基于NURBS和遺傳算法的潮流能水輪機(jī)翼型優(yōu)化

李增亮, 孫召成, 張 琦, 馮 龍

(中國(guó)石油大學(xué)(華東)機(jī)電工程學(xué)院,山東青島 266580)

獲取海洋能量的途徑主要是通過(guò)轉(zhuǎn)能機(jī)械如水輪機(jī)將水流動(dòng)能轉(zhuǎn)換為機(jī)械能,其中水輪機(jī)轉(zhuǎn)子葉片是決定潮流能利用效率高低的決定性部件,而葉片的水動(dòng)性能又與翼型密不可分,因此設(shè)計(jì)出滿足高水力性能要求的潮流能專用翼型對(duì)提高水輪機(jī)效率、潮流能的利用率具有極大意義。目前潮流能水輪機(jī)轉(zhuǎn)子葉片翼型設(shè)計(jì)方法一般都是由風(fēng)機(jī)葉片以及航空翼型設(shè)計(jì)理論發(fā)展而來(lái),如美國(guó)的NACA標(biāo)準(zhǔn)系列翼型,至今已發(fā)展出多個(gè)系列,瑞典學(xué)者Bjorck設(shè)計(jì)的FFA-W系列翼型[1]優(yōu)化了升阻比和升力系數(shù); Laurens等[2]采用基于機(jī)翼截面的葉片動(dòng)量理論設(shè)計(jì)獲得了逼近貝茨極限的葉片;Wu等[3]提出以Schmitz 理論為基礎(chǔ)的葉素動(dòng)量理論設(shè)計(jì)葉片,在理論上充分論證了水輪機(jī)葉片各參數(shù)之間的關(guān)系;劉潤(rùn)澤等[4]將樣條曲線及節(jié)點(diǎn)插入算法應(yīng)用到透平葉片造型中能夠構(gòu)造任意形狀的彎、扭、掠葉片;朱國(guó)俊等[5]采用貝齊兒曲線對(duì)水翼曲線進(jìn)行參數(shù)化設(shè)計(jì),并在多工況下對(duì)翼型進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。在改進(jìn)葉片翼型設(shè)計(jì)理論之余,國(guó)內(nèi)外研究人員還對(duì)翼型優(yōu)化設(shè)計(jì)做了大量的研究工作,彭茂林等[6]將粒子群算法用于型線的優(yōu)化,該優(yōu)化方法對(duì)葉片形狀設(shè)計(jì)優(yōu)化起到顯著作用;楊陽(yáng)等[7]基于多目標(biāo)遺傳算法對(duì)風(fēng)力機(jī)葉片進(jìn)行了全局優(yōu)化,在降低葉片質(zhì)量的基礎(chǔ)上,提高了年發(fā)電量。但是這些翼型設(shè)計(jì)理論在翼型構(gòu)造方面大都存在不能精確描述二次曲線弧的弊端。因此鑒于NURBS方法在曲線描述方面的優(yōu)勢(shì),筆者基于NURBS曲線構(gòu)造理論對(duì)葉片翼型曲線進(jìn)行參數(shù)化擬合。多目標(biāo)遺傳算法的應(yīng)用可以有效地在給定區(qū)域內(nèi)尋找最優(yōu)解并解決目標(biāo)函數(shù)之間的矛盾[8],以多攻角工況下升阻比為優(yōu)化目標(biāo)結(jié)合NURBS方法建立一種適用于潮流能水輪機(jī)葉片優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。

1 水輪機(jī)葉片翼型參數(shù)化設(shè)計(jì)

NURBS曲線是一種既能夠描述自由型曲面的B樣條曲線又能精確表示二次曲線弧與二次曲面的數(shù)學(xué)方法,其表達(dá)式[9]為

(1)

其中

(2)

式中,Ri,k(u)(i=0,1,…,n)為k次有理基函數(shù);ωi(i=0,1,…,n)為權(quán)或權(quán)因子,分別與控制頂點(diǎn)di(i=0,1,…,n)相關(guān)聯(lián)。

首末權(quán)因子ω0>0、ωn>0,其他ωi≥0,以防止分母為零。Ni,k(u)稱作德布爾-考克斯遞推公式,定義為

(3)

