元素關(guān)聯(lián)：小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的核心

席愛勇

（淮安工業(yè)園區(qū)實驗學(xué)校，江蘇 淮安 223001）

數(shù)學(xué)是一門結(jié)構(gòu)性很強的科學(xué)，不僅有邏輯清晰的知識結(jié)構(gòu)，還有科學(xué)系統(tǒng)的方法結(jié)構(gòu)。而作為一門學(xué)科，數(shù)學(xué)對于培養(yǎng)學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，尤其是思維結(jié)構(gòu)，顯得尤為重要。

所謂結(jié)構(gòu)，從系統(tǒng)論的視角看，就是指系統(tǒng)內(nèi)各組成要素之間相互聯(lián)系、相互作用的方式。[1]其中系統(tǒng)內(nèi)各組成要素即元素，相互聯(lián)系和相互作用的方式即關(guān)聯(lián)。因此，結(jié)構(gòu)從本質(zhì)上講即元素關(guān)聯(lián)，結(jié)構(gòu)化即元素關(guān)聯(lián)的過程和方式。

小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)首先要關(guān)注數(shù)學(xué)知識的元素關(guān)聯(lián)，在找準(zhǔn)數(shù)學(xué)知識的元素基礎(chǔ)上，厘清它們之間的內(nèi)外關(guān)聯(lián)，這樣才有可能在抓住數(shù)學(xué)知識本質(zhì)內(nèi)涵的基礎(chǔ)上生長出知識的“突觸”，便于學(xué)生連點成線、連線成面、連面成體，建構(gòu)數(shù)學(xué)認知結(jié)構(gòu)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。可見，元素關(guān)聯(lián)是小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的核心。

一、元素關(guān)聯(lián)的內(nèi)涵詮釋

所謂元素，即事物最根本的構(gòu)成要素。數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)中的元素即數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)最根本的構(gòu)成要素。例如分數(shù)的元素有分子、分母、分數(shù)線，正方形的元素有邊和角，圓的元素有圓心、半徑、直徑、圓周等。元素關(guān)聯(lián)就是指元素之間以及元素與外界之間的內(nèi)在聯(lián)系，數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的元素關(guān)聯(lián)就是指數(shù)學(xué)知識內(nèi)部元素之間的關(guān)聯(lián)以及內(nèi)部與外部各元素之間的關(guān)聯(lián)。[2]例如，圓的元素關(guān)聯(lián)可以用圖1進行表征。

圖1 圓的元素關(guān)聯(lián)分析模型

從圖1可知，圓的內(nèi)在元素主要包括圓心、半徑和直徑。圓心即圓的中心，起確定圓的位置作用；半徑即圓的定長，確定圓的大小，是一條線段，一端是圓心，另一端是圓上任意一點，在同一個圓里，半徑有無數(shù)條，長度都相等；直徑即圓的對稱軸，也是圓內(nèi)最長線段，是經(jīng)過圓心并且兩端都在圓上的線段，同樣可以確定圓的大小，在同一個圓里，直徑有無數(shù)條，長度都相等。圓心、半徑和直徑三者的內(nèi)在聯(lián)系是：半徑的一個端點在圓心，直徑的中心點是圓心，圓內(nèi)所有半徑和直徑都交于圓心；直徑是由兩個半徑組成的，或者說直徑可以分成兩個半徑，因此，在同一個圓里，半徑長度是直徑的一半，直徑長度是半徑的2倍。圓心與其他知識元素的聯(lián)系有：圓心也是事物的原點或源點，例如樹干的生長原點是樹干橫切面的圓心，漣漪水波的源點是圓心，光環(huán)的源點是圓心等；再如，車輪的軸心是圓心，花心的位置是圓心……半徑與其他知識元素的聯(lián)系有：半徑是用釘子和線畫圓時線的固定長度，是用圓規(guī)畫圓時圓規(guī)兩腳之間叉開的距離，是鐘面上旋轉(zhuǎn)的時針、分針、秒針的長度……直徑與其他知識元素的聯(lián)系有：直徑是圓對折的折痕，是圓外接正方形的邊長，內(nèi)接正方形的對角線……

