一類不確定非線性系統(tǒng)的重復(fù)學(xué)習(xí)控制

李鶴 孫明軒 張靜

學(xué)習(xí)控制能夠處理有限時間區(qū)間上重復(fù)作業(yè)的控制系統(tǒng).這種控制算法通過每次實際運行結(jié)果修正控制輸入,隨著迭代次數(shù)的增加不斷提高控制性能,因此在實際系統(tǒng)中得到了廣泛應(yīng)用,如工業(yè)機器人、數(shù)控機床、硬盤驅(qū)動裝置、化工間歇過程等[1?2].

近年來,基于Lyapunov方法的迭代學(xué)習(xí)控制引起人們的關(guān)注[3?5].設(shè)計學(xué)習(xí)控制器時需要處理系統(tǒng)存在的不確定性,通常包括參數(shù)不確定性與非參數(shù)不確定性.目前,有許多關(guān)于工業(yè)機器人系統(tǒng)迭代學(xué)習(xí)控制的研究成果[6?9];文獻[10]針對一類非線性系統(tǒng),采用自適應(yīng)算法學(xué)習(xí)固定常值參數(shù);文獻[11]針對工業(yè)機械臂,通過一類自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制算法估計不隨迭代軸變化的時變參數(shù);文獻[12]將高階內(nèi)模與學(xué)習(xí)控制算法相結(jié)合,處理隨迭代軸變化的時變參數(shù);文獻[13]針對非線性參數(shù)不確定系統(tǒng),基于自適應(yīng)重復(fù)學(xué)習(xí)控制算法學(xué)習(xí)周期參數(shù);文獻[14]通過魯棒自適應(yīng)及Backstepping方法分別處理參數(shù)與非參數(shù)不確定性;文獻[15]采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)及傅里葉級數(shù)逼近方法,估計周期已知的時變參數(shù);文獻[16]通過自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制算法,處理一類高階非線性系統(tǒng)的參數(shù)不確定性與初值問題;文獻[17]針對具有未知控制方向的純反饋非線性系統(tǒng),通過自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制策略,處理系統(tǒng)存在的參數(shù)不確定性;文獻[18]通過周期自適應(yīng)學(xué)習(xí)控制方法,解決了輸入飽和非線性系統(tǒng)中含時滯的參數(shù)不確定性.此外,文獻[19]通過自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制方法,處理純反饋非線性系統(tǒng)中的參數(shù)不確定性與非一致期望軌跡.可參數(shù)化的不確定系統(tǒng),通常要求參數(shù)為固定常值、周期或時變參數(shù),而實際系統(tǒng)的不確定性不僅僅包括可參數(shù)化情形,因此人們開始研究非參數(shù)不確定性.文獻[20]針對一類連續(xù)非線性系統(tǒng),通過迭代學(xué)習(xí)控制方法,處理非參數(shù)不確定性;文獻[21]通過魯棒自適應(yīng)迭代學(xué)習(xí)控制方法,解決了離散非線性系統(tǒng)中的參數(shù)與非參數(shù)不確定性;文獻[22]將迭代學(xué)習(xí)控制與模糊逼近相結(jié)合,利用反步控制策略,以處理純反饋非線性系統(tǒng)的非參數(shù)不確定性;文獻[23]針對控制增益與狀態(tài)有關(guān)的多輸入多輸出非線性系統(tǒng),通過迭代學(xué)習(xí)控制算法處理非參數(shù)不確定性;文獻[24]通過魯棒迭代學(xué)習(xí)控制方法,解決了一類連續(xù)非線性系統(tǒng)的非參數(shù)不確定性.文獻[20,23?24]均考慮控制增益與狀態(tài)有關(guān)的控制系統(tǒng),并且非線性函數(shù)滿足Lipschitz條件,特別地,所提出的控制方法,需要已知的信息包括:控制輸入增益的最小值與非線性函數(shù)的界函數(shù),然而實際系統(tǒng)中該界函數(shù)很難精確獲得.

