基于系統(tǒng)函數(shù)優(yōu)化的非規(guī)則天線陣列綜合孔徑輻射計亮溫反演算法

李育芳，胡秋林，李青俠，陳 雄，趙 鋒，劉 甡，豐 勵

(1.華中科技大學(xué) 電子信息與通信學(xué)院，湖北 武漢 430074； 2.多譜信息處理技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430074；3.上海航天電子技術(shù)研究所，上海 201109； 4.湖北工業(yè)大學(xué) 電氣與電子工程學(xué)院，湖北 武漢 430068)

0 引言

微波輻射計是接收、處理物體輻射微波信號的專用設(shè)備[1-3],是一種新型的全被動探測手段。與主動發(fā)射微波信號的雷達(dá)相比，其僅被動接收目標(biāo)發(fā)射的微波輻射信號，隱蔽性較強(qiáng)；同時，微波信號能穿透云層等覆蓋物[4]，受天氣影響較小，能全天時、全天候工作，區(qū)別金屬目標(biāo)和周邊環(huán)境的能力強(qiáng)。因此，微波輻射計在目標(biāo)探測領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。

微波輻射計主要包括實(shí)孔徑和綜合孔徑輻射計兩類。其中：實(shí)孔徑輻射計通過機(jī)械掃描得到不同角度的輻射能量，其輸出電壓值與目標(biāo)場景的輻射能量呈線性關(guān)系，只需簡單定標(biāo)、修正即可得到目標(biāo)場景的輻射亮溫，因此，在某種意義上可認(rèn)為其輸出結(jié)果就是場景亮溫；綜合孔徑輻射計的技術(shù)體制不同于實(shí)孔徑輻射計，其采用的是干涉測量的方法，系統(tǒng)輸出為可見度函數(shù)，可見度函數(shù)與場景亮溫分布是比較復(fù)雜的二維積分關(guān)系[5-6]，如果實(shí)際系統(tǒng)中的所有誤差均被校正，則綜合孔徑輻射計輸出的可見度函數(shù)與場景亮溫分布退化為二維傅里葉變換關(guān)系[7-8]。因此，綜合孔徑輻射計的天線陣列常被設(shè)計成在空間頻率域中均勻采樣的規(guī)則陣列，如T形陣、Y形陣等。這些規(guī)則天線陣列可在空間頻率域內(nèi)產(chǎn)生均勻分布的基線，即對可見度函數(shù)均勻采樣。此時，將輸出可見度采樣值進(jìn)行二維傅里葉反變換即可反演出觀測場景的亮溫圖像。

然而在實(shí)際應(yīng)用中，天線陣列難以排列規(guī)則，而非規(guī)則排列的天線陣列會在空間頻率域內(nèi)對可見度函數(shù)非均勻采樣。此時，對可見度采樣值直接傅里葉反變換得到的反演亮溫圖像質(zhì)量較差。對于非規(guī)則天線陣列的綜合孔徑輻射計，不適合直接采用傅里葉反演算法，因此需引入插值算法[9-10]和迭代算法[11-12]，從而有效提高非規(guī)則天線陣列綜合孔徑輻射計的反演精度。但這些算法只是通過單純的數(shù)學(xué)方法來實(shí)現(xiàn)從非均勻可見度采樣值到亮溫圖像的反演，本身不具備明確的物理含義，也未建立反演誤差與非規(guī)則天線陣列排布之間的數(shù)學(xué)模型。

本文提出了基于系統(tǒng)函數(shù)優(yōu)化的亮溫反演算法，從非規(guī)則天線陣列綜合孔徑輻射計的系統(tǒng)性能出發(fā)，優(yōu)化系統(tǒng)函數(shù)，消除天線陣列非規(guī)則排列對反演精度的影響。經(jīng)系統(tǒng)函數(shù)優(yōu)化處理后，直接對系統(tǒng)輸出可見度函數(shù)進(jìn)行傅里葉反變換即可獲得精度較高的反演圖像。相比于傳統(tǒng)的插值算法和迭代算法，本文建立了反演誤差與非規(guī)則天線陣列排布之間的數(shù)學(xué)模型，對于理解非規(guī)則天線陣列綜合孔徑輻射計的工作原理、優(yōu)化設(shè)計未來非規(guī)則天線陣列具有一定的理論價值和意義。