二、元素關(guān)聯(lián)的教育價值

1.元素關(guān)聯(lián)有利于理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)內(nèi)涵，融通形與神的內(nèi)在聯(lián)系

元素關(guān)聯(lián)即事物內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系，數(shù)學(xué)知識的元素關(guān)聯(lián)，直接觸及數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在本質(zhì)、關(guān)系和變化規(guī)律，有利于教師和學(xué)生對數(shù)學(xué)知識本質(zhì)內(nèi)涵、內(nèi)在關(guān)系和變化規(guī)律的理解和把握，賦予數(shù)學(xué)知識本質(zhì)意義詮釋，分清數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)屬性和非本質(zhì)屬性，融通數(shù)學(xué)知識形與神的內(nèi)在聯(lián)系。

2.元素關(guān)聯(lián)有利于實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的形態(tài)轉(zhuǎn)換，融通教與學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系

數(shù)學(xué)知識有三種形態(tài)：學(xué)術(shù)形態(tài)、學(xué)科形態(tài)和學(xué)習(xí)形態(tài)。數(shù)學(xué)知識的學(xué)術(shù)形態(tài)以理論形式存在，表征形式主要有符號表征、文字表征和圖像表征；數(shù)學(xué)知識的學(xué)科形態(tài)以教材形式存在，表征形式主要有符號表征、文字表征、圖像表征和情境表征；數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)形態(tài)以學(xué)材形式存在，表征形式主要有情境表征、動作表征、實物表征、圖像表征、口語表征、文字表征和符號表征等。從數(shù)學(xué)知識的學(xué)術(shù)形態(tài)走向?qū)W科形態(tài)，是一個圍繞數(shù)學(xué)元素關(guān)聯(lián)不斷情境化（問題情境化、意義情境化、應(yīng)用情境化）的過程；從學(xué)科形態(tài)走向?qū)W習(xí)形態(tài)是一個圍繞數(shù)學(xué)元素關(guān)聯(lián)不斷動態(tài)化（情境創(chuàng)設(shè)動態(tài)化、發(fā)生發(fā)展動態(tài)化、意義建構(gòu)動態(tài)化、抽象模型動態(tài)化）的過程。總之，從學(xué)術(shù)形態(tài)走向?qū)W習(xí)形態(tài)，是一個圍繞數(shù)學(xué)元素關(guān)聯(lián)不斷生活化、直觀化、趣味化、兒童化的過程，讓數(shù)學(xué)知識表征形式不斷豐富，不斷長出知識“突觸”，以便于和學(xué)生已有知識經(jīng)驗進行關(guān)聯(lián)的過程，也是教師教的設(shè)計過程，體現(xiàn)教師的專業(yè)理解和專業(yè)創(chuàng)造。反之，從數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)形態(tài)走向?qū)W科形態(tài)，是一個圍繞數(shù)學(xué)元素關(guān)聯(lián)不斷程序化、概念化的過程，從學(xué)科形態(tài)走向?qū)W術(shù)形態(tài)是一個圍繞數(shù)學(xué)元素關(guān)聯(lián)不斷符號化、形式化的過程，從學(xué)習(xí)形態(tài)走向?qū)W術(shù)形態(tài)，表征形式不斷簡化，逐步建構(gòu)圖式結(jié)構(gòu)，是學(xué)生學(xué)的發(fā)生過程，有利于發(fā)展學(xué)生的直觀程序思維和抽象形式思維。因此，把握元素關(guān)聯(lián)有利于實現(xiàn)數(shù)學(xué)知識不同形態(tài)之間靈活而科學(xué)的轉(zhuǎn)換，有效融通教與學(xué)的內(nèi)在聯(lián)系。

