基于混合策略粒子群算法的含水層參數(shù)確定

段國(guó)榮，劉元會(huì)

(長(zhǎng)安大學(xué)理學(xué)院，西安 710064)

0 引 言

在地下水研究中,經(jīng)常遇到有關(guān)含水層參數(shù)的估計(jì)問(wèn)題。含水層參數(shù)是否可靠,決定地下水模擬計(jì)算的準(zhǔn)確性。目前,估計(jì)含水層參數(shù)的主要方法是通過(guò)分析抽水試驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)確定,在這方面許多專(zhuān)家進(jìn)行了大量的研究。標(biāo)準(zhǔn)曲線配線法[1],時(shí)間定律法(Law of Times)和拐點(diǎn)法(Method of Inflection Point)[2],非線性最小二乘法[3,4],線性回歸法[5], Sushil K.S.方法[6,7]和直線圖解法[8]等是分析抽水試驗(yàn)數(shù)據(jù)的傳統(tǒng)方法,但這些方法在實(shí)際應(yīng)用中存在局限性。近年來(lái),智能優(yōu)化算法被廣泛用于解決含水層參數(shù)問(wèn)題,例如粒子群優(yōu)化算法[9],混沌人工魚(yú)群混合算法[10],改進(jìn)粒子群算法[11], 單純形-粒子群混合算法[12],單純形差分進(jìn)化混合算法[13]和改進(jìn)的花粉算法[14]等方法。郭建青,李彥等將粒子群優(yōu)化算法[9]應(yīng)用于確定含水層參數(shù),但該算法對(duì)粒子數(shù)目的大小依賴(lài)性很強(qiáng)。袁帆,劉元會(huì)等利用單純形-粒子群混合算法[18]計(jì)算含水層參數(shù)的問(wèn)題,但計(jì)算結(jié)果精度不高,且粒子數(shù)目的大小和待估參數(shù)取值范圍對(duì)算法的收斂性有較大的影響。粒子群優(yōu)化算法[9]容易實(shí)現(xiàn),但常出現(xiàn)收斂速度慢,精度差和易陷入局部極值等缺陷。因此,本研究給出緊湊度和調(diào)度處理[15]的概念,與粒子群優(yōu)化算法相結(jié)合,組成一種混合策略粒子群優(yōu)化算法,即PCS-PSO算法。將PCS-PSO算法用于分析無(wú)限延伸含水層和直線隔水邊界含水層條件下的抽水試驗(yàn)數(shù)據(jù),求解含水層參數(shù),試圖為含水層參數(shù)的確定提供一種新的方法。

1 優(yōu)化算法簡(jiǎn)介

1.1 PCS-PSO算法的思想

為避免粒子群優(yōu)化算法出現(xiàn)收斂速度慢,精度差,易陷入局部極值等缺陷,本研究對(duì)其進(jìn)行了改進(jìn),改進(jìn)方案如下。

(1)局部搜索。為了避免粒子群優(yōu)化算法陷入局部最優(yōu),提出了緊湊度[16]的概念,若粒子處于緊湊狀態(tài)時(shí),能夠加強(qiáng)粒子群優(yōu)化算法的局部搜索能力。這里給定緊湊度閾值 來(lái)判斷相鄰兩粒子是否處于緊湊狀態(tài)。

(2)提高算法尋優(yōu)精度及收斂速度[16]。通過(guò)調(diào)度處理[16]中調(diào)度系數(shù) 的控制,能夠保證被調(diào)度的粒子在全局最優(yōu)解 周?chē)M(jìn)行深度搜索,這樣既能夠提高算法的尋優(yōu)精度,又能加快算法的收斂速度。

(3)全局搜索[16]。以一定的小概率[16]隨機(jī)改變粒子的當(dāng)前位置而不受全局最優(yōu)解 的影響,由于小概率 的約束,能夠提高全局搜索能力。