迭代學(xué)習(xí)控制算法要求每次迭代開始時保證嚴(yán)格的初始定位,系統(tǒng)初態(tài)與參考軌跡的初值一致,然而實際系統(tǒng)的復(fù)位精度有限,往往會導(dǎo)致系統(tǒng)存在初始誤差,從而影響控制精度.因此,為提高系統(tǒng)的控制性能,解決初始定位問題是有意義的.重復(fù)學(xué)習(xí)控制,要求系統(tǒng)每次迭代的初值與前一次迭代的終值相同,且參考軌跡是封閉的,有效回避了迭代學(xué)習(xí)控制的初始定位問題.與重復(fù)控制不同的是,重復(fù)學(xué)習(xí)控制放寬了對周期的要求.文獻[9]提出重復(fù)學(xué)習(xí)控制方法,通過自適應(yīng)重復(fù)學(xué)習(xí)機制處理機械臂系統(tǒng)的常參數(shù)不確定性.文獻[25]考慮了迭代學(xué)習(xí)控制中5種不同的初始條件,其中第5種情況與重復(fù)學(xué)習(xí)控制的初始條件相同.如何通過重復(fù)學(xué)習(xí)控制解決非線性系統(tǒng)的非參數(shù)不確定性問題,是學(xué)習(xí)控制領(lǐng)域中一項重要的研究內(nèi)容,特別地,對于未知界函數(shù)情況下的非參數(shù)不確定性,目前幾乎未有相關(guān)的研究成果.

基于以上討論,本文針對一類在有限時間區(qū)間上執(zhí)行重復(fù)任務(wù)的不確定非線性系統(tǒng),提出一種用于解決滿足Lipschitz條件非參數(shù)不確定性問題的控制方法.該方法采用帶死區(qū)修正的學(xué)習(xí)律,對期望控制輸入與界函數(shù)平方進行估計,以避免參數(shù)的正向累加導(dǎo)致系統(tǒng)發(fā)散.通過該學(xué)習(xí)律設(shè)計重復(fù)學(xué)習(xí)控制器,采用帶死區(qū)的Lyapunov函數(shù),保證了閉環(huán)系統(tǒng)所有信號的有界性,并且實現(xiàn)了跟蹤誤差在有限時間區(qū)間上收斂于給定的鄰域.此外,所提出的控制方法能夠處理與狀態(tài)有關(guān)的非線性控制增益.與文獻[20,23?24]不同的是:1)對于滿足Lipschitz條件的非參數(shù)不確定系統(tǒng),本文并未假設(shè)其界函數(shù)已知.文中基于重復(fù)學(xué)習(xí)方法,對該界函數(shù)的平方進行估計.在已發(fā)表的相關(guān)文獻中,這一做法尚未見報道;2)本文設(shè)計帶死區(qū)修正的學(xué)習(xí)律,對該界函數(shù)的平方進行估計,這不僅方便了收斂性分析,并且避免了參數(shù)的正向疊加對系統(tǒng)收斂性能的影響,同時,利用帶死區(qū)的Lyapunov函數(shù),以保證系統(tǒng)跟蹤誤差收斂于給定的鄰域;3)本文所設(shè)計的重復(fù)學(xué)習(xí)控制算法,以盡可能少的系統(tǒng)模型信息(僅已知控制輸入增益最小值gmin)處理非參數(shù)不確定性,從而較少地依賴于系統(tǒng)信息,更方便于控制器的實現(xiàn).進一步,本文通過仿真與實驗驗證了所提控制方法的有效性.

1 問題描述

考慮一類不確定時變非線性系統(tǒng)

假設(shè)1.控制輸入增益函數(shù)符號已知,且存在常數(shù)gmin滿足.

注1.假設(shè)1中,要求為嚴(yán)格正的或者嚴(yán)格負(fù)的.不失一般性,本文假定,,其中g(shù)min為已知常數(shù).

假設(shè) 2.非線性函數(shù)滿足:,其中,定義Lipschitz系數(shù)(即時變函數(shù))分別為非線性項的界函數(shù).

注2.假設(shè)2中,在有限時間區(qū)間上為Lipschitz連續(xù),且本文并未要求界函數(shù)lf(t),lg(t)已知.

