關注歸納推理所隱藏的思想、能力和本質

吉智深

（南通師范高等?？茖W校，江蘇 南通 226500）

歸納推理是人們間接認識事物和事物本質屬性的一種重要思想方法，也是一種人人應掌握的科學方法，歸納推理在培養(yǎng)學生創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力方面起著很大的作用。其實，歸納推理中還隱藏著一些思想、方法與本質，需要我們關注，否則歸納推理在教學中的作用就會大打折扣。下面就這些話題，談談筆者的見解與認識。

一、關注歸納推理前涉及的：無影的數(shù)學思想

歸納推理是一種重要的思想方法，如果沒有其他所需思想的支持與配合，那么學生對歸納推理可能只知其然，而不知其所以然。

如三角形的面積推導時，教材通過插圖（蘇教版五年級上冊第12頁，參見圖1）提出問題：如何求涂色三角形的面積？（每個小方格表示1平方厘米）

圖1

教材編寫的意圖很明顯，就是引導學生通過歸納發(fā)現(xiàn)：兩個完全相同的三角形可以拼成一個平行四邊形。但在教學時，我們還要關注插圖中所給的三角形分別是：直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形。為什么在歸納前，把歸納的對象先分類呢？這是因為歸納推理時，對特例有兩個方面的要求：一是量的要求，需要足夠多的特例，范圍要足夠廣；二是質的要求，需要特例有典型性和代表性，這兩條基本要求是互為依存、缺一不可的。如果只注重量的方面而忽視質的方面，會讓歸納推理得到的規(guī)律不具有一般性。事實上，歸納前先分類，再通過具有代表性的特例歸納出一般的規(guī)律，這樣的情形不僅出現(xiàn)在三角形面積公式推導的教學過程中，也出現(xiàn)在分數(shù)乘法和分數(shù)除法算法的歸納推理教學過程中，將來還會出現(xiàn)在其他歸納推理或數(shù)學證明中，如正弦定理和余弦定理的公式推導等。

又如釘子板上的多邊形（蘇教版五年級上冊第111頁，參見圖2），求多邊形的面積各是多少平方厘米？每個多邊形邊上的釘子各有多少枚？先數(shù)一數(shù)、算一算，將結果填入表中，再與同學說說你的想法。

填好表以后，教材提問：

（1）多邊形內只有1枚釘子，它的面積與它邊上的釘子數(shù)有什么關系？用字母表示出它們函數(shù)關系后，教材繼續(xù)提問：

（2）如果多邊形內有2枚釘子，多邊形的面積與它邊上的釘子數(shù)又有什么關系？

（3）如果多邊形內有3枚、4枚……釘子，它的面積與它邊上釘子數(shù)的關系會怎樣變化？如果多邊形內沒有釘子呢？

圖2

從上面的歸納推理，我們可以發(fā)現(xiàn)多邊形的面積既與它邊上的釘子數(shù)有關，也與多邊形內的釘子數(shù)有關，這是一個二元函數(shù)問題。事實上，小學數(shù)學有不少多元函數(shù)的例子，如：矩形面積等于長乘寬是二元函數(shù)；梯形面積等于上底加下底的和再乘高除以2是三元函數(shù)。對于涉及多元函數(shù)的歸納推理時，教師首先要意識到這是個多元函數(shù)問題，雖然我們不能和學生說這是二元函數(shù)、那是三元函數(shù)，但要做好這種多元函數(shù)思想的滲透，也要認識到如何處理涉及多個變量的歸納推理問題。如釘子板上的多邊形這節(jié)課滲透這樣的思想：先使其中一個變量固定，即固定多邊形內部的釘子數(shù)，當多邊形內部的釘子數(shù)為0枚時，1枚時，2枚時，……多邊形面積與多邊形邊上釘子數(shù)的關系，再通過歸納推理得到多邊形的面積與多邊形內部的釘子數(shù)和多邊形邊上釘子數(shù)之間的關系。雖然教材對此沒有做明確的要求，但教師在歸納推理教學前，要意識到這種多元函數(shù)，做好這方面的滲透，并且要滲透處理這類多元函數(shù)的方法。

