聲波方程參數(shù)化模式及多參數(shù)全波形反演去耦合化策略

何兵紅,方伍寶,胡光輝,劉定進,孫思宇

(1.中國石油化工股份有限公司石油物探技術(shù)研究院,江蘇南京211103;2.中國石油大學(北京),北京102249)

隨著計算機硬件的發(fā)展和高性能計算能力的提高,基于波動理論的地震全波形反演逐步成為研究熱點[1]。全波形反演充分利用了地震數(shù)據(jù)的運動學特征和動力學特征,得到較高分辨率的速度模型,從而提高地震成像精度[2-5]。隨著全波形反演研究的不斷深入,多參數(shù)全波形反演輔助儲層預測成為新的研究方向[6-9]。目前理論研究主要聚焦于彈性介質(zhì)多參數(shù)全波形反演[10-13],但是由于當前采集得到的地震數(shù)據(jù)以縱波為主,且在應用推廣中彈性波全波形反演受計算能力和存儲能力的限制而難以有所突破[14-16],因而有必要開展聲波方程的多參數(shù)全波形反演研究。

多參數(shù)間的耦合是聲波方程多參數(shù)全波形反演面臨的最主要問題之一。JANNANE等[17]討論了L2范數(shù)下目標函數(shù)與長波長、中波長和短波長擾動之間的關(guān)系。但是該研究存在一定的局限,主要問題是最大偏移距只有1760m,限制了長波長的反演。ZHOU[18]等在速度-阻抗參數(shù)化模式下先固定阻抗值,利用潛波建立低波數(shù)速度場,再固定速度值,利用反射波進行高波數(shù)阻抗反演。董良國等[19]則通過變密度聲波方程討論了不同地震數(shù)據(jù)子集對應的目標函數(shù)隨物性變化的非線性特征,提出了分步驟、分尺度的多參數(shù)全波形反演方案。張廣智等[20-21]依靠初始模型對速度-密度進行順序反演。YANG等[22-23]研究了聲波方程中密度-速度參數(shù)化模式下的參數(shù)耦合現(xiàn)象,并給出了分偏移距的反演策略。石玉梅等[24]采用頻率域單程聲波延拓法進行波場模擬并反演得到地層密度和體積模量,提高了氣藏成像的準確性。

因多參數(shù)全波形反演中目標函數(shù)的非線性源自波動方程的非線性,故需對波場產(chǎn)生機制進行理論分析,進而為多參數(shù)全波形反演提供理論指導。本文首先利用格林函數(shù)積分求解波動方程,在線性近似條件下推導了地震波振幅在6種參數(shù)化模式下(模量-密度、速度-密度、阻抗-密度、阻抗-速度、模量-速度、模量-阻抗)的敏感核函數(shù);然后研究了不同參數(shù)化模式下參數(shù)擾動的輻射模式;再從理論上分析了波場隨參數(shù)擾動的角度變化特征,對比了6種參數(shù)化下模式參數(shù)耦合特性,并提出了針對不同參數(shù)化模式的多參數(shù)全波形反演弱耦合化策略;最后進行了數(shù)值實驗分析。

1 聲波方程多參數(shù)耦合模式

1.1 速度-密度參數(shù)化模式

地震正演是地震反演的基礎(chǔ)。聲波方程正演通常不考慮介質(zhì)密度的變化,只采用速度來描述地下介質(zhì)的物性。但實際地層中,密度也是重要的物性參數(shù),同時介質(zhì)的變化通常伴隨著密度的變化?？紤]時間域變密度聲波方程為:

(1)

式中:v(x)為速度;ρ(x)為密度;P(x,t)為壓力場;f(x,t)為時間域震源;xs為震源位置坐標,δ(x-xs)表示將震源置于坐標點xs處。

根據(jù)介質(zhì)的擾動理論,總介質(zhì)(m)可以分為背景介質(zhì)(m0)和擾動介質(zhì)(δm),其中,m=m0+δm,對應的總波場(P)可以分解為背景波場(P0)和擾動波場(δP),其中,P=P0+δP。在背景介質(zhì)中產(chǎn)生的背景波場滿足波動方程:

(2)