本文采用重復(fù)學(xué)習(xí)控制算法,受控系統(tǒng)應(yīng)具有如下屬性[9]:

屬性1.系統(tǒng)在有限時間區(qū)間上重復(fù)運行.

屬性2.期望狀態(tài)是給定且封閉的.

屬性3.系統(tǒng)每次運行的初值與前一次運行的終值一致.

屬性4.被學(xué)習(xí)的時變參數(shù)與迭代軸無關(guān).

屬性5.在所有作業(yè)區(qū)間中系統(tǒng)動態(tài)特性相同.

根據(jù)屬性1～5,系統(tǒng)(1)在有限時間區(qū)間[0,T]上重復(fù)運行,滿足:

其中,k=0,1,2,···為迭代次數(shù).

本文控制目標(biāo)為,針對系統(tǒng)(2),設(shè)計重復(fù)學(xué)習(xí)控制器uk(t),使得系統(tǒng)狀態(tài)隨著迭代次數(shù)k的增加,在有限時間區(qū)間[0,T]上收斂于給定的期望狀態(tài).

其中,

未知期望控制輸入ud滿足:

使得

為了實現(xiàn)上述控制目標(biāo),本文設(shè)計重復(fù)學(xué)習(xí)控制算法以處理式(7)中的不確定性.文中對未知期望控制輸入ud進行估計,得到;分析非線性項,針對其界函數(shù)的平方設(shè)計學(xué)習(xí)律,以估計值修正控制輸入uk.第2節(jié)設(shè)計重復(fù)控制算法,給出該算法穩(wěn)定性與收斂性分析;第3節(jié)通過仿真算例及電機實驗結(jié)果表明該控制算法的有效性.

2 RLC的設(shè)計與分析

針對系統(tǒng)(2),設(shè)計帶死區(qū)修正的學(xué)習(xí)律,估計非線性不確定性的界函數(shù),進一步,以獲得的估計值設(shè)計重復(fù)學(xué)習(xí)控制器,從而實現(xiàn)跟蹤誤差收斂于給定的鄰域.

定義死區(qū)函數(shù)

其中,為給定常數(shù).

依據(jù)假設(shè)2,整理式(9)得

其中,lf,lg為未知參數(shù).

基于式(10),設(shè)計如下控制律

設(shè)計如下學(xué)習(xí)律

注3.設(shè)計帶死區(qū)修正的學(xué)習(xí)律(12)～(14),1)避免了系統(tǒng)在有限時間運行后,跟蹤誤差在零點附近不斷累加導(dǎo)致被學(xué)習(xí)參數(shù)發(fā)散;2)當(dāng)跟蹤誤差進入誤差帶后,將不再進行參數(shù)估計.

注4.文獻[20]中對于滿足Lipschitz條件的非線性函數(shù),要求其界函數(shù)已知,但實際系統(tǒng)往往難以精確獲得其界函數(shù),這將影響系統(tǒng)的控制性能.本文通過帶死區(qū)修正的學(xué)習(xí)律(13)和(14)對該界函數(shù)的平方進行估計,使得所設(shè)計的控制算法較少地依賴于系統(tǒng)本身,從而更適合應(yīng)用于實際系統(tǒng).

將式(11)代入式(10)得:

因此,L0(t)在t∈[0,T]上有界,由式(22)知Lk(T)有界,根據(jù)Lk(t)定義知,有界.由式(21)知:

因此,?k={0,1,2,···},Lk(t) 在t∈[0,T]上有界;由Lk(t)的定義知,Vk(t)在t∈[0,T]上有界;由Vk(t)的定義知,ek(t)在t∈[0,T]上有界.

由式(22)知,對于任意K>1,

注5.定理1對界函數(shù)的平方及期望控制輸入ud采用帶死區(qū)修正的估計律,設(shè)計重復(fù)學(xué)習(xí)控制器,在僅僅已知gmin的情況下,實現(xiàn)了跟蹤誤差收斂于鄰域.

3 仿真與實驗

為了驗證文中提出的控制算法的有效性,第3.1節(jié)對小車倒擺系統(tǒng)進行仿真;第3.2節(jié)在電機平臺上實現(xiàn)該控制算法,并給出實驗結(jié)果.