我們要在歸納推理前，發(fā)現(xiàn)蘊含其中的數(shù)學思想，并且深化這些思想，這將會給歸納推理教學乃至整個數(shù)學教學帶來積極的影響。

二、關注歸納推理中所需的：無形的概括能力

在歸納推理教學中，教師有時只關注具體的東西，如概念、規(guī)律、關系等，而忽視了概括能力的培養(yǎng)，面對一些簡單的規(guī)律，學生也無法發(fā)現(xiàn)。有趣的乘法計算（蘇教版第三冊第22頁）：

這幾題的乘積會有什么特點？先算一算、填一填，再和同學交流。

積的末兩位是怎樣算出來的？末兩位前面的數(shù)呢？

第一個問題，不少學生通過歸納推理順利找到規(guī)律，但第二個問題，能發(fā)現(xiàn)規(guī)律的學生就很少了。為什么？原因可能有二：一是這個規(guī)律因為沒有數(shù)學表征支持與幫助，單從數(shù)字計算中學生很難發(fā)現(xiàn)規(guī)律；二是學生歸納概括能力不強，對數(shù)字的變化不夠敏感。我們可以指責這樣的“簡易算法”對學生來說沒有任何的價值可言，但學生的概括能力不強也是不爭的事實。對于課程標準中的例題，觀察：

15×15=225 25×25=625

35×35=1225 45×45=2025

測試統(tǒng)計表明：能正確地總結“個位是5的兩位數(shù)自乘規(guī)律”的學生不足9%，在測試現(xiàn)場也觀察到，相當多的學生對已有特例看不出規(guī)律。對于這樣的實驗結果，我們不能一味地去找客觀原因，而應該反思歸納教學的目的，歸納推理不能僅僅停留在“簡易算法”，而應該有更高的追求與理想，我們也要反思教學中概括能力的培養(yǎng)與發(fā)展問題。事實上，概括能力是重要的能力，蔡金法老師曾指出：“數(shù)學概括能力是數(shù)學能力的核心。”[1]這種無形的能力不是通過教師“教”出來的，而是學生參與學習活動“悟”出來的，那么怎樣才能提高學生的概括能力呢？

1.歸納推理包括求同法、存異法、同異并用法、剩余法、共變法等，教師要引導學生在理解的基礎上學會這些方法，從而提升他們的概括意識。求同法是指在被研究現(xiàn)象發(fā)生變化的若干場合中，若只有一個情況在這些場合中共同具有的，那么這個唯一的共同情況就是被研究現(xiàn)象的原因（或結果），如倒數(shù)概念的歸納采用的方法就是求同法，雖然每幾組數(shù)字各不相同，但它們的乘積都等于1。共變法是指被研究現(xiàn)象發(fā)生變化的各個場合中，如果只有一個情況變化著，其他情況保持不變，那么這個唯一變化的情況就是被研究現(xiàn)象的原因（或結果）。如在釘子板上的多邊形中，多邊形內的釘子數(shù)是保持不變的，唯一變化的就是多邊形邊上的釘子數(shù)，它的數(shù)量變多，是多邊形面積變大的原因。

2.概括能力往往來自于各種數(shù)學表征的理解與表達。小學數(shù)學應該給學生呈現(xiàn)恰當?shù)臄?shù)學表征，讓他們學會從中主動歸納出數(shù)學規(guī)律或者公式，這是教學的需要，也是學習的需求。問題：下圖（參見圖3）所示的乘法表中偶數(shù)積多還是奇數(shù)積多?[2]

在解決“偶數(shù)積多還是奇數(shù)積多？”這個問題后，學生還注意到：一個偶數(shù)乘一個偶數(shù)總是一個偶數(shù)時，教師應該鼓勵學生用數(shù)學的方法記錄該規(guī)律：偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)。這會讓他們學會用數(shù)學的方法歸納出規(guī)律或者公式，也會促使學生尋找同樣類型的其他概括。

