遵循學(xué)生的數(shù)學(xué)思維規(guī)律教學(xué)
——“等比數(shù)列（第1課時(shí)）”教學(xué)設(shè)計(jì)與思考

/錢淑華 查曉東

一、教材分析

1.教材的地位和作用。

“等比數(shù)列”是蘇教版必修5第2章“數(shù)列”第3節(jié)中的知識(shí)，其主要內(nèi)容包括等比數(shù)列的概念，等比中項(xiàng)和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，以及這三者的應(yīng)用。這節(jié)課有著承上啟下的作用，“承上”體現(xiàn)在承接了等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí)和方法，“啟下”體現(xiàn)在為等比數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)和的探究提供了方法和理論基礎(chǔ)。

利用數(shù)列知識(shí)的特性，利用等比數(shù)列與等差數(shù)列內(nèi)容和思想方法上的相似性，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的探究，提高學(xué)生的觀察、分析、猜想、歸納、類比的綜合思維能力，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

2.教材的處理。

為調(diào)動(dòng)學(xué)生的探求欲望，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，從生活中的例子引入，結(jié)合學(xué)生自己的舉例，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)源于生活。在與等差數(shù)列的類比中，通過教師由淺入深的問題設(shè)置，引導(dǎo)學(xué)生自主探究、合作交流、共享提升，完成等比數(shù)列的學(xué)習(xí)。另外，利用好教材上的例題和課后的練習(xí)，讓其發(fā)揮更大的價(jià)值。在問題設(shè)置和例題變題中加深學(xué)生對(duì)等比數(shù)列概念及其通項(xiàng)公式的理解，初步掌握等比數(shù)列的常規(guī)解題思路和技巧。

二、學(xué)生認(rèn)知水平分析

學(xué)生已經(jīng)系統(tǒng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，具備了研究特殊數(shù)列的基本思路和方法。

對(duì)于數(shù)列中歸納的思想、方程的思想，在等差數(shù)列的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已有體會(huì)。

三、基于核心素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)分析

知識(shí)目標(biāo)：理解等比數(shù)列的概念，掌握等比中項(xiàng)的定義，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及公式的推導(dǎo)方法，并會(huì)利用概念判斷等比數(shù)列，利用通項(xiàng)公式解決等比數(shù)列的基本量的運(yùn)算。

能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、猜想、歸納、類比的綜合思維能力，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

情意目標(biāo)：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值、文化價(jià)值和科學(xué)價(jià)值，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)、了解數(shù)學(xué)文化的積極態(tài)度；通過主動(dòng)探究、合作學(xué)習(xí)、相互交流，培養(yǎng)學(xué)生互助合作的學(xué)習(xí)習(xí)慣，形成勇于探索的良好品質(zhì)，增強(qiáng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)。

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)目標(biāo)：見表1。

四、教法學(xué)法分析

歸納與類比的思想貫穿了本節(jié)課的始終。利用類比，聯(lián)系等差數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式的學(xué)習(xí)方法，設(shè)置問題串，引導(dǎo)學(xué)生自主探究、合作共享，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，突出學(xué)生的主體作用，體現(xiàn)教為主導(dǎo)、學(xué)為主體的教學(xué)思想。

五、重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：等比數(shù)列的概念及等比數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)。

難點(diǎn)：等比數(shù)列概念的形成和理解，通項(xiàng)公式的推導(dǎo)和證明。

六、教學(xué)過程

1.情境引入。

（1）用生活中的例子引入：《舌尖上的中國(guó)》第一季中，曾經(jīng)介紹了一種主食——蘭州拉面，你們吃過嗎？見過拉面是怎么來的嗎？從最初的1根，變成2根，4根，8根……如果你是拉面師傅，你能拉出幾根？