式中:ρ0(x),v0(x)分別為背景密度和背景速度。其中,

(3)

擾動波場滿足方程:

(4)

式中:ζ(x,t)為虛震源;P(x,t)為壓力場,在Born近似條件下,背景波場遠遠大于擾動波場,虛震源項可以近似為:

(5)

式中:P0(x,ω)為背景波場。擾動波場對應的積分解可以用對應方程的格林函數(shù)G0(r,t;x)表示:

(6)

式中:P0(x,t)為背景波場。

在頻率域,卷積項對應于乘積項,各個參數(shù)統(tǒng)一用模型的相對變化量δm/m表示,(6)式可以表示為:

(7)

整理(7)式可以得到速度相對擾動量和密度相對擾動量引起的波場擾動:

(8)

其中,Kvρ-v(x)和Kvρ-ρ(x)分別為速度項和密度項在速度-密度參數(shù)化模式下的敏感核函數(shù):

速度敏感核函數(shù)Kvρ-v(x)表示地球介質(zhì)用速度和密度表示時速度的相對變化量產(chǎn)生的擾動波場的強度。同理,密度敏感核函數(shù)Kvρ-ρ(x)表示在速度-密度參數(shù)化模式下密度的相對變化量產(chǎn)生的擾動波場的強度。

當用不同的參數(shù)化模式描述地球介質(zhì)時,各個參數(shù)的敏感核函數(shù)具有不同的特征。聲波方程常用的4種參數(shù)化模式包含速度-密度、模量-密度、阻抗-密度和阻抗-速度。本文又擴展了模量-速度、阻抗-模量兩種參數(shù)化模式。我們從最常用的速度-密度聲波方程出發(fā)推導了6種參數(shù)化模式的敏感核函數(shù)。

1.2 模量-密度參數(shù)化模式

當采用體積模量和密度對地球介質(zhì)進行模型參數(shù)化時,在Born近似條件下,總擾動波場是體積模量和密度相對變化量引起的擾動波場的線性疊加。

(11)

在弱擾動條件下,存在如下關(guān)系:

(12)

在速度-密度和模量-密度兩種參數(shù)化模式下總波場擾動量相等,故有:

(13)

因此,可以得到模量-密度參數(shù)化模式下模量和密度的敏感核函數(shù):

1.3 其它參數(shù)化模式

依據(jù)模量-密度參數(shù)化模式下敏感核函數(shù)推導流程,可以得到其它4種參數(shù)化模式的敏感核函數(shù)。

1) 阻抗-密度參數(shù)化模式下阻抗和密度的敏感核函數(shù):

(16)

(17)

2) 阻抗-速度參數(shù)化模式下阻抗和速度的敏感核函數(shù):

(18)

(19)

3) 模量-速度參數(shù)化模式下模量和速度的敏感核函數(shù)為:

(20)

(21)

4) 模量-阻抗參數(shù)化模式下模量和阻抗的敏感核函數(shù):

(22)

(23)

本部分只給出這4種參數(shù)化模式下敏感核函數(shù)的解析表達式,敏感核函數(shù)的物理意義將在下一部分結(jié)合參數(shù)輻射模式進行闡述。

2 參數(shù)輻射模式及全波形反演策略

經(jīng)過推導得到了不同參數(shù)化模式下擾動介質(zhì)對擾動場的貢獻量,同時因為介質(zhì)的擾動存在一定的角度特征,所以根據(jù)不同參數(shù)化模式下的敏感核函數(shù)得到各種擾動介質(zhì)對波場貢獻量及角度特征,并制定了多參數(shù)全波形反演策略。

在三維介質(zhì)中,存在關(guān)系式:

(24)

式中:θ為入射波和散射波之間的夾角。

因此速度-密度參數(shù)化模式下密度的敏感核函數(shù)可以表示為:

(25)

結(jié)合密度的敏感核函數(shù)表達式(10),得到速度和密度的輻射模式表達形式:

(26)

同理,我們可以分別得到其它參數(shù)化模式下的輻射模式表達式:

將垂直向下的方向視作入射方向,利用輻射模式的表達式得到空間各個方向的散射波能量。在各向同性介質(zhì)中,任意兩個垂直方向的平面內(nèi)擾動參數(shù)的輻射模式具有完全等價性。