3.元素關(guān)聯(lián)有利于實現(xiàn)元素中心的轉(zhuǎn)換，融通學(xué)和用的內(nèi)在聯(lián)系

數(shù)學(xué)知識無論哪種形態(tài)怎么轉(zhuǎn)換，根本構(gòu)成要素即元素是始終不變的，其本質(zhì)都是圍繞元素中心的轉(zhuǎn)移、轉(zhuǎn)換和轉(zhuǎn)變。如在《圓的認識》一課（參見圖2）中，識圓是從認識圓的直徑開始的，將圓對折形成圓的直徑，多次從不同方向?qū)φ坌纬蓤A心，圓心將直徑一分為二形成兩條半徑，是沿著“直徑—圓心—半徑”的認知路徑展開的；而畫圓是從確定圓心的位置開始，然后確定半徑的長短，再畫出圓的直徑，沿著“圓心—半徑—直徑”的認知路徑展開的；用圓則常常又以圓的半徑為中心，沿著“半徑—直徑—圓心”或“半徑—圓心—直徑”的認知路徑展開。如“8名同學(xué)做投籃游戲，怎樣站最公平？”的討論，首先考慮的是每位同學(xué)離籃子距離都相等，即根據(jù)圓的半徑處處相等來確定每位同學(xué)的站位，然后考慮籃子的位置，即圓心的位置，最后考慮在多大的地方舉行，即圓的直徑。又如求圓的周長、面積常常都是要先找到圓的半徑。因此，元素關(guān)聯(lián)有利于實現(xiàn)元素中心的轉(zhuǎn)換，融通學(xué)和用的內(nèi)在聯(lián)系。

圖2 基于元素關(guān)聯(lián)的中心轉(zhuǎn)換模型（以《圓的認識》為例）

4.元素關(guān)聯(lián)有利于實現(xiàn)結(jié)構(gòu)思維的品質(zhì)提升，融通識與智的內(nèi)在聯(lián)系

元素關(guān)聯(lián)分析既是切中數(shù)學(xué)知識本質(zhì)內(nèi)涵、內(nèi)在聯(lián)系和變化規(guī)律的分析，也是整體、系統(tǒng)、結(jié)構(gòu)化的分析，有利于學(xué)生整體建構(gòu)認知圖式結(jié)構(gòu)?；谠仃P(guān)聯(lián)分析的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，能夠讓數(shù)學(xué)知識的呈現(xiàn)方式和學(xué)生的認知思維方式合拍，活動的組織形式和學(xué)生學(xué)習(xí)的展開方式合拍，形態(tài)情境的轉(zhuǎn)換過程和學(xué)生思維發(fā)展軌跡合拍，教師可以實現(xiàn)引導(dǎo)學(xué)生輕松抓住數(shù)學(xué)知識內(nèi)在本質(zhì)、關(guān)系和變化規(guī)律，建構(gòu)數(shù)學(xué)認知圖式結(jié)構(gòu)和結(jié)構(gòu)化思維方式，進行結(jié)構(gòu)化思維，提升結(jié)構(gòu)化思維品質(zhì)，從根本上發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

三、元素關(guān)聯(lián)的實踐表達

1.學(xué)理分析，厘清思路

學(xué)理即學(xué)習(xí)背后的原理，主要包括數(shù)學(xué)知識的原理和學(xué)生認知的原理兩個方面。關(guān)于數(shù)學(xué)知識的原理即數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)、元素、關(guān)聯(lián)、結(jié)構(gòu)等內(nèi)在規(guī)律，學(xué)生認知的原理即學(xué)生認知的發(fā)生、發(fā)展、關(guān)聯(lián)、建構(gòu)等內(nèi)在規(guī)律。學(xué)理分析，有助于幫助教師厘清數(shù)學(xué)知識的來龍去脈，建構(gòu)數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，深刻認識學(xué)生的認知發(fā)生發(fā)展序列，幫助學(xué)生建構(gòu)認知結(jié)構(gòu)。

