例談APOS理論指導(dǎo)下的兒童數(shù)學(xué)“問(wèn)題解決”能力的培養(yǎng)
——《三角形的內(nèi)角和》為例

江蘇省常熟市石梅小學(xué) 陸 瑜

近年來(lái)，數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)被數(shù)學(xué)教育界積極提倡。數(shù)學(xué)素養(yǎng)通常是在人們與周?chē)h(huán)境產(chǎn)生相互作用時(shí)所表現(xiàn)出來(lái)的思考方式和解決問(wèn)題的策略。而人們所遇到的問(wèn)題可以是數(shù)學(xué)問(wèn)題，也可能不是明顯的和直接的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從數(shù)學(xué)的角度看待問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的思維方法思考問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的方法解決問(wèn)題是具備數(shù)學(xué)素養(yǎng)的良好表現(xiàn)。可以說(shuō)，培養(yǎng)學(xué)習(xí)者“問(wèn)題解決”的能力，是提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)中的重要部分！

一、意義解讀：APOS理論下兒童問(wèn)題解決能力的挖掘

美國(guó)的杜賓斯基等人在數(shù)學(xué)教育研究實(shí)踐中提出了APOS理論，這一建構(gòu)過(guò)程要經(jīng)歷以下四個(gè)階段：

Action（活動(dòng)）階段是指學(xué)生參與活動(dòng)，親身體驗(yàn)、感受直觀的問(wèn)題背景和各個(gè)概念之間的聯(lián)系。

Process（過(guò)程）階段是指學(xué)生對(duì)“活動(dòng)”進(jìn)行思考，抽象出概念所特有的性質(zhì)。

Object（對(duì)象）階段是通過(guò)前面的抽象認(rèn)識(shí)到概念的本質(zhì)。

Stcheme（圖式）階段是指建立起與其他概念、規(guī)則、圖形等的聯(lián)系，形成綜合的心理圖式。

APOS理論它特有的數(shù)學(xué)內(nèi)容，對(duì)教師提升兒童“問(wèn)題解決”的能力給出了有力的參考！

二、實(shí)踐磨礪：APOS理論指導(dǎo)下的兒童數(shù)學(xué)“問(wèn)題解決”能力培養(yǎng)的策略

APOS理論指出數(shù)學(xué)活動(dòng)是學(xué)生認(rèn)識(shí)理解數(shù)學(xué)的一個(gè)必要條件，把數(shù)學(xué)的形式化邏輯鏈條，恢復(fù)為當(dāng)初數(shù)學(xué)家發(fā)明創(chuàng)新時(shí)火熱思考。

（一）Action（活動(dòng)）中，給予兒童豐滿的問(wèn)題解決的經(jīng)歷

1.問(wèn)題解決中，兒童體驗(yàn)“問(wèn)題生成”

“問(wèn)題”從哪里來(lái)？讓兒童體驗(yàn)問(wèn)題的生成是兒童經(jīng)歷數(shù)學(xué)信息的梳理、甄別、篩選的一個(gè)實(shí)在過(guò)程，這樣產(chǎn)生的問(wèn)題能讓兒童更加主動(dòng)和倍感到鮮活！

（1）兒童體驗(yàn)“問(wèn)題生成”于數(shù)學(xué)直覺(jué)思維中

直覺(jué)思維是人們不受邏輯規(guī)則約束直接領(lǐng)悟事物本質(zhì)的一種思維方式?？茖W(xué)家凱德洛夫明確地說(shuō)：“沒(méi)有任何一個(gè)創(chuàng)造性行為能離開(kāi)直覺(jué)活動(dòng)?！?/p>