1 非規(guī)則天線陣列綜合孔徑輻射計的系統(tǒng)函數(shù)

綜合孔徑輻射計利用稀疏天線陣列將陣列中的單元天線成對組成許多具有不同基線的二元干涉儀。例如，由天線i和j組成的二元干涉儀的輸出可見度函數(shù)表示為

(1)

(2)

式中：B為接收機(jī)帶寬；Gi,j為系統(tǒng)增益；Hi,j(f)為接收機(jī)通道的系統(tǒng)函數(shù)。假設(shè)綜合孔徑輻射計的系統(tǒng)誤差都能被校正，則理想情況下的可見度函數(shù)為

(3)

在實(shí)際應(yīng)用中，綜合孔徑輻射計的天線陣列尺寸有限，其最大基線也有限，且綜合孔徑輻射計的基線在空間頻率域內(nèi)為離散分布。這種物理上的限制等效于對輸出的可見度函數(shù)進(jìn)行加窗和采樣處理。該物理過程用數(shù)學(xué)公式可表示為

Vmeasure(u,v)=V(u,v)S(u,v;uk,vk)·

WR(u,v)

(4)

式中：Vmeasure(u,v)為綜合孔徑輻射計輸出的可見度，即實(shí)際測量的可見度；WR(u,v)為矩形窗；(uk,vk)為空間頻率域中的第k個采樣點(diǎn)；S(u,v;uk,vk)為采樣函數(shù)，其表達(dá)式為

(5)

(6)

式中：IFT[·]表示傅里葉反變換。將式(4)代入式(6)，得

IFT[V(u,v)]*IFT[S(u,v;uk,vk)·WR(u,v)]=

TB*AF(ξ,η)

(7)

式中：“*”為線性卷積運(yùn)算；TB為觀測場景的亮溫分布；AF(ξ,η)為綜合孔徑的陣列因子，其表達(dá)式為

AF(ξ,η)=IFT[S(u,v;uk,vk)WR(u,v)]=

(8)

從式(7)可知，綜合孔徑輻射計的反演亮溫為觀測場景亮溫與陣列因子的卷積。因此，陣列因子也稱為綜合孔徑輻射計的系統(tǒng)函數(shù)。

綜合孔徑輻射計系統(tǒng)函數(shù)的旁瓣大小直接影響了反演圖像的精度。當(dāng)天線陣列規(guī)則排列時，其在空間頻率域中均勻采樣，對應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)旁瓣較小，從臨近像素點(diǎn)引入的誤差也越小。因此，對規(guī)則天線陣列綜合孔徑輻射計直接進(jìn)行傅里葉反變換，即可反演出精度較高的亮溫圖像。當(dāng)天線陣列非規(guī)則排列時，其在空間頻率域中非均勻采樣，對應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)旁瓣較大，從臨近像素點(diǎn)引入的誤差也較大[13]，需通過特定算法處理后才能獲得精度較高的亮溫圖像。一維非規(guī)則天線陣列及其系統(tǒng)函數(shù)如圖1所示。由圖1可見，非規(guī)則天線陣列綜合孔徑輻射計的系統(tǒng)函數(shù)具有較大旁瓣，其系統(tǒng)性能較差。

圖1 一維非規(guī)則天線陣列及其系統(tǒng)函數(shù)Fig.1 One-dimensional nonuniform antenna array and its system function

2 基于系統(tǒng)函數(shù)優(yōu)化的非規(guī)則天線陣列綜合孔徑輻射計亮溫反演

非規(guī)則天線陣列綜合孔徑輻射計反演精度較低，其根本原因是系統(tǒng)性能較差(即系統(tǒng)函數(shù)的旁瓣較大)。因此，通過優(yōu)化其系統(tǒng)函數(shù)來提升系統(tǒng)性能，可有效提高非規(guī)則天線陣列綜合孔徑輻射計的反演精度。

根據(jù)式(7)，非規(guī)則天線陣列綜合孔徑輻射計的反演誤差可表示為

TB(ξ,η)*[δ(ξ,η)-AF(ξ,η)]