3.1 仿真算例

小車倒擺系統(tǒng)可由系統(tǒng)(1)描述,其中

這里,n=2,x1為倒擺桿的角位移,x2為倒擺桿的角速度,u是控制輸入;g0=9.8m/s為重力常數(shù);M=1.0kg,m=0.1kg分別為小車和倒擺桿的質(zhì)量;l=0.5m為擺桿長度的一半.給定參考軌跡為.系統(tǒng)初始狀態(tài)設(shè)為x1(0)=0,x2(0)=0.2π,非線性函數(shù)g(x,t)的下界為gmin=1.39.分別選取矩陣A,Q為

解Lyapunov方程ATP+PA=?Q得:

采用重復(fù)學(xué)習(xí)控制器(11),學(xué)習(xí)律(12)～(14),其中控制器參數(shù)分別為. 定義性能指標(biāo).系統(tǒng)運行28個周期,仿真結(jié)果如圖1～5所示.圖1刻畫了性能指標(biāo)Jk,由圖1知隨著迭代次數(shù)的增加,系統(tǒng)跟蹤誤差逐步收斂.圖2給出第28次迭代的控制輸入uk.圖3給出參考輸入的估計的變化過程.圖4與圖5分別為界函數(shù)平方的估計在28 次迭代中的變化情況.

圖1 誤差性能指標(biāo)JkFig.1 Error performance indexJk

3.2 實驗結(jié)果

交流電機實驗平臺,包括旋轉(zhuǎn)電機(APMSBN01AGN,額定功率100W,額定電壓200V,額定轉(zhuǎn)速3000r/s);光電增量編碼器(分辨率24000線/轉(zhuǎn));智能伺服驅(qū)動(ELMO HAR-5/60-3);DSP控制器(SEED-DEC2812V2.1開發(fā)板)及上位機(DELL計算機).上位機通過CCS STUDIO將編譯好的程序下載至DSP開發(fā)板,通過D/A模塊轉(zhuǎn)換為伺服驅(qū)動ELMO所需的模擬信號(±10V電壓),將該模擬信號傳入ELMO驅(qū)動器獲得PWM三相電壓驅(qū)動電機,同時ELMO通過光電增量編碼器接收電機信號,將該信號通過反饋通道輸出至DSP開發(fā)板形成閉環(huán)控制系統(tǒng).

圖2 第28次迭代的控制輸入ukFig.2 The control inputukat the 28th iteration

圖3 參考輸入估計kFig.3Estimatek

圖4 界函數(shù)估計f,kFig.4 Estimate of the bound functionf,k

圖5 界函數(shù)估計?lg,kFig.5 Estimate of the bound function?lg,k

給定參考軌跡

其中,正弦信號的頻率f=2Hz.分別選取矩陣A,Q為

解Lyapunov方程得:

采用控制律(11),學(xué)習(xí)律(12)～(14),其中參數(shù)分別為,采樣時間t=1ms.定義,其中c=0.01.實驗結(jié)果如圖6～11所示.

圖6刻畫了位置跟蹤誤差的性能指標(biāo)在17次迭代過程中的變化情況,在第14次迭代以后誤差保持在0.3鄰域內(nèi).圖7給出系統(tǒng)的位置跟蹤誤差.圖8為控制輸入uk.圖9描述了參考輸入的估計,由圖8和9知,隨著迭代次數(shù)的增加,逐步逼近控制輸入uk.圖10和11分別給出界函數(shù)平方的估計.由實驗結(jié)果知,針對交流電機采用重復(fù)學(xué)習(xí)控制律,隨著迭代次數(shù)的增加,能夠保證跟蹤誤差收斂于死區(qū)界定的鄰域.

圖6 誤差性能指標(biāo)JkFig.6 Error performance indexJk

圖7 位置跟蹤誤差e1Fig.7 Position tracking errore1

圖8 控制輸入ukFig.8 Control inputuk

圖9 參考輸入的估計kFig.9Control inputk

圖10 界函數(shù)估計f,kFig.10 Estimate of the bound functionf,k

為了進一步說明本文所提方法的有效性,下面采用文獻[20]中所提方法設(shè)計控制器(31),并給出對比的實驗結(jié)果.