1.2 PCS-PSO算法的步驟

步驟1:初始化PCS-PSO算法的相關(guān)參數(shù)。

步驟2:評(píng)價(jià)各粒子的適應(yīng)度值,保存粒子個(gè)體和全局最優(yōu)位置及最優(yōu)解。

步驟3:若t

步驟4:更新各粒子的速度和位置,并更新粒子個(gè)體和全局的最優(yōu)解。

步驟5:將各粒子的適應(yīng)度值進(jìn)行降序排列。

步驟6:計(jì)算兩粒子間適應(yīng)度差值H,引入小概率p1,若H

步驟7:若pg小于收斂精度e1或pg的誤差小于相似度[17], 則k=k+1,否則轉(zhuǎn)到步驟3。

步驟8:輸出結(jié)果。

2 目標(biāo)函數(shù)與控制條件

2.1 降深表達(dá)式

(1)各向同性、均質(zhì)和無(wú)限延伸條件下的降深計(jì)算公式。根據(jù)地下水動(dòng)力學(xué)中的迭加原理,含水層中任一位置的降深可由兩部分疊加得到,即虛擬映射注水井注水和抽水實(shí)井抽水分別在該位置產(chǎn)生降深的疊加。無(wú)限延伸含水層條件下井孔的位置關(guān)系[5]如圖1所示。

圖1 無(wú)限延伸含水層條件下井孔的位置Fig.1 The position of well hole under the condition of infinitely aquifer

該情況下,含水層中任一位置的降深表達(dá)式為[18]：

s=s1+s2=[w(u1)-w(u2)]Q/4 πT

(1)

式中:T表示含水層導(dǎo)水系數(shù),m2/min;Q表示抽水流量,m3/min;s1表示實(shí)井抽水引起的降深,m;s2表示虛擬映射注水井注水引起的降深,m;w(u1)和w(u2)分別表示相應(yīng)的抽水實(shí)井和虛擬映射注水井的井函數(shù),無(wú)量綱,其表達(dá)式分別為:

(2)

式中：u1和u2為無(wú)量綱時(shí)間,表達(dá)式分別為:

(3)

式中:r是抽水實(shí)井與觀測(cè)井的距離,m;r′是虛擬映射井與觀測(cè)井的距離,m;t為抽水持續(xù)時(shí)間，min;S為儲(chǔ)水系數(shù),無(wú)量綱。

由式(2)可知,需要計(jì)算廣義積分值,利用R.Srivastava的泰斯井函數(shù)近似表達(dá)式[19]進(jìn)行計(jì)算:

W(u)=-Inu+a0+a1u+a2u2+a3u3+a4u4+a5u5,u≤1

(4)

(5)

其中的常數(shù)值分別為:a0=-0.577 72,a1=0.999 99,a2=-0.249 1,a3=-0.055 19,a4=-0.009 76,a5=0.001 08,b1=8.634 76,b2=18.059 02,b3=8.573 30,c0=3.958 50,c1=21.099 65,c2=25.632 96,c3=9.573 32。

(2)直線隔水邊界條件下的降深計(jì)算公式。直線隔水邊界含水層情況下,而其他條件與無(wú)限延伸含水層情況相同,觀測(cè)孔中水位降深的表達(dá)式如下:

(6)

2.2 目標(biāo)函數(shù)的構(gòu)成

應(yīng)用PCS-PSO算法時(shí),要求待估參數(shù)向量 使如下目標(biāo)函數(shù)值達(dá)到最小,即:

(7)

式中:θ表示待估參數(shù)向量;s0i為開(kāi)始抽水后第i時(shí)刻的實(shí)際水位降深;si為計(jì)算得到的第i時(shí)刻的水位降深;在無(wú)限延伸含水層條件下,利用式(1)計(jì)算水位降深si,在直線隔水邊界含水層條件下,利用式(6)計(jì)算水位降深si,i=1,2,…,m表示抽水試驗(yàn)中水位降深的觀測(cè)時(shí)間序列號(hào)。

2.3 算法參數(shù)控制

經(jīng)過(guò)大量試驗(yàn)分析,本研究選取緊湊度閾值Hth=100,小概率p1=0.05,調(diào)度系數(shù)c3=1.0,粒子數(shù)目維度N=20,最大迭代次數(shù)gen=200,根據(jù)文獻(xiàn)[20],含水層導(dǎo)水系數(shù)T∈[2.5,3.5] m2/min,儲(chǔ)水系數(shù)S∈[0.050,0.070],觀測(cè)井與虛擬映射井的距離r′∈[100,130] m,收斂精度e1=5×10-5,計(jì)算相似度[13]e2=10-9,最優(yōu)累計(jì)次數(shù)[13]K=20。

3 算 例

算例1引自文獻(xiàn)[14]。無(wú)限含水層條件下原始抽水試驗(yàn)的觀測(cè)數(shù)據(jù)見(jiàn)表1,試驗(yàn)中抽水流量Q=4.543 m3/min,離抽水主井30.48 m處有一個(gè)觀測(cè)孔。