（1）厘清數(shù)學(xué)知識來龍去脈

學(xué)生在學(xué)習(xí)《圓的認識》一課之前，已經(jīng)認識過長方形、正方形、平行四邊形、三角形和梯形等平面圖形，從圓柱體、球體中整體感知過圓，從物體上描畫過圓，這是學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)。蘇教版義務(wù)教育教科書《圓的認識》一課教材內(nèi)容都是基于學(xué)生的已有知識基礎(chǔ)展開的：從日常生活世界圓形物體中整體感知圓，并從中抽象出作為數(shù)學(xué)研究對象的圓；通過圓和以前學(xué)過的平面圖形對比分析，整體感知圓是由曲線圍成的平面圖形；用多種辦法畫圓；在此基礎(chǔ)上認識圓心、半徑、直徑以及表示方法和各自作用；用圓規(guī)畫指定半徑或直徑的圓；發(fā)現(xiàn)圓的特征；圓的實踐應(yīng)用和價值欣賞。為后面學(xué)習(xí)圓周率、圓的周長、面積計算等知識做好鋪墊。

（2）厘清學(xué)生認知發(fā)展序列

在《圓的認識》一課中，學(xué)生遵循著“整體—部分—整體”的認知發(fā)展序列，具體來說，先從日常生活物體中整體感知圓；在圓與球體、圓與其他平面圖形的對比中認識到圓是由曲線圍成的平面圖形；在用多種方法畫圓中認識圓的各部分名稱：圓心、半徑、直徑，各自表示方法和作用，通過用不同方法畫圓體會到圓是到定點（圓心）的距離等于定長（半徑）的點的集合或運動軌跡；進一步學(xué)習(xí)用圓規(guī)畫指定半徑和直徑的圓；在活動體驗中發(fā)現(xiàn)圓的各種特征、各部分之間的內(nèi)在聯(lián)系和各自作用；最后在實踐應(yīng)用中整體感悟圓的多元價值。

2.學(xué)情調(diào)研，探明學(xué)生

美國教育心理學(xué)家奧蘇泊爾指出：“影響學(xué)習(xí)唯一最重要的因素，就是學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道了什么。要探明這一點，并應(yīng)據(jù)此進行教學(xué)?！睂W(xué)情調(diào)研即對學(xué)生學(xué)習(xí)情況的調(diào)查研究，既要探明學(xué)生已有認知基礎(chǔ)，也要探明學(xué)生認知發(fā)展需求，在現(xiàn)實基礎(chǔ)和可能發(fā)展之間尋求學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”。

例如，在《圓的認識》上課之前，筆者設(shè)計了課前自主學(xué)習(xí)單（略），旨在通過學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和問題回答，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的已有認知基礎(chǔ)和認知發(fā)展需求。

（1）探明學(xué)生已有認知基礎(chǔ)

通過學(xué)情調(diào)查發(fā)現(xiàn)，100%的學(xué)生能夠從日常生活中找到圓形物體，如大餅、圓盤、太陽、月亮等，并能從物體中描畫出圓；100%的學(xué)生知道球是立體圖形，而圓是平面圖形；83%的學(xué)生能夠認識到圓是由曲線圍成的平面圖形，而我們以前學(xué)過的長方形、正方形、平行四邊形、三角形和梯形都是由線段圍成的平面圖形；60%的學(xué)生自己能夠發(fā)現(xiàn)，同一個圓里，半徑有無數(shù)條、長度都相等，直徑有無數(shù)條，長度都相等，直徑長度是半徑的2倍，半徑長度是直徑長度的一半。以上是教師不需要教育引導(dǎo)，學(xué)生自己就能夠?qū)W會的數(shù)學(xué)知識和解決的問題。