圖3

3.養(yǎng)成設置標志、符號、字母對數(shù)量和數(shù)量關系進行抽象概括的習慣。數(shù)學概括的進行和最終結果的表達都必須借助于數(shù)學語言，歸納推理要通過數(shù)學特例與表征找到歸納對象的共性，并且通過數(shù)學語言抽象概括來揭示其本質。乘對加的分配律，先觀察特例：（3+4）×5=3×5+4×5，（6+12）×4=6×4+12×4，（4+7）×7=4×7+7×7，先引導學生用自己的方法概括該等式，（□+○）×△=□×△+○×△，不要小瞧這一步，它是從具體到抽象的中間環(huán)節(jié)，接著引導學生要字母表示出該等式，最后再要求學生將字母表示的定律“翻譯”成文字表達。

數(shù)學概括能力是數(shù)學能力的核心，是看不見的數(shù)學素養(yǎng)，歸納推理教學要抓住機會，培養(yǎng)學生的數(shù)學概括能力，進而促進學生數(shù)學能力的發(fā)展。

三、關注歸納推理所體現(xiàn)的：無言的數(shù)學本質

不同的人從不同的角度對數(shù)學本質有不同的理解，數(shù)學家們認為，數(shù)學證明是數(shù)學的本質，因為發(fā)現(xiàn)真理、追求真理永遠是數(shù)學發(fā)展的最終目標，但對歸納在推動數(shù)學發(fā)展過程中的作用也是一致認可的，因為數(shù)學發(fā)展史證明，推動數(shù)學發(fā)展的主要動力是歸納而不是演繹。正如波利亞所說：“用歐幾里得方法提出來的數(shù)學看來卻像是一門系統(tǒng)的演繹科學；但在創(chuàng)造過程中的數(shù)學看來卻像是一門實驗性的歸納科學?！睔w納推理除了體現(xiàn)這一本質之外，還可以體現(xiàn)“數(shù)學是研究現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關系的科學”。除此之外，歸納推理還體現(xiàn)數(shù)學的另一本質，即：數(shù)學是研究模式的科學。教師雖然不能和小學生做這方面的介紹，但應該通過具體的歸納推理滲透這方面的內容。

“數(shù)學是研究模式的科學”這一關于數(shù)學本質的定義得到了眾多數(shù)學家和哲學家的認可，不同的數(shù)學分支研究不同的模式，如算術與數(shù)論研究數(shù)字與計算模式，幾何學研究形狀模式，邏輯學研究推理模式和概率論研究機會模式等。模式也是學生認識規(guī)律并整合自己世界的方法，小學階段的數(shù)學教育目標應該對學生理解模式提出具體要求與目標?！睹绹鴮W校數(shù)學教育的原則和標準》一書提出：在學前至二年級，所有學生應該能夠“識別、描述并擴展（例如聲音、形狀或簡單的數(shù)字模式等），并能夠把一種表現(xiàn)形式的模式轉化為另外一種表現(xiàn)形式；分析重復型和增長型的模式是如何”。在三至五年級，所有學生應該能夠“描述、擴充與概括有關幾何和數(shù)方面的模式；應用文字、表和圖示表征與分析模式和函數(shù)”[3]。雖然我國義務階段數(shù)學課程標準對這方面的內容沒有明確提出要求，但通過歸納推理教學可以體現(xiàn)與完成這些目標。

1.數(shù)數(shù)模式

數(shù)數(shù)模式是數(shù)學史上最早的數(shù)學模式，它促使自然數(shù)的產生。當然我們可以借助數(shù)數(shù)模式，歸納出自然數(shù)更多的性質，如通過使用各種間隔數(shù)數(shù)在百數(shù)圖上使用不同的模式，使學生從視覺上認識到這些數(shù)字的特征。如5的倍數(shù)有哪些特征,我們就可以發(fā)現(xiàn)，5、10、15、20、25、30……，教師引導學生觀察百數(shù)圖（參見圖4）上著色的數(shù)字構成的視覺模式與5的倍數(shù)之間構成一種對應，從而順利地歸納出能被5整除數(shù)的特征。