(9)

(10)

式中：ck為第k個基線上的權(quán)重因子。由于優(yōu)化后的系統(tǒng)函數(shù)AFo(ξ,η)需逼近理想的陣列因子，其表達(dá)式為

E{[δ(ξ,η)-AFo(ξ,η)]2|c={c0,c1,…,cK-1}}=min

(11)

將式(11)中的方向余弦(ξ,η)進(jìn)行離散化處理，則式(11)可表示為

‖p-H·c‖2=min

(12)

式中：‖·‖2為歐氏范數(shù)；p為向量，即

p=[δ(ξ0,η0)δ(ξ0,η1) …δ(ξm,ηm) …δ(ξM,ηN)]T

(13)

H矩陣可表示為

(14)

其中，

(15)

c為向量，可表示為

c=[c0,c1,…,cK-1]T

(16)

根據(jù)式(11)可求解每個基線上的權(quán)重因子，即

c=H+·p

(17)

將求解的權(quán)重系數(shù)乘以對應(yīng)的基線，直接進(jìn)行傅里葉反變換，從而反演出觀測場景的亮溫分布，其表達(dá)式為

(18)

式中：F-1為傅里葉反變換矩陣。

然而，由式(18)反演的亮溫圖像并不穩(wěn)定，因此需對H矩陣進(jìn)行奇異值分解，該過程可表示為

(19)

式中：σn為按降序排列的第n個奇異值；un、vn分別為對應(yīng)的左右奇異向量。因此，H矩陣的廣義逆矩陣H+可表示為

(20)

將式(17)、(20)代入式(18)中，則

(21)

從式(21)中可知，H矩陣中包含了許多非常小的奇異值，這些小奇異值會導(dǎo)致反演圖像不穩(wěn)定。實(shí)際上，盡管通過誤差校正可將硬件系統(tǒng)中的大部分系統(tǒng)誤差校正掉，但是硬件系統(tǒng)中還是會存在小部分未校正掉的殘差。另外，輻射計系統(tǒng)中還存在難以消除的系統(tǒng)熱噪聲。這些誤差在反演的過程中會被H矩陣中的小奇異值放大，導(dǎo)致最終的反演圖像不穩(wěn)定。為穩(wěn)定反演結(jié)果，需對求解的H矩陣進(jìn)行正則化處理。經(jīng)過正則化處理后的權(quán)重系數(shù)為

(22)

式中：Ntruncated為丟棄的小奇異值數(shù)量。因此，正則化處理后的最終反演圖像可表示為

(23)

(24)

在求解每個基線上的權(quán)重系數(shù)時引入了正則化，雖然能穩(wěn)定反演結(jié)果，但會導(dǎo)致反演圖像質(zhì)量的下降。因此，引入了迭代運(yùn)算，以消除正則化對反演圖像質(zhì)量的影響。

根據(jù)數(shù)字信號處理的相關(guān)理論，式(23)中的線性卷積關(guān)系可表示為矩陣乘積關(guān)系，即

(25)

基于式(25)的矩陣乘積關(guān)系，具體的迭代過程如下：

1) 經(jīng)過第n次迭代運(yùn)算后，反演的亮溫圖像Tn可表示為

(26)

(27)

另外，Tn的初始值為

T0=0

(28)

式(26)中B矩陣可表示為

B=I-A

(29)

式中：I為單位矩陣。

2)計算第n次迭代運(yùn)算的殘差Err=‖Tn+1-Tn‖2，若Err小于門檻值，即

Err2≤ΔT2

(30)

則停止迭代運(yùn)算，Tn+1即為反演圖像。式(30)中，ΔT為停止迭代的門檻值，主要由系統(tǒng)噪聲和吉布斯振蕩決定。

在整個迭代過程中，式(26)可表示為

?