（2）探明學(xué)生認知發(fā)展需求

通過學(xué)情調(diào)查發(fā)現(xiàn)，68%的學(xué)生用圓規(guī)畫圓的方法技能不熟練，需要加以指導(dǎo)和練習(xí)；95%的學(xué)生想不到用釘子和線畫圓，需要教師啟發(fā)、引導(dǎo)和示范；85%的學(xué)生還不能認識圓心、半徑、直徑以及表示方法和各自作用，體會不到圓是到定點（圓心）的距離等于定長（半徑）的點的集合或運動軌跡；72%的學(xué)生需要引導(dǎo)才能發(fā)現(xiàn)規(guī)律，圓是軸對稱圖形，直徑就是圓的對稱軸，圓有無數(shù)條對稱軸；90%的學(xué)生不能發(fā)現(xiàn)“在一個圓里所畫的線段中，直徑最長”；87%的學(xué)生不能運用圓的特征和規(guī)律解釋生活現(xiàn)象，如“為什么車輪一定是圓形的？”“為什么漣漪一定是圓形的？”“為什么說在一切平面圖形中，圓是最美的？”等，這些都是需要教師引導(dǎo)的學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的認知發(fā)展需求。

3.學(xué)材開發(fā)，配置資源

學(xué)材即學(xué)習(xí)支撐材料，既包括直接支撐學(xué)習(xí)的教科書、參考用書、課件、圖片、視頻以及生活中的物體、模型等各種體驗性學(xué)材資源，也包括間接支撐學(xué)習(xí)的學(xué)生尺、圓規(guī)、剪刀、釘子、錘子等各種工具性學(xué)材資源。學(xué)材開發(fā)、合理配置學(xué)材資源，有利于引導(dǎo)學(xué)生積極參與到數(shù)學(xué)活動中去，從直觀操作入手，逐步抽象概念。

（1）配置體驗性學(xué)材資源

圓，存在于自然界，存在于人類社會，也存在于學(xué)生已經(jīng)認識的圓柱體、球體等立體圖形中，還存在于旋轉(zhuǎn)運動中。因此，我們需要配置自然界中圓形物體或圖片，如荷葉、水果切面、樹干截面、漣漪等；也要配置人類社會中圓形物體或圖片，如車輪、鐘面、建筑物、工藝品；還要配置已經(jīng)認識的圓柱體、球體等立體模型或圖片；當(dāng)然，風(fēng)葉旋轉(zhuǎn)形成圓、溜冰旋轉(zhuǎn)形成圓、施工現(xiàn)場繞點畫圓、圓規(guī)畫圓等視頻也是需要配置的重要資源，這些資源都是可供學(xué)生直接觀察的圓的體驗性學(xué)材資源。當(dāng)然，還有和圓進行對比的以前學(xué)過的平面圖形圖片如長方形、正方形、平行四邊形、三角形和梯形，圓的半徑、直徑、圓心概念的文字介紹課件或PPT等也是需要配置的重要學(xué)材資源。

（2）工具性學(xué)材資源

《圓的認識》還需要配置如釘子、線、學(xué)生尺、圓規(guī)、剪刀、圓形紙片、正三角形紙片、正方形紙片、正五邊形紙片、正六邊形紙片等活動工具性學(xué)材資源，讓學(xué)生在多樣化的畫圓、量圓、剪圓、折圓、旋轉(zhuǎn)活動中感悟圓的內(nèi)外元素關(guān)聯(lián)，為發(fā)展學(xué)生結(jié)構(gòu)化思維提供物質(zhì)支撐和活動保障。

4.學(xué)程設(shè)計，立體呈現(xiàn)

學(xué)程即學(xué)習(xí)的進程，既要考慮數(shù)學(xué)知識的展開序列，也要考慮學(xué)生思維的發(fā)展序列；既要進行學(xué)的設(shè)計，也要進行教的設(shè)計。基于結(jié)構(gòu)化思維的學(xué)程設(shè)計模型如圖3。

數(shù)學(xué)知識的展開序列可以通過環(huán)環(huán)相扣的主題問題鏈形式呈現(xiàn)，如《圓的認識》一課我們可以設(shè)計如下幾個問題：

