布金漢方程一般解在測流變參數(shù)的應(yīng)用

朱 旦 生

(甘肅省蘭州市灌溉試驗示范中心， 蘭州 甘肅 730000)

非牛頓流體是剪應(yīng)力和剪切變形速率之間不滿足線性關(guān)系的流體。賓漢流體(也稱賓漢塑性流體或賓漢塑料)，是非牛頓流體的一種，通常是一種黏塑性材料，在低應(yīng)力下，它表現(xiàn)為剛性體，但在高應(yīng)力下，它會像黏性流體一樣流動，且其流動性為線性的。水利行業(yè)中對賓漢體的研究始于高含沙水流流動現(xiàn)象的研究，20世紀(jì)黃河上、中游高含沙洪水經(jīng)常遇到的“漿河”及“揭河底”現(xiàn)象，揭示了水利工程生產(chǎn)實踐中同樣存在賓漢體的非牛頓流體現(xiàn)象。由于賓漢體含沙水流形成的條件不但與渾水的平均含沙量有關(guān)，而且與極細(xì)黏性泥沙顆粒的含量高度有關(guān)，相同濃度下黏性細(xì)顆粒構(gòu)成的渾水更容易由牛頓體變?yōu)橘e漢體，因此在灌溉渠系的末端或者一些節(jié)水器具的特殊部位也會出現(xiàn)賓漢體流動現(xiàn)象，這對灌溉器具的研發(fā)無凝會提出更高的挑戰(zhàn)。因此，從灌溉工程實踐需求角度，賓漢體渾水的研究也具有重要意義。由于賓漢流體流變參數(shù)的確定是研究各種賓漢體問題的基礎(chǔ)，因此本文從賓漢體流變方程的求解出發(fā)，對測流變參數(shù)的應(yīng)用方面進(jìn)行一些有益的探索。

1 賓漢體流變學(xué)的基本問題

賓漢體流變特性可用如下方程表示[1]

(1)

針對灌流對公式(1)分離變量積分，得到著名的布金漢方程：

(2)

當(dāng)τB=0時，由公式(2)即可得出適合牛頓體的泊謖葉方程：

(3)

可以得出[2]

(4)

這種方法比傳統(tǒng)方法更近了一步，可以查表得出τB和η。但隨著計算技術(shù)的飛速發(fā)展，探索一種合適的數(shù)值計算方法仍有必要。

2 布金漢方程的一般解

一元四次方程可寫成一般形式[3-4]

x4+P3x3+P2x2+P1x+P0=0

(5)

配方，可寫成如下形式：

(6)

(7)

右邊，一元二次方程要成為完全平方式，則根據(jù)判別式Δ=0，得到一個一元三次方程，稱“預(yù)一元三次方程”[4]。

則一元四次方程，變成

(8)

得到兩個一元二次方程

(9)

和

(10)

即得到一元四次方程一個根。

布金漢方程可化為

(11)

則布金漢方程變?yōu)?/p>

(12)

可得

得到布金漢方程的“預(yù)一元三次方程”：

(13)

無妨取最簡單根：

則布金漢方程變?yōu)?/p>

(14)

則布金漢方程的四個根為

滿足條件的根為

因此，符合一元四次方程四根，滿足布金漢方程的解為

3 討 論

在毛細(xì)管黏度計測極限切應(yīng)力τB和剛度系數(shù)η時，更換管徑D得到不同的v。由于這個方程有兩個未知數(shù)τB和η，則至少要做兩組實驗，但由于毛細(xì)管黏度實驗中有實驗誤差，故一個樣品要做多組實驗，取誤差小的數(shù)值。通過聯(lián)立如下方程組可以求得：

(15)

4 結(jié) 論

本文通過用一元四次返程求根法得出布金漢方程的一般解。這個一般解可用于求賓漢體流變參數(shù)極限切應(yīng)力和剛度系數(shù)。作為一種科學(xué)探索，本文的研究方法理論嚴(yán)密，且可為從事賓漢流體工程問題研究的科技工作者提供實際應(yīng)用。