（2）我們今天要研究的就是這個(gè)數(shù)列：1，2，4，8，16，32，……，512。

①這個(gè)數(shù)列，是我們前面學(xué)習(xí)的等差數(shù)列嗎？

②這個(gè)數(shù)列是否有和等差數(shù)列相類似的特殊性？

③你能給這個(gè)數(shù)列起個(gè)名字，下個(gè)定義嗎？怎么會(huì)想到起這個(gè)名字？

（設(shè)計(jì)意圖：從生活中的實(shí)例引入，調(diào)動(dòng)學(xué)生上課的熱情，提高學(xué)生的課堂投入度。培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看待生活，觀察問題時(shí)善于從表象逐步過渡到本質(zhì)，從具體抽象到一般（從生活到數(shù)學(xué)）；解決問題時(shí)善于將數(shù)學(xué)概念和定理具體化，用于認(rèn)識(shí)并解決現(xiàn)實(shí)中的問題（從數(shù)學(xué)到生活）。通過對(duì)等差數(shù)列概念的回顧，通過新數(shù)列與等差數(shù)列的對(duì)比，引出本節(jié)課的主題。在給新數(shù)列起名這一環(huán)節(jié)，已經(jīng)蘊(yùn)含了類比的思想在里面。）

2.概念生成。

（1）引導(dǎo)學(xué)生類比等差數(shù)列的定義來描述，注重語言描述的規(guī)范性和嚴(yán)謹(jǐn)性。

（2）尋找生活中、以往學(xué)習(xí)中遇到的等比數(shù)列的例子，學(xué)生小組討論、交流，班級(jí)分享，教師補(bǔ)充。

①教材上的例子：細(xì)胞分裂；一尺之棰，日取其半，萬世不竭。

②生活中的例子：銀行貸款利息支付問題，汽車折舊問題。

③其他例子：放射性元素的衰變問題；《九章算術(shù)》中“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”古代詩(shī)歌“遠(yuǎn)望巍峨塔七層，紅燈向下成倍增，共燈三百八十一，試問塔頂幾盞燈？”

④小結(jié)：這些例子讓我們真真切切地感受到：數(shù)學(xué)源于生活，并用于生活。

（3）比較等比數(shù)列和等差數(shù)列的定義，僅一字之差，變化在哪兒？引導(dǎo)學(xué)生思考這一字的變化對(duì)等比數(shù)列的項(xiàng)和公比提出的要求。

表1

（4）兩個(gè)數(shù)列之間有不同，也有很多的相似。既然如此相似，請(qǐng)大家思考兩個(gè)問題：我們可以用什么方法去研究等比數(shù)列？我們?nèi)パ芯康缺葦?shù)列的哪些內(nèi)容？再次深化利用類比的方法，借助等差數(shù)列研究的內(nèi)容和方法去研究等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和及應(yīng)用。

（5）引出本節(jié)課的主要任務(wù)：等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式。

（設(shè)計(jì)意圖：通過小組討論的形式，來分享本小組認(rèn)為最有價(jià)值的例子，加深對(duì)等比數(shù)列概念的認(rèn)識(shí)，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生合作探究、合作學(xué)習(xí)的能力。引導(dǎo)學(xué)生得到本節(jié)課的重要研究方法——類比，后續(xù)等比數(shù)列的研究?jī)?nèi)容和研究方法都可以類比等差數(shù)列進(jìn)行。在兩個(gè)數(shù)列概念的比較中，尋找兩個(gè)數(shù)列的差異，歸納出等比數(shù)列的個(gè)性之處。）

3.概念深化。

（1）通過兩個(gè)例題加深對(duì)概念的理解。

例1：判斷下列數(shù)列是否為等比數(shù)列。若是，求出公比。

（設(shè)計(jì)意圖：通過正反例題的辨析，讓學(xué)生進(jìn)一步理解定義中關(guān)鍵詞的意義，深化學(xué)生對(duì)“等比”這一本質(zhì)特征的認(rèn)識(shí)。例題的第5小題，體現(xiàn)了由具體到抽象，由特殊到一般，再次強(qiáng)化了類比思想，培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力、抽象概括能力。第5小題還有變式：an=3n+1還是等比數(shù)列嗎？在對(duì)變式的講解與分析中，教師可歸納總結(jié)“證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列”和“說明一個(gè)數(shù)列不是等比數(shù)列”的不同處理手段。）

（設(shè)計(jì)意圖：通過練習(xí)，深化學(xué)生使用定義解決問題的意識(shí)，讓學(xué)生深刻理解概念是解決問題的有力工具。在本題的講解中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生思考：若a，G，b成等比數(shù)列，則G2=ab，反之成立嗎？給出實(shí)數(shù)a，b，一定存在等比中項(xiàng)嗎？滿足什么條件才有等比中項(xiàng)？有幾個(gè)？）