連續(xù)環(huán)節(jié)問題一：圓是怎么來的？

關(guān)聯(lián)環(huán)節(jié)問題二：圓里有什么？

推進環(huán)節(jié)問題三：怎樣畫圓？

循環(huán)環(huán)節(jié)問題四：你想對圓說些什么？

圖3 基于結(jié)構(gòu)化思維的學(xué)程設(shè)計模型圖

對應(yīng)學(xué)生思維發(fā)展序列依次是：直觀思維——程序思維——抽象思維——形式思維。依據(jù)數(shù)學(xué)知識展開序列和學(xué)生思維發(fā)展序列，教的設(shè)計可以分為如下幾個環(huán)節(jié)：問題情境——互動交流——總結(jié)提煉——實踐應(yīng)用。學(xué)的設(shè)計可以對應(yīng)的分為如下幾個環(huán)節(jié)：觀察操作——描述分析——意義建構(gòu)——拓展提升。使用備課軸，《圓的認識》一課具體學(xué)程設(shè)計如圖4。

圖4 基于結(jié)構(gòu)化思維的備課軸模型（以《圓的認識》為例）

教的設(shè)計以數(shù)學(xué)知識展開序列為依托，彰顯數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的形成過程；學(xué)的設(shè)計以學(xué)生思維推進序列為依據(jù)，彰顯學(xué)生認知結(jié)構(gòu)的形成過程；教與學(xué)的設(shè)計有機統(tǒng)一在一根備課軸上，便將數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)與學(xué)生認知結(jié)構(gòu)形成過程有機統(tǒng)一起來，相互滲透，相互融合，最終形成學(xué)生的素養(yǎng)結(jié)構(gòu)。這樣的備課軸，可以讓教師教有結(jié)構(gòu)、教有思路、教得深刻、教得靈動；可以讓學(xué)生學(xué)有結(jié)構(gòu)、學(xué)有思路、學(xué)得深刻、學(xué)得輕松。

5.學(xué)評導(dǎo)引，推進反思

元素關(guān)聯(lián)，可以從數(shù)學(xué)知識的元素關(guān)聯(lián)，走向數(shù)學(xué)認知、思維方法的元素關(guān)聯(lián)，最后走向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的元素關(guān)聯(lián)。以學(xué)評為導(dǎo)引，推進反思是實現(xiàn)元素關(guān)聯(lián)遷移轉(zhuǎn)化的推進器。例如，《圓的認識》一課我們可以引導(dǎo)學(xué)生進行如下的學(xué)評反思：“認識了圓，你還想對圓說些什么？”讓學(xué)生展開想象的翅膀，進一步拓展思維空間，讓元素關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)變得開放起來，學(xué)生自然從半徑、直徑向圓周長、圓面積延伸?！澳阏J為這次圓的學(xué)習(xí)經(jīng)歷對以后學(xué)習(xí)有什么幫助？”在學(xué)評反思中注重學(xué)習(xí)方法、研究方式、思維方式的元素關(guān)聯(lián)和相互融通，推進結(jié)構(gòu)化思維方式的轉(zhuǎn)變，從根本上提升結(jié)構(gòu)化思維水平和品質(zhì)。

可見，基于元素關(guān)聯(lián)的小學(xué)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要范式，需要從學(xué)理層面厘清數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)和學(xué)生認知結(jié)構(gòu)：從學(xué)情層面探明學(xué)生的已有認知基礎(chǔ)和認知發(fā)展需求，精準(zhǔn)定位學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”；從學(xué)材層面合理配置各種資源，進行優(yōu)化組合，支撐學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的真正發(fā)生；從學(xué)程層面精心設(shè)計數(shù)學(xué)知識、教、數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)、學(xué)生思維、學(xué)、學(xué)生認知結(jié)構(gòu)的發(fā)展序列，用備課軸將其有機組合成一個整體；最后從學(xué)評層面推進反思，讓學(xué)生實現(xiàn)元素關(guān)聯(lián)和相互融通，從根本上促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的不斷發(fā)展。[3]▲