設(shè)計期望控制的學(xué)習(xí)律為

選用參考軌跡(28),采樣時間為1ms.選取式(29)中的矩陣A,Q,則矩陣P為式(30).

2)選取不同的gmin進行對比.控制器(31)的參數(shù)為,1250,1500;基于重復(fù)學(xué)習(xí)方法所設(shè)計的控制器(11) 的參數(shù)為.實驗結(jié)果如圖15～17所示.

圖12 誤差性能指標(biāo)Jk(其中三條虛線為控制器(31)的實驗結(jié)果,實線為控制器(11)的實驗結(jié)果)Fig.12 Error performance indexJk(the three dotted lines are the result by controller(31),the solid line is the result by controller(11))

圖13 控制輸入uk(其中三條虛線為控制器(31)的實驗結(jié)果,實線為控制器(11)的實驗結(jié)果)Fig.13 Control inputuk(the three dotted lines are the result by controller(31),the solid line is the result by controller(11))

圖14 參考輸入的估計k(其中三條虛線為控制器(31)的實驗結(jié)果,實線為控制器(11)的實驗結(jié)果)Fig.14Control inputk(the three dotted lines are the result by controller(31),the solid line is the result by controller(11))

由圖12與圖15可以看出,文獻[20]所提的控制方法與本文所設(shè)計的控制方法,均可用于處理非線性系統(tǒng)存在的非參數(shù)不確定性,實現(xiàn)跟蹤誤差在有限時間區(qū)間上的收斂.本文所設(shè)計的控制器(11),在僅已知gmin的情況下,并且不使用高控制增益與較大的先驗值gmin時,與控制器(31)相比,具有較好的跟蹤精度.圖13和14,圖16和17分別給出控制輸入uk及其估計k的變化過程.由圖12、圖15知,當(dāng)控制器(31)的控制增益γ與gmin分別增大時,其跟蹤誤差逐漸減小,然而圖13和14表明,其控制輸入逐漸發(fā)散.

實驗結(jié)果表明,本文給出的重復(fù)學(xué)習(xí)控制算法,在僅已知控制輸入增益的最小值gmin的情況下,盡可能少地依賴于系統(tǒng)模型,并且獲得了良好的控制性能,這一結(jié)果進一步驗證了該方法的有效性.

圖15 誤差性能指標(biāo)Jk(其中三條虛線為控制器(31)的實驗結(jié)果,實線為控制器(11)的實驗結(jié)果)Fig.15 Error performance indexJk(the three dotted lines are the result by controller(31),the solid line is the result by controller(11))

圖16 控制輸入uk(其中三條虛線為控制器(31)的實驗結(jié)果,實線為控制器(11)的實驗結(jié)果)Fig.16 Control inputuk(the three dotted lines are the result by controller(31),the solid line is the result by controller(11))

4 結(jié)論

本文研究一類不確定非線性系統(tǒng)的非參數(shù)不確定性問題,并基于Lyapunov分析方法設(shè)計控制器.為了處理滿足Lipschitz條件的非參數(shù)不確定性,提出一種重復(fù)學(xué)習(xí)控制算法.該算法較少地依賴于系統(tǒng)模型,在僅已知控制輸入增益最小值gmin的情況下,通過對滿足Lipschitz條件的界函數(shù)進行估計,處理系統(tǒng)存在的非參數(shù)不確定性.文中采用帶死區(qū)修正的學(xué)習(xí)律,以避免參數(shù)的正向累加影響系統(tǒng)的收斂性.同時,本文設(shè)計帶死區(qū)的Lyapunov函數(shù),以保證跟蹤誤差收斂于給定的鄰域及閉環(huán)系統(tǒng)所有信號的有界性.此外,該控制方法能夠處理與狀態(tài)有關(guān)的非線性控制增益.進一步,通過仿真與實驗結(jié)果,驗證了本文所提控制方法的有效性.

圖17 參考輸入的估計k(其中三條虛線為控制器(31)的實驗結(jié)果,實線為控制器(11)的實驗結(jié)果)Fig.17Control inputk(the three dotted lines are the result by controller(31),the solid line is the result by controller(11))