(31)

式中：(Bn+Bn-1+…+I)被稱為Neumann序列，當(dāng)n趨于無窮大時，

Bn+Bn-1+…+I→(I-B)-1

(32)

將式(28)、(29)、(32)代入式(31)中，當(dāng)?shù)螖?shù)n較大時，反演圖像Tn最終收斂于

(33)

由上述可知，引入的迭代算法是對式(25)進(jìn)行的求逆計算，而式(25)實(shí)際上是系統(tǒng)函數(shù)優(yōu)化后反演出的亮溫圖像。因此，迭代運(yùn)算在一定程度上能消除正則化對反演精度的影響，進(jìn)一步提升非規(guī)則天線陣列綜合孔徑輻射計的反演精度。

3 仿真及結(jié)果分析

3.1 理想系統(tǒng)的仿真驗(yàn)證

對理想硬件系統(tǒng)進(jìn)行計算機(jī)仿真，驗(yàn)證本文算法的正確性。為了更清晰顯示仿真結(jié)果，采用一維天線陣列。假設(shè)一隨機(jī)天線陣列有12個單元天線，均服從均勻隨機(jī)分布，最大基線長度為30λ。12個單元天線的具體排布位置為{0,5.1,5.5,8.2,11.5,13.7,15.7,17.1,22.3,24.0,27.3,30.0}·λ，如圖2所示。

圖2 一維隨機(jī)天線陣列Fig.2 One-dimensional random antenna array

圖3 觀測場景的亮溫分布Fig.3 Brightness temperature distribution of observed scene

觀測場景為展源場景，如圖3所示。由于仿真陣列中的單元天線是隨機(jī)排列的，該陣列在空間頻率域中非均勻采樣，其對應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)旁瓣較大，如圖4(a)所示。對仿真陣列輸出的可見度直接進(jìn)行傅里葉反變換，獲得的反演圖像如圖5(a)所示。由圖可見，直接反演引入的誤差較大。為了優(yōu)化仿真陣列的系統(tǒng)函數(shù)，根據(jù)隨機(jī)天線陣列的具體排列方式，利用式(17)可計算出每個基線上的權(quán)重系數(shù)，優(yōu)化后的系統(tǒng)函數(shù)如圖4(b)所示。將優(yōu)化后的小旁瓣系統(tǒng)函數(shù)替換原先的大旁瓣系統(tǒng)函數(shù)，利用傅里葉反變換得到的反演圖像如圖5(b)所示。由圖可見，反演圖像質(zhì)量得到明顯改善。

圖4 仿真陣列系統(tǒng)函數(shù)Fig.4 System function of simulated array

圖5 反演圖像Fig.5 Reconstructed images

由上述仿真可見，當(dāng)綜合孔徑輻射計的天線陣列隨機(jī)排列時，天線陣列在空間頻率域內(nèi)非均勻采樣，導(dǎo)致系統(tǒng)函數(shù)的旁瓣較大，且系統(tǒng)函數(shù)的旁瓣也不會衰減。因此，反演圖像從臨近像素點(diǎn)上引入的誤差也較大。本文通過優(yōu)化系統(tǒng)函數(shù)，抑制了系統(tǒng)函數(shù)旁瓣。將優(yōu)化后的小旁瓣系統(tǒng)函數(shù)替換原有的大旁瓣系統(tǒng)函數(shù)，提高非規(guī)則天線陣列綜合孔徑輻射計亮溫圖像的反演質(zhì)量。

圖6 優(yōu)化系統(tǒng)函數(shù)后，直接傅里葉反變換得到的反溫圖像Fig.6 Reconstructed images obtained by direct Fourier transform after system function is optimized

3.2 非理想系統(tǒng)的仿真驗(yàn)證

考慮到實(shí)際硬件系統(tǒng)中存在多種系統(tǒng)誤差和噪聲，將本文算法應(yīng)用在有噪系統(tǒng)中進(jìn)行仿真驗(yàn)證。綜合孔徑輻射計的硬件系統(tǒng)不再是理想系統(tǒng)，其接收機(jī)的中心頻率為1.4 GHz，帶寬為25 MHz，積分時間為0.1 s，接收機(jī)噪聲溫度為500 K。由于H矩陣中存在很多小奇異值，會在圖像反演過程中放大噪聲，因此，如果在優(yōu)化系統(tǒng)函數(shù)的過程中不進(jìn)行正則化處理會導(dǎo)致反演結(jié)果淹沒在噪聲中，如圖6(a)所示。為穩(wěn)定反演結(jié)果，必須對H矩陣進(jìn)行正則化處理，處理后，基線上的權(quán)重系數(shù)由式(22)計算。將權(quán)重系數(shù)乘以可見度函數(shù)，直接進(jìn)行傅里葉反變換可得到反演圖像，如圖 6(b)所示。對比圖6(a)和(b)可知，在優(yōu)化非規(guī)則天線陣列綜合孔徑輻射計的系統(tǒng)函數(shù)過程中必須進(jìn)行正則化處理，才能得到穩(wěn)定的反演圖像。