4.公式推導(dǎo)。

①你能寫出該數(shù)列的第5項(xiàng)，第100項(xiàng)嗎？在蘭州拉面例子中的數(shù)列，你能寫出它的通項(xiàng)公式嗎？

②你是用哪些量來計(jì)算上述數(shù)列的第100項(xiàng)，刻畫數(shù)列的通項(xiàng)公式的？

③你又是用什么方法得到通項(xiàng)公式的呢？

（設(shè)計(jì)意圖：通過問題串的形式指出研究通項(xiàng)公式的合理性和必要性。引導(dǎo)學(xué)生類比等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法（累加法），類比得到累乘法。類比的思想在“累乘法”的引出時(shí)得到了進(jìn)一步強(qiáng)化。在累乘法的推導(dǎo)中還要注意嚴(yán)謹(jǐn)性。）

例3：已知等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=3×2n，求首項(xiàng) a1和公比 q。

例4：在等比數(shù)列{an}中，①已知 a1=3，q=-2，求 a6；②已知 a1=1，q=2，an=16，求 n；③已知 a3=20，a6=160，求 an。

（設(shè)計(jì)意圖：例3的設(shè)置旨在從函數(shù)的角度來研究數(shù)列。函數(shù)思想是高中數(shù)學(xué)重要的思想之一，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的角度去認(rèn)識(shí)數(shù)列、理解數(shù)列、靈活解題，為今后利用函數(shù)思想解決數(shù)列綜合題作鋪墊。例4的設(shè)置則是從方程的角度研究數(shù)列。方程的思想在等差數(shù)列的學(xué)習(xí)中已有涉及，此處的設(shè)計(jì)意在強(qiáng)化學(xué)生對(duì)比的認(rèn)識(shí)。）

5.總結(jié)升華。

（1）回到一開始的兩個(gè)問題：“我們可以用什么方法去研究等比數(shù)列？我們?nèi)パ芯康缺葦?shù)列的哪些內(nèi)容？”你是不是有更深的認(rèn)識(shí)了？請(qǐng)起來分享一下你的認(rèn)識(shí)與收獲。

（2）教師點(diǎn)評(píng)，小結(jié)。

知識(shí)層面，學(xué)習(xí)了等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式以及延伸的相關(guān)知識(shí)。方法層面，體驗(yàn)了對(duì)具有相似性的兩個(gè)問題，類比是一個(gè)很好的研究方法。方程的思想，歸納的思想在本節(jié)課中同學(xué)們已經(jīng)深有體會(huì)了。等比數(shù)列的研究還沒有結(jié)束，還有性質(zhì)、前n項(xiàng)和等有待探討。同學(xué)們可以課后自行去探索，看看能類比總結(jié)出等比數(shù)列的哪些性質(zhì)。

6.學(xué)以致用。

（1）完成書上第 54 頁(yè)的1，4，5，6，8，10，12題。

（2）一位科學(xué)家曾豪言：你如果能將一張紙對(duì)折38次，我就能順著它爬上月球。請(qǐng)課后去算算（紙張厚度以0.07mm為標(biāo)準(zhǔn)），這位科學(xué)家為何敢夸下海口？

（3）利用身邊的資源（老師、父母、網(wǎng)絡(luò)、典籍等），去關(guān)注等比數(shù)列在生活中的應(yīng)用。

（設(shè)計(jì)意圖：作業(yè)的設(shè)置體現(xiàn)多樣性，既有鞏固課堂知識(shí)的練習(xí)題，也有課外探究題，以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣。第3題的設(shè)置讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)源于生活，又應(yīng)用于生活。）

【團(tuán)隊(duì)推薦】

“涵養(yǎng)基本素質(zhì)，提升課堂品質(zhì)”，這是2018年“杏壇杯”課堂教學(xué)展評(píng)活動(dòng)的主題。圍繞著這個(gè)主題，結(jié)合當(dāng)下教育界呼吁提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的現(xiàn)實(shí)狀況，錢淑華老師以參加此次活動(dòng)的教學(xué)設(shè)計(jì)為依托，進(jìn)行了一次數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的大膽嘗試。