如果以9為間隔，9的倍數(shù)在百數(shù)圖的排列不是豎條型的，而是斜條型的，但它們的數(shù)字和都等于9，從而歸納出100以內的數(shù)，如果一個數(shù)各數(shù)位之和等于9，則它一定能被9整除。

2.重復模式

圖4

學前的孩子已經意識到一個“紅、白、紅、白、紅、白”顏色模式在形式上與一個“站起、蹲下、站起、蹲下、站起、蹲下”動作模式是相同的，到了小學階段學生要了解到這兩種非常不同的情境具備相同的數(shù)學性質，并且知道兩種模式都可以被描述為：ABABAB，這樣也有助于了解代數(shù)的作用。如果對這種重復模式進一步研究，通過“一一間隔”的物體，歸納出兩邊的物體比中間的物體多一。也可以擴展這種模式，如“紅旗、紅旗、黃旗、黃旗、紅旗、紅旗、黃旗、黃旗……”，通過歸納推理算出第19面旗幟是什么顏色？第20面旗幟是什么顏色？從而把這種重復模式與帶余除法建立起聯(lián)系。

3.關系模式

有人說，數(shù)學是一門“關系學”，這很有道理。這種關系模式集中體現(xiàn)在函數(shù)關系，它是尋求兩種變量之間的依賴關系。這種依賴關系大多數(shù)都是通過歸納推理得到的，如多邊形的內角和=(n-2)×180°，這種函數(shù)關系給出明確的解析式，當然小學數(shù)學有不少沒有明確解析式的函數(shù)，也是通過歸納推理得到的，如通過教材所給的圖片（參見圖5）。

歸納出：幾個9就等于幾十減幾個。小學數(shù)學中常常有這種沒有解析式的函數(shù)關系，需要通過歸納推理發(fā)現(xiàn)并且找到這種關系，這一點在教學時也應加以重視。

這種關系模式不僅僅存在于數(shù)與代數(shù)領域，也存在于圖形與幾何領域。如兩個圖形之間的關系，兩個完全相同的三角形拼成一個平行四邊形，兩個完全相同的梯形拼成一個平行四邊形。教材通過一系列問題引導學生思考幾何圖形之間的關系：拼成平行四邊形的兩個梯形有什么關系？拼成的平行四邊形的底與梯形的上底、下底有什么關系？平行四邊形的高與梯形的高有什么關系？每個梯形的面積與拼成的平行四邊形的面積呢？

圖5

4.機會模式

小學階段的概率主要研究機會模式，從把事件描述成肯定發(fā)生、可能發(fā)生和不可能發(fā)生，再到發(fā)生可能性的大小定性研究，最后到可能性的大小定量研究。舉個例子，口袋中有5個白球和1個紅球,那么摸出白球的可能性大呢？還是摸出紅球的可能性大呢？讓學生摸20次、30次甚至更多次,他們發(fā)現(xiàn)摸出白球次數(shù)多，而摸出紅球的次數(shù)少，歸納出從口袋里摸一個球，摸出白球的可能性大，而摸出紅球的可能性小。反過來，如果學生能根據(jù)摸出白球與紅球的頻率，就可以猜出袋子里的白球比紅球多的結論，更可以通過紅球出現(xiàn)的頻率判斷口袋中紅球所占的比例，學生們也會根據(jù)抽獎盤上不同顏色區(qū)域的大小，歸納出中一等獎的機會很小，這些都是歸納推理，都體現(xiàn)了概率是研究機會的模式。

歸納推理教學給教師和學生提供了寶貴的機會，促使學生積極參與“描述、擴充與概括有關模式”，滲透“數(shù)學是研究模式的科學”這一數(shù)學本質。

總之，數(shù)學教學要善于挖掘歸納推理所隱藏的教育價值，借助歸納推理，研究其中蘊含的數(shù)學思想——分類與多元函數(shù)；提升學生的數(shù)學核心能力——概括能力；滲透歸納推理所體現(xiàn)的數(shù)學本質——數(shù)學是研究模式的科學，從而促進學生對數(shù)學的理解，提高他們的數(shù)學素養(yǎng)?！?/p>