雖然正則化處理能穩(wěn)定反演過程，但會導(dǎo)致反演圖像的質(zhì)量下降。因此，需進(jìn)行迭代運(yùn)算。經(jīng)過120次迭代運(yùn)算后，反演的亮溫圖像如圖7所示。對比原始圖像(見圖3)可知，迭代運(yùn)算處理后的反演亮溫圖像，質(zhì)量得到了明顯改善。

圖7 迭代運(yùn)算與正則化處理后反演圖像的對比Fig.7 Comparison of reconstructed images between iteration method and regularization method

仿真結(jié)果表明，在非理想系統(tǒng)中噪聲會在反演過程中被放大，因此，在系統(tǒng)函數(shù)的優(yōu)化過程中通過正則化的處理，濾掉矩陣H矩陣中的小奇異值，能有效穩(wěn)定反演結(jié)果。但是正則化的處理會導(dǎo)致反演圖像的質(zhì)量輕微下降，在高精度的遙感應(yīng)用中，反演圖像質(zhì)量是非常關(guān)鍵的。因此，在本文提出的反演算法中引入了迭代算法，通過多次迭代運(yùn)算達(dá)到補(bǔ)償反演圖像質(zhì)量的目的。

3.3 反演算法對比

將本文算法與G矩陣反演算法進(jìn)行了對比。仿真場景和仿真條件與前面的仿真完全一致，由于非規(guī)則天線陣列綜合孔徑輻射計的G矩陣條件數(shù)較大，因此，在反演亮溫之前也需要正則化處理。經(jīng)過截斷奇異值處理后，G矩陣的反演圖像如圖8所示。由圖8可知，本文算法的反演精度與G矩陣類似。由于大型非規(guī)則天線陣列難以測量其對應(yīng)的G矩陣，本文算法可作為測量該類陣列G矩陣的有效手段。

圖8 本文算法與G矩陣反演圖像的對比Fig.8 Comparison of reconstructed images between proposed method and G-matrix method

4 結(jié)束語

本文提出了基于系統(tǒng)函數(shù)優(yōu)化的非規(guī)則天線陣列綜合孔徑輻射計亮溫反演算法，通過優(yōu)化系統(tǒng)函數(shù)，消除單元天線非規(guī)則排列對系統(tǒng)函數(shù)性能的影響，提高反演圖像的質(zhì)量。此外，考慮到實(shí)際硬件系統(tǒng)中存在的白噪聲和校正后的殘留誤差會在系統(tǒng)函數(shù)優(yōu)化過程中被放大，影響反演圖像質(zhì)量，因此在系統(tǒng)函數(shù)的優(yōu)化過程中引入了正則化處理，穩(wěn)定反演結(jié)果，但正則化處理會使反演圖像質(zhì)量的下降。為了補(bǔ)償反演圖像質(zhì)量的損失，在算法中引入了迭代算法。仿真結(jié)果表明：對于非理想系統(tǒng)，本文算法能有效提高非規(guī)則天線陣列綜合孔徑輻射計反演圖像的質(zhì)量。將本文算法與G矩陣反演算法進(jìn)行對比，結(jié)果表明本文算法的反演精度與G矩陣大致相當(dāng)。因此，對于難以測量G矩陣的大型非規(guī)則天線陣列，本文算法可作為一種有效反演方法。另外，本文提出的反演算法建立了反演誤差與非規(guī)則天線陣列排布之間的數(shù)學(xué)模型，對未來基于小衛(wèi)星編隊(duì)的分布式天線陣列的優(yōu)化研究具有一定的指導(dǎo)作用。