多管齊下解決高斯定理教學(xué)中的問題*

王洪濤 李艷

(中國礦業(yè)大學(xué)物理學(xué)院 江蘇 徐州 221116) (2018-04-04)

大學(xué)物理課程是本科教育階段的一門重要的公共基礎(chǔ)課程，課程具有知識(shí)量大、理論性強(qiáng)、結(jié)論抽象等特點(diǎn)．電磁學(xué)部分由于理論抽象、計(jì)算過程需要用到相對(duì)復(fù)雜的微積分知識(shí)等特征，致使學(xué)生在理解掌握知識(shí)上存在一定的困難．實(shí)際教學(xué)過程中經(jīng)常性會(huì)遇到部分學(xué)生對(duì)傳統(tǒng)的定理推導(dǎo)過程抱有疑問，他們更傾向于采用“笨一點(diǎn)”的方法來思考問題．比如電場(chǎng)的高斯定理，該定理是計(jì)算規(guī)則對(duì)稱分布電場(chǎng)的有力工具，但是總有部分學(xué)生提出能不能利用前面學(xué)過的點(diǎn)電荷的電場(chǎng)強(qiáng)度疊加方法得到均勻帶電球體或球面在周圍任意一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)？學(xué)生的疑問其實(shí)暴露出了一定的問題，即學(xué)習(xí)知識(shí)的慣性思維，每當(dāng)學(xué)到新知識(shí)的時(shí)候往往還希望嘗試用已熟練掌握的知識(shí)去解釋、推導(dǎo)及驗(yàn)證．基于此，在講授新知識(shí)的時(shí)候可以根據(jù)教學(xué)進(jìn)度分層次地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行驗(yàn)證探索，這對(duì)學(xué)生深入理解掌握物理知識(shí)、復(fù)習(xí)應(yīng)用數(shù)學(xué)及計(jì)算機(jī)知識(shí)都有很大的益處．

本文以靜電場(chǎng)中的高斯定理為例，采用“笨方法”——點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)的積分方法和“小高招”——數(shù)值編程模擬方法對(duì)高斯定理進(jìn)行驗(yàn)證，使學(xué)生從不同角度不同層次上理解掌握知識(shí)．

1 高斯定理計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)

采用高斯定理[1]計(jì)算均勻?qū)ΨQ分布電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度是大學(xué)物理中計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)的重要方法之一，均勻帶電的圓球面在球面[2]及其周圍激發(fā)的電場(chǎng)具有均勻?qū)ΨQ分布的特點(diǎn)，是高斯定理應(yīng)用的常見情況．設(shè)球面半徑為R，電荷密度為σ，寫出高斯定理的具體表達(dá)式為[3]

(1)

由此易解出距球心為x處的一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為

(2)

2 矢量疊加法計(jì)算場(chǎng)強(qiáng)

通過點(diǎn)電荷電場(chǎng)的矢量疊加方法理論上可以直接積分求解任意帶電體周圍激發(fā)的電場(chǎng)．對(duì)于具有圓對(duì)稱性的帶電球面，可以通過合理劃分微分單元把一般的三維體積分簡化為一維線積分來處理．均勻帶電圓環(huán)在軸線上距圓心x的點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為

(3)

其中q為圓環(huán)所帶電荷，R為圓環(huán)半徑，x為場(chǎng)點(diǎn)距帶電圓環(huán)圓心的距離．可以把帶電球面沿垂直x軸方向分割為若干個(gè)半徑連續(xù)變化的同軸圓環(huán)，如圖1所示．以球心為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平向右為x軸方向建立坐標(biāo)系．

圖1 帶電球面微分單元?jiǎng)澐质疽鈭D

用夾角α表示微分元圓環(huán)的位置，則圓環(huán)所帶電荷為

dq=σRdα2πRsinα

其在x點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為

通過對(duì)α積分可以得到帶電球面在距球心x處的電場(chǎng)強(qiáng)度表達(dá)式

(4)

對(duì)式(4)進(jìn)行化簡，令β=x2+R2-2xRcosα則可得到

(5)

其中

β1=(x-R)2

β1=(x+R)2

通過“笨一點(diǎn)”的積分方法得到結(jié)果與高斯定理得到的結(jié)果完全一致，不僅驗(yàn)證了高斯定理的正確性打消了學(xué)生的疑慮，使學(xué)生對(duì)微積分方法在大學(xué)物理學(xué)習(xí)中的靈活運(yùn)用有了更深入的理解和體會(huì)，同時(shí)也說明點(diǎn)電荷電場(chǎng)強(qiáng)度的疊加原理對(duì)任意帶電體的電場(chǎng)計(jì)算都是適用的，區(qū)別只在于積分計(jì)算的難易．