【片段1】

師：誰(shuí)來(lái)指一指這個(gè)三角形（銳角三角形）的內(nèi)角？這兩個(gè)呢（直角、鈍角三角形）？

師：三角形的三個(gè)內(nèi)角里隱藏著什么奧秘呢？大家想不想來(lái)研究？（想）

師：你覺(jué)得我們從哪種三角形開(kāi)始研究比較容易？

生：有直角的三角形。

師：好的，那我們就來(lái)試一試。

雖然學(xué)生還沒(méi)有學(xué)習(xí)三角形的分類(lèi)，但直覺(jué)認(rèn)為從“含有直角的三角形”開(kāi)始研究會(huì)容易些。教師對(duì)合理成分及時(shí)鼓勵(lì)，利用好這種自發(fā)性直覺(jué)思維，能讓兒童對(duì)自己的直覺(jué)更加自信，有利于兒童對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的整體感知和問(wèn)題的生成。

（2）兒童體驗(yàn)“問(wèn)題生成”于經(jīng)驗(yàn)的喚醒中

【片段2】

師：這是我們身邊常用的三角尺，這把三角尺的內(nèi)角分別是幾度？?jī)?nèi)角和是多少？（90°+45°+45°=180°）

師：（出示：大三角尺）那這把呢？這兩把三角尺形狀相同，大小不同，內(nèi)角和呢？

三角尺大小不同，但內(nèi)角和沒(méi)變。強(qiáng)烈的視覺(jué)對(duì)比，給學(xué)生帶來(lái)內(nèi)在認(rèn)識(shí)的撞擊，從已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生驚覺(jué)問(wèn)題生成在了熟悉的知識(shí)點(diǎn)中，找到了問(wèn)題的出處。

（3）兒童體驗(yàn)“問(wèn)題生成”于現(xiàn)象的歸納中

【片段3】

師：再換一把三角尺，它形狀變了，內(nèi)角和呢？（90°+60°+30°=180°）

師：和剛才的兩把三角尺內(nèi)角和相等嗎？

師：對(duì)這樣的現(xiàn)象，你有什么想說(shuō)的？

生1：大小不同，形狀不一樣的三角形，內(nèi)角和都是180°。

生2：含有直角的三角形內(nèi)角和是180°。

研究三角形內(nèi)角和，逐步加入了兩個(gè)變量（大小不同，形狀不同），教師啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行了歸納，從多個(gè)事件中，找到了共性，提出了猜想，最終形成了一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題。

2.問(wèn)題解決中，兒童經(jīng)歷“數(shù)學(xué)思想”的“浸潤(rùn)”

我們提出問(wèn)題后，如何解決問(wèn)題是極其重要的部分。而數(shù)學(xué)思想是解決問(wèn)題策略的重要依托，是數(shù)學(xué)知識(shí)和方法在更高層次上的抽象與概括。

【片段4】

師：剛才，我們發(fā)現(xiàn)三角尺的內(nèi)角和都是180°。那其他一般的

圖1

圖2

含有直角的三角形（圖1），它們的內(nèi)角和又會(huì)是多少呢？

【片段5】

師：含有直角的三角形內(nèi)角和是180°，那一般的沒(méi)有直角的三角形的內(nèi)角和呢？（圖2）

在解決問(wèn)題的過(guò)程中，兒童經(jīng)歷的是數(shù)學(xué)問(wèn)題思想化的過(guò)程，這里學(xué)生經(jīng)歷了兩次特殊到一般的學(xué)習(xí)活動(dòng)，由此及彼，逐步深入研究，分步擴(kuò)張，完成了數(shù)學(xué)問(wèn)題的研究。問(wèn)題解決過(guò)程中，數(shù)學(xué)思想的浸潤(rùn)是重要的環(huán)節(jié)，也是解決問(wèn)題的精髓所在！

3.問(wèn)題解決中，兒童感受“策略”的“多樣”

三角形內(nèi)角和是180°的驗(yàn)證怎么做？怎樣才能讓學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)問(wèn)題，螺旋上升為自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。這時(shí)，策略多樣性能讓這樣的經(jīng)歷更加豐滿，體驗(yàn)更加多樣。