圖1中箭頭表示波的傳播方向,入射波和反射波夾角為θ,反射波與x軸的夾角為φ。為了清楚地表示各參數(shù)的輻射模式,我們將依次展示單個垂直剖面內(nèi)(φ=135°)的各個參數(shù)的輻射情況。

圖1 地震波入射反射示意

圖2a中速度輻射為標準的圓形,表明速度擾動引起的波場擾動在各個方向上振幅大小一樣。圖2b 中,密度擾動引起的波場擾動隨著反射角的增大而減小。在小角度范圍內(nèi)相同的速度和密度相對擾動量引起的波場擾動量相當,因此僅依靠小角度地震數(shù)據(jù)難以區(qū)分速度和密度。因大角度地震數(shù)據(jù)主要由速度擾動產(chǎn)生,故可以通過大角度地震數(shù)據(jù)實現(xiàn)速度反演。全波形反演策略為先通過大角度地震數(shù)據(jù)反演速度,再利用小角度地震數(shù)據(jù)同時反演速度和密度。

圖3為速度-密度模式下,波動方程數(shù)值模擬計算得到的擾動波場。背景速度和密度分別為3500m/s,2300kg/m3,擾動點位于模型的中心,擾動速度值為背景值的80%。炮點置于地表中心位置,位于擾動點正上方(本文中出現(xiàn)的6種參數(shù)化模式下的擾動波場的擾動點位置與圖3完全相同,且采用了同樣的觀測方式)。由圖3可知,在速度和密度相對擾動量相同的前提下,擾動引起的小角度波場擾動量基本一致,而密度擾動引起的大角度波場擾動量逐漸變?nèi)?這與圖2中的分析結(jié)果完全一致。

圖2 φ=135°時速度-密度輻射情況a 速度;b 密度

圖3 速度-密度模式下擾動波場a 速度擾動引起的擾動波場;b 密度擾動引起的擾動波場

圖4a中模量輻射為圓形,表明模量擾動對波場擾動的貢獻量在各個方向上相等。圖4b中密度擾動對波場擾動的貢獻量隨著角度的增加先減小后增加,大角度的地震數(shù)據(jù)并不能解決模量和密度之間的耦合。當θ為90°時密度的改變量對擾動場的貢獻為零(圖5),可以先利用中角度地震數(shù)據(jù)先反演模量,然后利用小角度和大角度地震數(shù)據(jù)同時反演模量和密度。

圖6為阻抗-密度輻射情況,阻抗擾動對擾動場的貢獻量在各個方向相等,密度擾動在θ為小角度時對擾動場的貢獻很小,相同的密度相對擾動量在θ為大角度時和阻抗相對擾動量對擾動波場的貢獻量相當(圖7)。對于阻抗-密度模式,可以先利用小角度地震數(shù)據(jù)實現(xiàn)阻抗反演,再利用大角度地震數(shù)據(jù)進行阻抗和密度的同時反演。

圖8為阻抗-速度輻射情況,可以看出,阻抗擾動對小角度地震數(shù)據(jù)的擾動波場貢獻較大,對大角度地震數(shù)據(jù)的擾動波場貢獻較小。與此相反,速度擾動對大角度地震數(shù)據(jù)的擾動波場貢獻較大,而對小角度地震數(shù)據(jù)的擾動波場貢獻較小。圖9中數(shù)值模擬計算結(jié)果驗證了圖8推導結(jié)果的正確性,可以首先利用大角度地震數(shù)據(jù)進行速度反演,再利用小角度地震數(shù)據(jù)進行阻抗反演。

圖10為模量-速度輻射模式,模量擾動主要引起小角度的擾動波場,在該參數(shù)化模式下,速度擾動對大角度和小角度擾動波場貢獻較大,圖11驗證了該結(jié)論。圖12為模量-阻抗輻射模式,模量擾動主要引起大角度的擾動波場,在這種參數(shù)化模式下,阻抗擾動對大角度和小角度擾動波場貢獻較大,對中角度的擾動波場貢獻較小。圖13進一步驗證了該結(jié)論。