3 數(shù)值編程模擬

物理學(xué)知識(shí)理論性較強(qiáng)，結(jié)論定理大都比較抽象．可以通過計(jì)算機(jī)編程把抽象的公式定理用直觀的圖線演示出來，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握[4]．積分的數(shù)值編程方法有很多，學(xué)生在數(shù)學(xué)及計(jì)算機(jī)課程上都有所涉及，通過計(jì)算機(jī)編程模擬不僅可以把抽象的知識(shí)形象化，而且能夠借此讓其了解數(shù)學(xué)及計(jì)算機(jī)編程手段的應(yīng)用，可謂一舉多得．編程語言有很多，常見的有Matlab，C++，F(xiàn)ortran，Python等等，雖然在代碼書寫上存在一些差異，但是算法是共通的．Python 是一種不受局限、跨平臺(tái)的開源編程語言，它功能強(qiáng)大且簡單易學(xué)，代碼簡潔易懂，目前在很多行業(yè)已得到廣泛應(yīng)用．?dāng)?shù)值編程模擬的主要目的是驗(yàn)證定理結(jié)論或?qū)Τ橄笾R(shí)進(jìn)行形象化展示，因此對(duì)運(yùn)算速度及精度要求不高，可以采用經(jīng)典的梯形法計(jì)算積分[5]， Python程序積分代碼如下：

#------------------

import math

sigma = 1e-8

epsilon = 8.854187817e-12

R = 0.2; x = 0.4; a = -1; b = 1; h = 2.0/16000; s = 0; m = a; f0 = 0

for i in range(16000):

m += h

f1 = (sigma*R**2/2/epsilon)*(L-R*m)/(L**2+R**2-2*L*R*m)**1.5

s += h*(f0+f1)/2

f0 = f1

print(x,s)

#-------------------

為了考察積分區(qū)間[-1,1]劃分子區(qū)間的數(shù)目與計(jì)算精度的關(guān)系，程序連續(xù)計(jì)算了子區(qū)間數(shù)目分別為1 000, 2 000，…，16 000共16組數(shù)據(jù)，并把計(jì)算結(jié)果與公式(2)進(jìn)行了對(duì)比，求出其相對(duì)誤差，如圖2所示，其中橫軸為等分區(qū)間數(shù)目N，縱軸為模擬值與理論值的相對(duì)誤差．由圖可以看出，隨著等分區(qū)間數(shù)目的增加，計(jì)算結(jié)果很快收斂于理論值．當(dāng)?shù)确謪^(qū)間數(shù)目為N=7 000時(shí)，相對(duì)誤差已降至5×10-5以下．梯形積分法編程簡單，計(jì)算精度較高，能夠滿足教學(xué)驗(yàn)證及學(xué)生課下實(shí)踐的要求，在增加對(duì)物理知識(shí)的理解及對(duì)抽象知識(shí)的直觀展示方面具有積極意義，適合在大學(xué)物理教學(xué)過程中推廣應(yīng)用．

圖2 相對(duì)誤差與積分區(qū)間等分?jǐn)?shù)目的關(guān)系

取N=16 000，R=0.2 m固定不變，場(chǎng)點(diǎn)距球心坐標(biāo)由近及遠(yuǎn)連續(xù)變化，x=1.2R，1.4R，…，4.0R，通過積分程序分別計(jì)算得到對(duì)應(yīng)x距離下的電場(chǎng)強(qiáng)度，把x及對(duì)應(yīng)電場(chǎng)強(qiáng)度數(shù)據(jù)存入數(shù)據(jù)文件“E.data”中，然后利用Gnuplot進(jìn)行繪圖．Gnuplot是免費(fèi)開源的科學(xué)繪圖軟件，具有很強(qiáng)的數(shù)據(jù)繪圖及參數(shù)擬合能力[6]，同時(shí)支持交互和腳本兩種工作模式，在輸出圖片的高質(zhì)量和高可控性上有較強(qiáng)的優(yōu)勢(shì)．在Gnuplot中寫入下述命令：

sigma=1e-8; R=0.2; epsilon=

8.854 187 817e-12

f(x)=sigma*R**2/(epsilon*x**2)

plot f(x) with line, ‘E.data’ using 1:2 with point

圖3 理論結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果對(duì)比圖

4 小結(jié)

本文針對(duì)電場(chǎng)高斯定理教學(xué)實(shí)踐中的問題，通過點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)積分方法計(jì)算了均勻帶電球面周圍的電場(chǎng)分布，并且采用開源、高效的程序語言Python及科學(xué)繪圖軟件Gnuplot對(duì)電場(chǎng)分布進(jìn)行了數(shù)值模擬．采用多管齊下的方法使學(xué)生從不同角度對(duì)高斯定理展開了全面深入的學(xué)習(xí)和理解，不僅促進(jìn)了學(xué)生對(duì)物理知識(shí)的掌握，而且讓他們體會(huì)到了微積分及數(shù)值編程知識(shí)在物理學(xué)習(xí)過程中的具體應(yīng)用．采用Python及Gnuplot開源軟件實(shí)現(xiàn)抽象物理知識(shí)的直觀形象化在教師教學(xué)實(shí)踐及學(xué)生課下探索過程中具有很高的可執(zhí)行性，值得在大學(xué)物理教學(xué)中進(jìn)行推廣和應(yīng)用．