式中,Ni,k(u)中下標(biāo)i表示序號(hào);下標(biāo)k表示次數(shù)。

1.1 翼型數(shù)據(jù)點(diǎn)參數(shù)化設(shè)計(jì)

以NACA4415翼型為原始翼型曲線,在翼型曲線上選取n個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)為原始數(shù)據(jù)點(diǎn),然后利用B樣條插值方法反算出插值n個(gè)點(diǎn)的NURBS曲線控制頂點(diǎn),利用初始曲線和計(jì)算出的控制頂點(diǎn)便可構(gòu)造出葉片翼型曲線。

確定NURBS曲線節(jié)點(diǎn)矢量,這里采用修正弦長(zhǎng)參數(shù)化方法對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行參數(shù)化[10],如圖1所示。修正弦長(zhǎng)參數(shù)化計(jì)算式為

(4)

式中,ki為修正系數(shù),其值大于等于1;|ΔPi-1|為數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi-1與Pi之間的距離即Pi-Pi-1,其余相同;θi為弦線Pi-1Pi與弦線PiPi+1之間夾角的補(bǔ)角,并將其與π/2進(jìn)行比較,取小值。

圖1 NACA4415翼型型值點(diǎn)Fig.1 Airfoil value point of NACA4415

由于數(shù)據(jù)點(diǎn)增多,控制頂點(diǎn)數(shù)越多,曲線可控性越強(qiáng),但是計(jì)算參數(shù)會(huì)相應(yīng)增加,優(yōu)化設(shè)計(jì)變量數(shù)目也會(huì)增加,相應(yīng)的計(jì)算量和優(yōu)化難度直線上升,因此為了控制優(yōu)化難度及復(fù)雜性,選取原始翼型曲線上的17個(gè)翼型數(shù)據(jù)坐標(biāo)點(diǎn)進(jìn)行參數(shù)擬合。

通過(guò)修正弦長(zhǎng)降低翼型曲線曲率,降低曲率突變段,使擬合后的翼型曲線更逼近原始翼型曲線,曲線光順度也較高。

1.2反算插值曲線控制頂點(diǎn)

用于插值17個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi(i=0,1,…,16)的插值曲線方程為

(5)

(6)

由于還缺少兩個(gè)方程才能解出所有控制點(diǎn),因此需要補(bǔ)充兩個(gè)附加方程,以切矢邊界條件建立附加方程。由于三次B樣條曲線的首尾數(shù)據(jù)點(diǎn)(控制點(diǎn))有

d0=P0,

(7)

dn+2=Pn.

(8)

則有

(9)

(10)

確定首尾端點(diǎn)切矢后,可得方程組

(11)

令Δi=ui+1-ui則有

(12)

求解方程組即可求得全部控制頂點(diǎn)。

圖2為NURBS擬合后的翼型曲線及控制頂點(diǎn)。由圖2可以看出,擬合后的翼型曲線十分逼近原始翼型曲線,擬合效果良好。

圖2 NURBS曲線擬合翼型Fig.2 NURBS fitting curve of foil

2 翼型水動(dòng)力學(xué)性能計(jì)算

采用XFOIL軟件計(jì)算翼型在不同攻角范圍內(nèi)的升阻力系數(shù),XFOIL軟件最初應(yīng)用于空氣動(dòng)力學(xué)計(jì)算,后來(lái)Bahaj等[11]采用該軟件做水動(dòng)力學(xué)計(jì)算,證明XFOIL軟件可模擬計(jì)算翼型表面的升阻力系數(shù)分布及翼型表面壓力系數(shù)變化。圖3為NACA4415在不同攻角α?xí)r升、阻力系數(shù)變化情況,圖4為翼型升阻比與攻角關(guān)系。從圖3、4中可以看出,在α=6°時(shí)升阻比最大,在α=13°時(shí)升力系數(shù)達(dá)到最大值,當(dāng)攻角α超過(guò)13°時(shí)翼型升力系數(shù)會(huì)下降,進(jìn)入失速點(diǎn)。

圖3 翼型升阻力系數(shù)與攻角關(guān)系Fig.3 Relation between lift drag coefficient and attack angle for foil

圖4 翼型升阻比與攻角關(guān)系Fig.4 Relation between lift-drag ratio coefficient and attack angle for foil