圖4 φ=135°時模量-密度輻射情況a 模量;b 密度

圖5 模量-密度模式下擾動波場a 模量擾動引起的擾動波場;b 密度擾動引起的擾動波場

圖6 φ=135°時阻抗-密度輻射情況a 阻抗;b 密度

圖8 φ=135°時阻抗-速度輻射情況a 阻抗;b 速度

圖9 阻抗-速度模式下擾動波場a 阻抗擾動引起的擾動波場;b 速度擾動引起的擾動波場

圖10 φ=135°時模量-速度輻射情況a 模量;b 速度

圖11 模量-速度模式下擾動波場a 模量擾動引起的擾動波場;b 速度擾動引起的擾動波場

圖12 φ=135°時模量-阻抗輻射情況a 模量;b 阻抗

圖13 模量-阻抗模式下擾動波場a 模量擾動引起的擾動波場;b 阻抗擾動引起的擾動波場

綜合以上6種參數(shù)化模式,在理想狀態(tài)下具備所有角度的擾動波場時,阻抗-速度模式下能夠利用大角度地震數(shù)據(jù)和小角度地震數(shù)據(jù)分別進行速度和阻抗反演,該種模式下兩種參數(shù)耦合化程度較弱,是聲波方程多參數(shù)反演中較為理想的參數(shù)化模式。阻抗-密度和速度-密度輻射圖具有類似的特征,可先利用大角度或者小角度地震數(shù)據(jù)進行單參數(shù)反演,然后進行兩種參數(shù)的同時反演。在模量-密度、模量-速度以及模量-阻抗3種參數(shù)化模式下進行多參數(shù)反演則難以區(qū)分不同參數(shù)的作用,多解性問題較嚴重。

3 數(shù)值實驗分析

理論上認為大角度地震數(shù)據(jù)是指120°≤θ<180°的地震數(shù)據(jù),當θ=180°時,該數(shù)據(jù)已經(jīng)不是反射波而是透射波。在地面地震觀測方式中,大角度總是相對的,在數(shù)值模擬計算中只能盡可能提高偏移距與目標層深度的比值,來增加最大入射角度。

本文對速度-密度、模量-密度、阻抗-密度和速度-阻抗4種參數(shù)化模式進行了數(shù)值測試及分析。圖14 為真實模型和對應的初始模型,初始模型由將平滑算法作用于真實模型得到。模型設(shè)計時,保證了兩種參數(shù)化模式下波動方程正演所得到的模擬數(shù)據(jù)一致。圖15為單炮觀測數(shù)據(jù),我們首先將全波場數(shù)據(jù)作為全波形反演的觀測數(shù)據(jù)進行速度-密度同時反演。在圖16速度-密度反演中,速度和密度真實異常得到了較好的反演,但是在速度中出現(xiàn)了密度異常引起的速度異常,并且密度項中速度異常引起的變化與密度本身的異常大小接近,即速度-密度同時反演時出現(xiàn)強烈的耦合現(xiàn)象。

本文還對模量-密度以及阻抗-密度參數(shù)化模式進行了數(shù)值測試。在模量-密度反演中模量的高低波數(shù)信息反演結(jié)果較為理想,但是密度的反演結(jié)果穩(wěn)定性較差(圖17)。

圖14 真實模型及初始模型對比a 真實速度模型;b 初始速度模型;c 真實密度模型;d 初始密度模型

圖15 單炮觀測數(shù)據(jù)

在阻抗與密度的反演中,阻抗以小尺度信息為主,密度項中的部分低波數(shù)信息得到了恢復(圖18)。但總體上這兩種參數(shù)化反演中參數(shù)的耦合化現(xiàn)象比速度-密度參數(shù)化模式下的反演結(jié)果更為嚴重。

相比之下,速度-阻抗反演模式下,速度和阻抗表現(xiàn)出非常弱的耦合。同時,也不難發(fā)現(xiàn)兩組反演中的速度表現(xiàn)出不同的特征。在速度-密度參數(shù)化模式下得到的速度異常具有清晰的邊界,而速度-阻抗參數(shù)化模式下速度異常的中、低波數(shù)較為豐富,較高波數(shù)成分缺失,邊界模糊(圖19),該現(xiàn)象與前面的理論推導吻合。