【片段6】

①操作驗(yàn)證，所見(jiàn)即所得：主要通過(guò)量、拼、折、畫(huà)等方法，進(jìn)行驗(yàn)證。

②有限驗(yàn)證和無(wú)限驗(yàn)證：利用計(jì)算機(jī)來(lái)驗(yàn)證更多的例子。

③演繹推理驗(yàn)證：利用已經(jīng)研究得到的結(jié)論，含有直角三角形的內(nèi)角和是180度，來(lái)論證一般的沒(méi)有直角的三角形內(nèi)角和。

這一序列的 Action（活動(dòng)）中，策略的多樣，讓學(xué)生多了一些探索和討論，引領(lǐng)著兒童在感受策略的提升和逐步嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪^(guò)程中，走了向數(shù)學(xué)思維的更高領(lǐng)域。

（二）Process（過(guò)程）、Object（對(duì)象），成就兒童“問(wèn)題解決”的能力的蛻變

在Process（過(guò)程）、Object（對(duì)象）中，致力于讓兒童對(duì)“活動(dòng)”進(jìn)行思考，經(jīng)歷概括內(nèi)化、過(guò)程、反思，抽象出概念所特有的性質(zhì)，將其“壓縮”成為一個(gè)思維中的具體對(duì)象，在以后的學(xué)習(xí)中以此為對(duì)象去進(jìn)行新的活動(dòng)。

1.及時(shí)梳理，兒童對(duì)單個(gè)活動(dòng)的反思

【片段7】

師：同學(xué)們，剛才我們是怎樣探索和發(fā)現(xiàn)含有直角的三角形內(nèi)角和是180°的？

生1：我們先發(fā)現(xiàn)三角尺的內(nèi)角和都是180°。

生2：先猜想，一般的含有直角的三角形內(nèi)角和是180°，再進(jìn)行驗(yàn)證。

師：是的，現(xiàn)在我們可以說(shuō)，任意一個(gè)含有直角的三角形，內(nèi)角和都是180°。

2.歸納整理，兒童對(duì)多個(gè)活動(dòng)的概括

【片段8】

師：剛才我們發(fā)現(xiàn)含有直角的三角形內(nèi)角和是多少度？（180°），沒(méi)有直角的三角形，也是？（180°）

師：那三角形的內(nèi)角和是多少嗎？說(shuō)說(shuō)你的想法。（180°）

師：（指板書(shū)）得出這個(gè)結(jié)論，我們從特殊到一般，先猜想再驗(yàn)證，想到了好多種方法來(lái)探索，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就應(yīng)該這樣！

學(xué)生研究了兩個(gè)板塊的問(wèn)題：（1）含有直角的三角形；（2）沒(méi)有直角的三角形，這兩個(gè)板塊的內(nèi)容歸結(jié)在一起，從研究的板塊走向整體的建構(gòu)。將過(guò)程推向?qū)ο?，即壓縮為思維中的具體對(duì)象，反思與概括是壓縮過(guò)程中必不可少的催化劑，同時(shí)也能讓兒童更好地明確研究問(wèn)題的步驟與方法，有利于從整體上把握方法與結(jié)論。

（三）Stcheme（圖式），幫助兒童主動(dòng)構(gòu)建心理圖式

數(shù)學(xué)作為一種知識(shí)體系，學(xué)習(xí)者只有將這個(gè)新生的“對(duì)象”加入到原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中，點(diǎn)點(diǎn)相連成線，線線相關(guān)成面，才能在頭腦中形成綜合的心理圖式，達(dá)到對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)在本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。

如：將三角形的內(nèi)角和與長(zhǎng)方形的內(nèi)角和、正方形的內(nèi)角和，其他多邊形的內(nèi)角和聯(lián)系在一起，形成網(wǎng)絡(luò)關(guān)系圖。

教無(wú)定法，教師關(guān)注兒童問(wèn)題解決能力的培養(yǎng)，遵循兒童身心發(fā)展規(guī)律，依托兒童已有經(jīng)驗(yàn)，依據(jù)有力的教學(xué)教育的理論支持，期待教育者帶領(lǐng)著兒童去感知和經(jīng)歷這樣一個(gè)美好的，火熱的問(wèn)題產(chǎn)生、解決、反思的過(guò)程！