3 多目標(biāo)優(yōu)化遺傳算法

遺傳算法是針對(duì)達(dá)爾文生物進(jìn)化理論進(jìn)行的一種計(jì)算機(jī)模擬技術(shù),模擬一個(gè)人工種群的進(jìn)化過(guò)程,通過(guò)選擇、雜交和變異等機(jī)制達(dá)到最優(yōu)解的狀態(tài)[12-15]。進(jìn)行優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)計(jì)算時(shí),通常在選定的目標(biāo)區(qū)域內(nèi)讓所有的目標(biāo)函數(shù)存在最優(yōu)解但目標(biāo)之間往往存在相互沖突的矛盾,而作為一種快速有效的全局優(yōu)化算法,采用多目標(biāo)遺傳算法解決翼型優(yōu)化問(wèn)題是一種最好的選擇。

多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型為

(13)

式中,Vmin表示向量極小化。

遺傳算法流程如圖5所示。改進(jìn)的遺傳算法[16-19]首先根據(jù)適應(yīng)度目標(biāo)函數(shù)值進(jìn)行重新組序,同時(shí)考慮群體多樣化以及適應(yīng)度值的確定,并求解該值,剔除重復(fù)度較高的個(gè)體,將剩下的個(gè)體重新組群,然后根據(jù)群體規(guī)模確定是否進(jìn)行下一步操作并給出判斷值,不滿足則重復(fù)上一操作,最后判斷是否滿足結(jié)束要求,是則結(jié)束,否則返回第一步。

圖5 遺傳算法流程Fig.5 Flowchart of genetic algorithm

4 水輪機(jī)翼型優(yōu)化模型

4.1 優(yōu)化目標(biāo)

優(yōu)化目標(biāo)即高升阻比翼型,利用多目標(biāo)遺傳算法在多工況條件下進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算。

高升阻比作為優(yōu)化目標(biāo),可以優(yōu)化得到在多攻角工況下具有良好升阻性能的水輪機(jī)葉片翼型,進(jìn)而提高水輪機(jī)的轉(zhuǎn)化效率和適應(yīng)性。在給定相應(yīng)的雷諾數(shù)和來(lái)流速度情況下,翼型在設(shè)計(jì)攻角α下的升阻比計(jì)算公式為

f(x)=Cl/Cd.

(14)

式中,Cl和Cd分別為翼型的升力系數(shù)和阻力系數(shù);x為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量。

4.2 約束條件

由于翼型的升力主要是翼型背面的壓降產(chǎn)生的,翼型的升阻力系數(shù)以及失速性能均由翼型背面型線決定,同時(shí)為了控制優(yōu)化設(shè)計(jì)變量范圍,選取翼型背面NURBS擬合曲線7個(gè)控制頂點(diǎn)和正面3個(gè)控制頂點(diǎn)作為優(yōu)化目標(biāo)。

將擬合后得到的翼型曲線的控制頂點(diǎn)作為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量,通過(guò)調(diào)整控制頂點(diǎn)的坐標(biāo)改變其位置進(jìn)而改變翼型曲線形狀;將控制頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)固定,只改變其縱坐標(biāo)值,這樣既可通過(guò)修改控制點(diǎn)的坐標(biāo)修改翼型曲線并改變翼型形狀以獲得較優(yōu)升阻性能的翼型。此外,兼顧水輪機(jī)葉片強(qiáng)度設(shè)計(jì)要求等,對(duì)翼型面積S進(jìn)行約束。

4.3 遺傳算法優(yōu)化命題

由于海底洋流的隨機(jī)性,水輪機(jī)經(jīng)常會(huì)在變工況條件下工作,因此為了能夠保證水輪機(jī)葉輪翼型的變工況性,提高其效率,同時(shí)又能夠盡量提高升阻比,選擇在U=3.5 m/s,雷諾數(shù)Re=0.8×106,對(duì)攻角為1°(阻力系數(shù)小)、6°(升阻比最大)和13°(失速區(qū))3種攻角工況下優(yōu)化翼型升阻比。

以水輪機(jī)翼型升阻比作為優(yōu)化目標(biāo),約束函數(shù)為外形面積約束,其優(yōu)化命題可表述為

(15)