“涵養(yǎng)”一詞言簡(jiǎn)意賅，而又韻味無窮，有滋潤(rùn)養(yǎng)育的意味，也就是說我們的課堂教學(xué)要將提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)滲透到教育教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)，需要我們有一種“潤(rùn)物細(xì)無聲”的意識(shí)。錢淑華老師通過教材分析、學(xué)生學(xué)情的解讀，結(jié)合本次活動(dòng)的主題擬定的這份教學(xué)設(shè)計(jì)，充分體現(xiàn)了錢老師對(duì)新課標(biāo)以及本次活動(dòng)主題的認(rèn)識(shí)和理解，筆者認(rèn)為這是一份有高度、有深度且不乏細(xì)節(jié)的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)。

情境引入，通過生活實(shí)際的有趣例子或者從數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)部產(chǎn)生的有趣問題引出課題，以此來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，這幾乎成了近些年來各類公開課的必要環(huán)節(jié)。而實(shí)踐表明，很多的情境設(shè)計(jì)生搬硬套的味道很重，因此一度有不少專家呼吁不如“開門見山”更自然一些。筆者認(rèn)為，錢老師的情境引入從“蘭州拉面”中抽象出等比數(shù)列的概念，不僅貼近學(xué)生的生活實(shí)際，體現(xiàn)數(shù)學(xué)源于生活，更讓學(xué)生充分感受到數(shù)學(xué)不僅是有用的，同樣也是有趣的，有效地調(diào)動(dòng)了學(xué)生的求知欲，開場(chǎng)就給學(xué)生一種自然而然的親近感，同時(shí)不知不覺間也讓學(xué)生感受到學(xué)習(xí)本課的必要性。

小組討論是很多公開課體現(xiàn)以學(xué)生為主體的主要方式，南京教科所左坤所長(zhǎng)在本次數(shù)學(xué)賽場(chǎng)點(diǎn)評(píng)中提出了一個(gè)令人深思的問題：“我們的課堂教學(xué)經(jīng)得起推敲嗎？”這表明在課堂教學(xué)的具體實(shí)施過程中，能做到由表及里的情況并不多見。錢老師在概念生成部分的設(shè)置引導(dǎo)學(xué)生從生活實(shí)際中抽象出等比數(shù)列的實(shí)例，一方面有利于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，同時(shí)讓全班學(xué)生一起參與思考、交流，也鍛煉了學(xué)生的表達(dá)能力和合作意識(shí)。此外，大量的實(shí)例也為概念最終的生成做好了充分的準(zhǔn)備，這是從一般到特殊，最終又回到一般的過程。

數(shù)學(xué)概念或者是人類智慧的千錘百煉的結(jié)晶，或者是數(shù)學(xué)家的頓悟，其概括性、抽象性、嚴(yán)謹(jǐn)性是不言而喻。因此筆者以為，學(xué)生對(duì)概念的理解從來都不是一蹴而就的。錢老師在教學(xué)設(shè)計(jì)的概念深化部分，通過等比數(shù)列的判定，從正反兩個(gè)方面讓學(xué)生充分感受數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)謹(jǐn)性，結(jié)合學(xué)生對(duì)等差數(shù)列的認(rèn)識(shí)和理解，不僅讓學(xué)生感受到等比數(shù)列作為數(shù)列的“共性”以及其特有的“個(gè)性”，同時(shí)滲透了對(duì)含有邏輯連接詞的命題的否定的相關(guān)知識(shí)，為學(xué)生今后學(xué)習(xí)簡(jiǎn)易邏輯知識(shí)埋下伏筆。

類比和歸納是我們數(shù)學(xué)邏輯思維的兩種最重要的途徑：從等比數(shù)列的定義出發(fā)，類比等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，通過推導(dǎo)等比數(shù)列通項(xiàng)公式，讓學(xué)生理解an與基本量a1，q的關(guān)系，并充分體驗(yàn)類比思想在數(shù)學(xué)中的作用；通過等比數(shù)列指定項(xiàng)的探求來推測(cè)通項(xiàng)，這種從特殊到一般的思維過程也恰恰是華羅庚先生“退步解題”思想的體現(xiàn)。