得了理想結(jié)果。S.A.Billing運(yùn)用NARMAX模型對(duì)描述波浪力的莫里森方程進(jìn)行辨識(shí)，并運(yùn)用辨識(shí)結(jié)果推出了相應(yīng)volterra的頻率核函數(shù)[18]。特別的，根據(jù)Weierstrass逼近理論，在封閉有界限區(qū)間上，任何連續(xù)函數(shù)都能用多項(xiàng)式函數(shù)對(duì)其進(jìn)行任意精度的逼近，實(shí)際中大部分非線性系統(tǒng)都能用光滑非線性微分方程[19]來表示，擴(kuò)展了volterra級(jí)數(shù)的運(yùn)用范圍，只有求出該方程根據(jù)諧波探測(cè)法能輕易求出volterra級(jí)數(shù)。至今，經(jīng)過各界學(xué)者共同努力，雙線性模型、Ramberg-Osgood模型等遲滯系統(tǒng)的volterra/wiener核函數(shù)辨識(shí)方法得到大量研究并發(fā)展[20]。即使是比較復(fù)雜的遲滯模型，如Bouc-wen輔助微分模型，雖然尚未求出相應(yīng)volterra級(jí)數(shù)核函數(shù)，但是單自由度NARX模型辨識(shí)得到了較理想結(jié)果[21]。文獻(xiàn)[22]推導(dǎo)了多芬非線性系統(tǒng)的功率譜理論解，并進(jìn)行數(shù)值模擬，文中還利用volterra級(jí)數(shù)對(duì)簡單鋼橋模型進(jìn)行非線性檢測(cè)。

4.展望

通過對(duì)橋梁非線性動(dòng)力響應(yīng)方法的回顧，可以看出非線性動(dòng)力時(shí)程方法計(jì)算結(jié)果比較準(zhǔn)確且軟件實(shí)現(xiàn)容易，但是時(shí)域方法無法看出結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性。對(duì)于確定性方法無論是時(shí)域分析還是頻域分析都忽略了地震荷載的隨性性和不可重復(fù)性，對(duì)橋梁工程抗震的指導(dǎo)意義并不完善。而現(xiàn)有的隨機(jī)方法假設(shè)較多，條件要求苛刻，可用隨機(jī)激勵(lì)模型少，并且都面臨著計(jì)算比較困難，特別對(duì)于多自由度計(jì)算結(jié)果不理想。volterra級(jí)數(shù)運(yùn)用于非線性系統(tǒng)理論雖然有很多問題尚未解決，如收斂性問題，但是其核函數(shù)在時(shí)域和頻域分別具有高階脈沖響應(yīng)函數(shù)和高階頻率響應(yīng)函數(shù)的物理意義，剔除了不同激勵(lì)對(duì)非線性結(jié)構(gòu)的影響，反應(yīng)了系統(tǒng)的非線性動(dòng)力特性，理論上能夠適應(yīng)于各種求解方法和目標(biāo)，特別是非線性頻響函數(shù)擴(kuò)展了功率譜在非線性系統(tǒng)的運(yùn)用，為工程抗震帶來很大的意義。因此，將volterra級(jí)數(shù)運(yùn)用于橋梁結(jié)構(gòu)抗震分析具有廣闊的前景和價(jià)值。然而為了能順利將volterra級(jí)數(shù)引入橋梁非線性動(dòng)力響應(yīng)，首先要解決一下幾個(gè)問題：

（1）比較復(fù)雜的遲滯模型的volterra核函數(shù)求解。比如反應(yīng)材料屈服、支座摩擦等的遲滯模型往往含有絕對(duì)值、三角函數(shù)或是反應(yīng)出強(qiáng)烈的非多項(xiàng)式非線性特征。

（2）volterra級(jí)數(shù)對(duì)多激勵(lì)多響應(yīng)系統(tǒng)的完善和簡化。因?yàn)闃蛄航Y(jié)構(gòu)的特殊性，常常因?yàn)閳龅匦б?、行波效益等使得各橋墩激?lì)不同或是存在時(shí)間差的地震力，并且需要同時(shí)響應(yīng)多處目標(biāo)響應(yīng)；

（3）volterra級(jí)數(shù)多自由度功率譜的計(jì)算。

這些問題的解決，能夠用volterra級(jí)數(shù)非線性模型引入橋梁抗震驗(yàn)算方法就進(jìn)行計(jì)算，從而為橋梁抗震驗(yàn)算提供更多的信息，為工程實(shí)際提供可貴的指導(dǎo)。

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