圖16 全波形反演速度(a)全波形反演密度(b)

圖17 真實模量(a)、初始模量(b)與利用全波場觀測數(shù)據(jù)同時反演模量(c)和密度(d)的結(jié)果

圖18 真實阻抗(a)、初始阻抗(b)與利用全波場觀測數(shù)據(jù)同時反演阻抗(c)和密度(d)的結(jié)果

速度-阻抗參數(shù)化模式下,速度異常主要與大角度地震數(shù)據(jù)有關(guān),而阻抗主要與小角度地震數(shù)據(jù)有關(guān)。為了進一步降低速度和阻抗之間的耦合特征,本文采用中角度和大角度地震數(shù)據(jù)作為全波形反演的觀測數(shù)據(jù)(圖20)進行速度-阻抗的同時反演。反演結(jié)果如圖21所示,可以看出速度中的高波數(shù)成分進一步減少,中低波數(shù)成分更加突出。同時阻抗對速度的干擾降低,即速度和阻抗之間的耦合現(xiàn)象在速度反演中得到了緩解。由于缺失了小角度地震數(shù)據(jù),相對于圖19d中的全波場觀測數(shù)據(jù)的阻抗反演,僅采用中、大角度地震數(shù)據(jù)進行阻抗反演不但阻抗異常未能準確的反演,而且速度對阻抗的影響變大。因而在進行分角度反演時,需對反演結(jié)果進行合理的取舍。

圖19 真實阻抗(a)、初始阻抗(b)與利用全波場觀測數(shù)據(jù)同時反演速度(c)和阻抗(d)的結(jié)果

圖20 單炮觀測數(shù)據(jù)(中角度和大角度地震數(shù)據(jù))

圖21 利用中、大角度地震觀測數(shù)據(jù)同時反演速度(a)和阻抗(b)

4 討論與認識

本文從理論上推導了聲波方程不同參數(shù)化模式的敏感核函數(shù),并分析了各種模式下參數(shù)的角度特征。速度-密度參數(shù)化模式下小角度地震數(shù)據(jù)的參數(shù)耦合嚴重不易區(qū)分,大角度地震數(shù)據(jù)則能夠較好的區(qū)分;模量-密度參數(shù)化模式下小角度和大角度地震數(shù)據(jù)參數(shù)耦合都很嚴重,中角度地震數(shù)據(jù)耦合現(xiàn)象有所減弱;阻抗-密度參數(shù)化模式下大角度地震數(shù)據(jù)耦合嚴重,小角度地震數(shù)據(jù)各參數(shù)容易區(qū)分;速度-阻抗參數(shù)化模式下小角度和大角度地震數(shù)據(jù)參數(shù)耦合化現(xiàn)象都相對較弱。同時還分析了模量-速度和模量阻抗兩種參數(shù)化模式,模量-速度參數(shù)化模式下小角度地震數(shù)據(jù)參數(shù)耦合嚴重,模量-阻抗參數(shù)化模式下大角度地震數(shù)據(jù)參數(shù)耦合嚴重。綜上可知在理論上速度-阻抗參數(shù)化模式是最為理想的參數(shù)化模式。

通過理論模型的數(shù)值模擬計算分析了常用的速度-密度和速度-阻抗參數(shù)化模式下多參數(shù)反演。本文采用的同時反演策略,順序反演會將所有的波場擾動歸于其中一種參數(shù)擾動,容易導致不穩(wěn)定性。數(shù)值模擬計算結(jié)果表明:速度-阻抗參數(shù)化模式下速度和阻抗的耦合化現(xiàn)象明顯減弱。相對于速度-密度參數(shù)化模式反演得到的速度,速度-阻抗參數(shù)化模式下反演速度呈現(xiàn)出低波數(shù)特性,這是由于該模式下主要是大角度地震數(shù)據(jù)作用于速度反演。

理論推導在實際應用中往往受限。例如實際采集中最大角度有限,特別是陸上資料采集偏移距受限程度較大。此外,地震數(shù)據(jù)的大角度和小角度在理論上也沒有定量的界限,因此需要根據(jù)觀測系統(tǒng)制定合理的反演策略。