深度學(xué)習(xí)下的“概念課教學(xué)”—以“一元二次方程”一課的教學(xué)為例

河北省井陘縣教師進(jìn)修學(xué)校 梁彥軍

深度學(xué)習(xí)是一種基于理解的學(xué)習(xí)，它強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)者批判性地學(xué)習(xí)新思想和知識，把它們納入原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，將已有的知識遷移到新的情境中，從而幫助決策、解決問題。

深度學(xué)習(xí)鼓勵(lì)學(xué)習(xí)者積極地探索、反思和創(chuàng)造，而不是反復(fù)記憶，深度學(xué)習(xí)意味著理解和批判、聯(lián)系與構(gòu)建、比較與反思、遷移與應(yīng)用。

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，概念課教學(xué)是個(gè)重點(diǎn)。學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，對教材出現(xiàn)的新概念 ，不可能是“無根之木”。因此，只有準(zhǔn)確把握學(xué)生的學(xué)習(xí)起點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生在原有認(rèn)知起點(diǎn)上對新的概念進(jìn)行同化與遷移才是有效的?；谧约憾嗄甑睦斫?，現(xiàn)以“一元二次方程”這一節(jié)課為切入點(diǎn)進(jìn)行解讀。

一、設(shè)計(jì)理念

“一元二次方程”是人教版九年級一節(jié)重要的概念課，它在初中數(shù)學(xué)中占有重要地位。從知識的發(fā)展來看，它是一元一次方程、方程組及不等式知識的延續(xù)和深化，也是今后學(xué)生學(xué)習(xí)可化為一元二次方程的方程、二次函數(shù)等知識的基礎(chǔ)。

學(xué)生之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程、整式、分式和二次根式，從知識結(jié)構(gòu)上看他們已經(jīng)具備了繼續(xù)探究一元二次方程的基礎(chǔ)，這個(gè)階段的學(xué)生自主探究和合作交流的能力很強(qiáng)，并且他們比較、分析、抽象和概括的能力也有很大提高。

因此本節(jié)課的設(shè)計(jì)是引導(dǎo)學(xué)生通過豐富的實(shí)例和數(shù)學(xué)活動思考，實(shí)現(xiàn)對“一元二次方程”這一數(shù)學(xué)概念的自主化“生長”，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步體會方程是刻畫現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型，感受一元二次方程在本章所具有的重要地位。

二、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

1.建立概念

第一步：創(chuàng)設(shè)問題情境

問題一：學(xué)校打算在校門口擺一個(gè)長8m，寬5m的矩形花壇，中央長方形圖案的面積為18m2，四周擺放紅色鮮花的花邊寬度相同，那么花邊有多寬？

教師：設(shè)花邊的寬x m，根據(jù)題意，請你列出方程。

問題二：國慶期間，學(xué)校要組織 “慶國慶籃球聯(lián)賽”，安排了單循環(huán)比賽15場，你知道共有多少班級報(bào)名參加此項(xiàng)比賽嗎？

教師：設(shè)報(bào)名參加比賽的班級為x個(gè)，根據(jù)題意，請你列出方程。

問題三：小明正在張貼國慶宣傳畫，一個(gè)長為3米的梯子斜靠在墻上，梯子頂端距地面的垂直距離是2.4米，若梯子頂端下滑0.4米，那么梯子的底端滑動多少米？

教師：設(shè)梯子的底端滑動x米，根據(jù)題意，請你列出方程。

（設(shè)計(jì)意圖：通過一系列實(shí)例把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型——方程）

第二步：分化各個(gè)刺激模式的共同屬性，抽象各個(gè)刺激模式的本質(zhì)屬性

教師板書：

教師：將以上三個(gè)方程進(jìn)行化簡，并按x的降冪排列。（2x2-13x+11=0，x2-x-30=0，x2+3.6x-1.76=0）

問題：觀察這些方程，它們是一元一次方程嗎？是二元一次方程嗎？是分式方程嗎？請說明理由。

追問：它們在形式上有何共同點(diǎn)？

學(xué)生通過觀察思考小組交流后說出自己的觀點(diǎn)。

第三步：對比是與非，確認(rèn)關(guān)鍵屬性

判斷下面幾個(gè)方程是否為一元二次方程，并說明理由。

（1）2x-1=0 （4）2x2+x=0

（2）x-2y=0 （5）2x2-1=0

（3）x2-x+5=0 （6）2x2=0

（1）（2）都不是，利用反例確認(rèn)概念的三個(gè)關(guān)鍵屬性；（3）是，同時(shí)具有三個(gè)關(guān)鍵屬性。（4）（5）（6）通過變換概念的非本質(zhì)特征而突出其本質(zhì)特征。