表1 原始抽水試驗(yàn)數(shù)據(jù)(無(wú)限含水層)Tab.1 The drawdown& time in pumping test in infinitely aquifer

算例2引自文獻(xiàn)[13]。直線隔水邊界含水層條件下原始抽水試驗(yàn)的觀測(cè)數(shù)據(jù)見(jiàn)表2,試驗(yàn)中抽水流量Q=4.581 m3/min, 離抽水主井30.48 m處有一個(gè)觀測(cè)孔。

表2 原始抽水試驗(yàn)數(shù)據(jù)(直線隔水邊界)Tab.2 The drawdown& time in pumping test in the aquifer with impermeable boundary

3.1 不同方法計(jì)算結(jié)果的比較

表3提供了PCS-PSO算法和相關(guān)文獻(xiàn)中的其他方法在無(wú)限延伸含水層條件下求解含水層參數(shù)的結(jié)果。

表3 不同方法的計(jì)算結(jié)果Tab.3 The results of different methods

由表3可知,由PCS-PSO算法求解無(wú)限延伸含水層條件下的含水層參數(shù)時(shí),得到的目標(biāo)函數(shù)值 的精度優(yōu)于其他方法,計(jì)算時(shí)間為0.588 s,因此,PCS-PSO算法對(duì)含水層參數(shù)的計(jì)算是可靠的,運(yùn)算速度也比較快。

3.2 直線隔水邊界含水層條件下的參數(shù)計(jì)算

采用表2的數(shù)據(jù),利用PCS-PSO算法計(jì)算得到的3個(gè)參數(shù)分別為T(mén)=3.010 0 m2/min,S=0.066 2,r′=107.744 0 m,目標(biāo)函數(shù)值φ=4.260 1×10-6。為了驗(yàn)證PCS-PSO算法估計(jì)含水層參數(shù)的可靠性,將估計(jì)的3個(gè)參數(shù)代入式(6),得到水位降深計(jì)算值與觀測(cè)值的對(duì)比情況,如圖2所示。由圖2可知,隨時(shí)間變化過(guò)程中,計(jì)算的水位降深與實(shí)際觀測(cè)值非常吻合。因此,PCS-PSO算法同樣適用于分析直線隔水邊界下的抽水實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),對(duì)含水層參數(shù)的估計(jì)是可靠的。

圖2 原始數(shù)據(jù)與計(jì)算結(jié)果Fig.2 Initial data and the values of calculated

3.3 待估參數(shù)取值范圍對(duì)計(jì)算結(jié)果的影響

限于篇幅下面只研究無(wú)限延伸含水層條件下算法的優(yōu)點(diǎn)。表4是在其他試驗(yàn)條件不變,令待估參數(shù)取值范圍的上限為原來(lái)的2,4,6和8倍,運(yùn)行100次程序求計(jì)算結(jié)果的平均值。收斂率、平均迭代次數(shù)、平均最優(yōu)值及標(biāo)準(zhǔn)差見(jiàn)表4。由表4可知,隨著待估參數(shù)范圍的增大,PSO算法的收斂率快速下降,平均迭代次數(shù)快速上升,而PCS-PSO算法的收斂率保持不變,高達(dá)100%,平均迭代次數(shù)基本保持不變;PCS-PSO算法標(biāo)準(zhǔn)差的精度明顯高于PSO算法,由此可知PCS-PSO算法收斂速度較快,收斂性較好,穩(wěn)定性較好。

表4 待估參數(shù)取值范圍的上限擴(kuò)大為原來(lái)的不同倍數(shù)時(shí)PCS-PSO算法與PSO算法的計(jì)算結(jié)果Tab.4 The calculated results of PCS-PSO and PSO under being estimated parameters from the upper limit of the range expand to the original different multiples

4 結(jié) 論

數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明:PCS-PSO算法能有效地估計(jì)無(wú)限延伸含水層和直線隔水邊界含水層條件下的含水層參數(shù);PCS-PSO算法計(jì)算得到的目標(biāo)函數(shù)值φ(θ)精度優(yōu)于其他方法;擴(kuò)大待估參數(shù)取值范圍對(duì)PCS-PSO算法的收斂性及收斂速度影響很小,明顯優(yōu)于PSO算法;PCS-PSO算法估計(jì)含水層參數(shù)時(shí),精度高,收斂性好,收斂速度快,穩(wěn)定性好及尋優(yōu)率高。因此,PCS-PSO算法是分析抽水實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),確定含水層參數(shù)的有效方法。

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