巧用平面幾何知識(shí)找中點(diǎn)證明線面平行

蘇保明

證明線面平行是高考命題的重要內(nèi)容之一，也是常考不衰的重要題型，深受命題專(zhuān)家的青睞，其原因是此類(lèi)題錯(cuò)綜復(fù)雜，能很好地考查考生的思維水平.本文根據(jù)初高中幾何連接點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系，從以下四個(gè)方面找線段的中點(diǎn)，進(jìn)而順利證明線面平行.

方法一：利用“對(duì)角線互相平分”找中點(diǎn)

例1 如圖l，底面是正三角形的直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中點(diǎn)，AA₁=AB=2.

（Ⅰ）證明：A₁C∥平面AB₁D.

（Ⅱ）（略）

（Ⅰ）證明：如圖2，連接A₁B，交AB₁于點(diǎn)O，連接OD.

由于ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，所以四邊形A₁B₁BA是矩形.故A₁O=OB（此結(jié)論用到了初中數(shù)學(xué)知識(shí)，即“矩形對(duì)角線互相平分”）.

由于BD=DC，所以O(shè)D是△A₁BC的中位線，可知OD//A₁C.又OD 平面AB₁D，A₁C 平面AB₁D，所以A₁C∥平面AB₁D.

小結(jié) 由于涉及矩形A₁B₁BA的對(duì)角線AB₁，聯(lián)想到矩形A₁B₁BA的另一條對(duì)角線A₁B，所以連接A₁B，這樣就可構(gòu)造三角形的中位線，找到線線平行，從而順利地證明線面平行.

值得注意的是，凡是涉及平行四邊形、矩形、菱形、正方形的一條對(duì)角線，往往需要連接另一條對(duì)角線，這樣可根據(jù)對(duì)角線互相平分找到邊的中點(diǎn).

方法二：利用“等腰三角形三線合一”找中點(diǎn)

例2 如圖3，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長(zhǎng)為a的正三角形，點(diǎn)M在邊BC上，△AMC₁是以M為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形.

（Ⅰ）證明：直線A₁B∥平面AMC₁.

（Ⅱ）（略）

（Ⅰ）證明：如圖4，連接A₁C，交AC₁于點(diǎn)N，連接MN.

由于ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，所以CC₁⊥平面ABC，四邊形A₁C₁CA是矩形.又AM 平面ABC，所以CC₁⊥AM.由于AM⊥MC₁，CC₁ MC₁=C₁，CC₁ 平面BB₁C₁C，MC₁ 平面BB₁C₁C，所以AM⊥平面BB₁C₁C.又BC 平面BB₁C₁C，所以AM⊥BC.在△ABC中，由AB=AC，AM⊥BC，可知BM=MC（此結(jié)論用到了初中數(shù)學(xué)知識(shí)，即“等腰三角形三線合一”）.

由于點(diǎn)N是矩形A₁C₁CA的兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，所以A₁N=NC，則MN是△A₁BC的中位線，MN∥A₁B.又MN 平面AMC₁，A₁B 平面AMC₁，所以A₁B∥平面AMC₁.

小結(jié) 題目涉及對(duì)角線AC₁，就需要想到另一條對(duì)角線，所以連接另一條對(duì)角線A₁C，得到中點(diǎn)N.另外又涉及點(diǎn)M，所以可想到“如果M是BC的中點(diǎn)，那么MN就是△A₁BC的中位線”.這樣一來(lái)，問(wèn)題就迎刃而解了.其實(shí)也是如此，由AB=AC，AM⊥BC，可得M是BC的中點(diǎn)，這就用到了初中平面幾何的知識(shí)“等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合”.由此可見(jiàn)，熟練掌握初中數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)解高中數(shù)學(xué)題很有幫助.

方法三：利用平行線分線段成比例定理找中點(diǎn)

例3 如圖5，在四棱錐P-ABCD中，平面ABCD⊥平面PCD，PD⊥CD，AB∥CD，AB=BC=AD=PD=1，CD=2，且點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是BC，AD，PB的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：PD∥平面EFG.

（Ⅱ）（略）

（Ⅰ）證明：如圖6，連接BD，交EF于點(diǎn)H，連接GH.

由于AB∥CD，AB≠CD，所以四邊形ABCD是梯形.又E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，所以AB∥EF∥CD.由AF=FD，可知BH=HD（此結(jié)論用到了初中數(shù)學(xué)知識(shí)中的平行線分線段成比例定理）.

由PG=GB，可知GH∥PD.由于PD 平面EFG，GH 平面EFG，所以PD∥平面EFG.

小結(jié) 此題的證明用到了初中平面幾何的平行線分線段成比例定理.由此找出三角形的一邊的中點(diǎn)H，構(gòu)造出三角形的中位線，進(jìn)而較為輕松地證明了線面平行.

方法四：利用平行線分線段成比例定理的推論找中點(diǎn)

例4 如圖7，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q為AD的中點(diǎn)，PA=PD=2，BC=1/2 AD=1，CD= ，M是棱PC的中點(diǎn).

（Ⅰ）證明：PA∥平面MQB.

（Ⅱ）（略）

（Ⅰ）證明：如圖8，連接AC，交BQ于N，連接MN.

由于AQ=QD=1/2AD，BC=1/2AD，所以BC=QD.又BC∥QD，所以四邊形BCDQ是平行四邊形，BQ∥CD.在△ACD中，AQ=QD，NQ∥CD，所以AN=NC[此結(jié)論用到了初中數(shù)學(xué)知識(shí)中的平行線分線段成比例定理的推論，即“平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線），所得的對(duì)應(yīng)線段成比例”].

由于PM=MC，所以MN是△ACP的中位線，則MN∥PA.又MN 平面MQB，PA 平面MQB，所以PA∥平面MQB.

小結(jié) 此題證明的關(guān)鍵點(diǎn)AN=NC，就是用到了初中平面幾何的平行線分線段成比例定理的推論.由此找出三角形一邊的中點(diǎn)Ⅳ，從而一目了然地找到了三角形的中位線，使證明過(guò)程明朗化，

初中平面幾何的相關(guān)知識(shí)是解決高中立體幾何問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn).因此，考生務(wù)必熟練掌握，在解題中熟練運(yùn)用，不斷提高自己的思維水平和解題能力.