（深度學(xué)習(xí)是理解性的學(xué)習(xí)，在批判的基礎(chǔ)上理解知識）

第四步：歸納概括，生成新概念

教師：你能嘗試用自己的語言給一元二次方程下個(gè)定義嗎？（用“如果……，那么…… ”的形式）

學(xué)生用語言描述出一元二次方程的定義。

第五步 用數(shù)學(xué)語言和符號表示概念

（學(xué)生說，教師板書）如果方程是只含有一個(gè)未知數(shù)的整式方程，并且可化為ax2+bx+c=0（a，b，c為常數(shù)，a≠0）的形式，那么我們把它叫作一元二次方程。

教師：一元二次方程的定義中哪些是本質(zhì)屬性？

學(xué)生回答：只含有一個(gè)未知數(shù)、整式方程、可化為ax2+bx+c=0（a≠0）。

教師：把a(bǔ)x2+bx+c=0（a，b，c為常數(shù)，a≠0）稱為一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分別稱為二次項(xiàng)，一次項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng)，a，b分別稱為二次項(xiàng)系數(shù)和一次項(xiàng)系數(shù)。

2.變式訓(xùn)練

練習(xí)1：把下列方程化為一元二次方程的一般形式，并寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。

（1）3x2=5x-1 （2）（x+2）（x-1）=6 （3）4-7x2=0

練習(xí) 2：關(guān)于x的方程（m2-1）x2+（m -1）x -2=0。（1）當(dāng)m滿足什么條件時(shí)，是一元二次方程？（2）當(dāng) m滿足什么條件時(shí)，是一元一次方程？

（深度學(xué)習(xí)意味著能結(jié)合已有的知識經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)過同化或順應(yīng)，理解概念，并在此基礎(chǔ)上，將該知識納入原有知識結(jié)構(gòu)中）

練習(xí) 3：請同學(xué)們將下列方程合理進(jìn)行分類。方程、整式方程、分式方程、一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程。

學(xué)生小組合作，讓學(xué)生用不同形式展示（集合、方框、大括號等）。

（建立前后概念有意義的聯(lián)系，在頭腦中形成清晰正確的概念網(wǎng)絡(luò)。深度學(xué)習(xí)關(guān)注知識之間的聯(lián)系，是在聯(lián)系的基礎(chǔ)上建構(gòu)體系）

3.問題解決

（1）從前有個(gè)醉漢拿著竹竿進(jìn)屋，橫拿豎拿都進(jìn)不去，橫著比門框?qū)?尺，豎著比門框高2尺。另一個(gè)醉漢教他沿著門的兩個(gè)對角斜著拿竿，這個(gè)醉漢一試，不多不少，剛好進(jìn)去了。你知道竹竿有多長嗎？列出方程，指出它的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。

（2）觀察等式：102+112+122=132+142。有什么特點(diǎn)？你還能找到符合這一特征的等式嗎？請說明你的解題思路。

（深度學(xué)習(xí)是在內(nèi)化的基礎(chǔ)上遷移運(yùn)用，最終目標(biāo)是運(yùn)用已有知識解決新情境中的問題）

4.回顧反思

（1）通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，在知識上你有哪些收獲？

（2）在研究這些問題時(shí)，我們經(jīng)歷了怎樣的過程 ？

（3）本節(jié)課的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，對你以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有哪些啟示 ？

5.對數(shù)學(xué)概念課教學(xué)的思考

“歸納”與“演繹”相結(jié)合，進(jìn)行數(shù)學(xué)概念的教學(xué)。

概念形成—讓學(xué)生通過自己的實(shí)踐，抽象出事物的共同本質(zhì)特征。（合情推理）

概念同化—讓學(xué)生接受已有的概念。（演繹推理）

三、教學(xué)反思

課堂教學(xué)中“用歸納的方法建立概念，用演繹的方法印證并拓展概念”，旨在展現(xiàn)一個(gè)由“概念形成”與“概念同化”組成的有序的數(shù)學(xué)概念研究過程，讓學(xué)生感悟一般的數(shù)學(xué)概念的建立過程。

深度學(xué)習(xí)是過程性的學(xué)習(xí)，是在過程的基礎(chǔ)上體驗(yàn)感悟。對概念、原理的理解一定是基于其形成過程，在經(jīng)歷知識發(fā)生發(fā)展的過程中感悟知識的本質(zhì)內(nèi)涵以及所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。