式中,F0(x)、F1(x)和F2(x)代表3種工況下的升阻比;x為控制頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)值;S′和S分別為初始翼型和優(yōu)化后翼型截面積。

具體的優(yōu)化流程如圖6所示。

在進(jìn)行多目標(biāo)遺傳算法優(yōu)化時(shí),種群數(shù)設(shè)置為50,進(jìn)化代數(shù)為80,交叉概率設(shè)為0.8,變異概率設(shè)為0.1。結(jié)果顯示,在進(jìn)化到65代時(shí)求得最佳樣本個(gè)體。

圖6 翼型優(yōu)化設(shè)計(jì)方案流程Fig.6 Flowchart of optimal design of turbine foil

5 結(jié)果及其分析

圖7為優(yōu)化前后的翼型曲線形狀對(duì)比效果。通過(guò)對(duì)比可以發(fā)現(xiàn),優(yōu)化后的翼型前緣半徑略有增大,上翼面較原始翼型也更加突出,隨著弦長(zhǎng)增大,優(yōu)化后翼型尾緣處開始收縮。優(yōu)化前后翼型升力系數(shù)、阻力系數(shù)以及升阻比對(duì)比如表1所示。由表1可知,優(yōu)化后的翼型升力系數(shù)在3種攻角工況下均有所提高,阻力系數(shù)相比原始翼型均有所下降,優(yōu)化后的翼型升阻比相比原始翼型在3種攻角工況下分別提高了3.93%、4.71%和17.31%,隨著攻角增大,升阻比增加幅度越大。

圖7 優(yōu)化前后翼型形狀對(duì)比Fig.7 Contrast of airfoils before and after optimization

表1 初始翼型和優(yōu)化翼型升阻比對(duì)比Table 1 Contrast of lift-drag-ratio of original and optimized airfoils

翼型壓力系數(shù)Cp(無(wú)量綱)能夠反映翼型升阻力性能,其定義為

(16)

式中,pL為本地壓強(qiáng),Pa;p0為局部壓強(qiáng),Pa;v為遠(yuǎn)流場(chǎng)來(lái)速,m/s。

經(jīng)過(guò)XFOIL計(jì)算后的優(yōu)化翼型與原始翼型在不同攻角工況下的壓力系數(shù)對(duì)比如圖8所示。

由圖8可以看出，在所設(shè)計(jì)攻角工況下，翼型前中段優(yōu)化翼型壓力系數(shù)相對(duì)于原始翼型明顯降低，靠近翼型后端優(yōu)化翼型壓差幅度變化變小，翼型受力更加均勻。翼型下表面壓力變化幅度相比較原始翼型變化微小。優(yōu)化后的翼型上下翼型面壓力系數(shù)差增大，進(jìn)而提高優(yōu)化翼型的升阻比。

圖8 翼型表面壓力系數(shù)分布對(duì)比Fig.8 Contrast of pressure coefficient of airfoil surface

從圖8中還可以看出在攻角為1°和4°時(shí),優(yōu)化后的翼型壓力系數(shù)最小峰值分別為-1.2和-1.5,相比較原始翼型壓力系數(shù)峰值下降速度較快,因?yàn)橐硇涂栈禂?shù)由翼型壓力系數(shù)最小值決定,所以在這兩個(gè)攻角工況下會(huì)對(duì)優(yōu)化后的翼型空化性能帶來(lái)一定的負(fù)面影響。從圖8(c)中可知,當(dāng)攻角為13°時(shí),優(yōu)化后翼型壓力系數(shù)最小峰值為-3.5,其絕對(duì)值小于原始翼型,空化性能得到提升。

水輪機(jī)的水能利用系數(shù)即功率系數(shù)與水輪機(jī)葉片翼型性能密不可分。由貝茲理論可知，水平軸潮流能水輪機(jī)功率系數(shù)定義為

CP=P/(0.5ρSv3).

(17)

式中，ρ為海水密度，kg/m3;S為葉片掃略面積，m2;vc為海水流速，m/s;CP為葉片功率系數(shù)。

葉片功率系數(shù)受翼型本身參數(shù)和葉片安裝角及弦長(zhǎng)關(guān)系等因素影響，在安裝角不變時(shí)，其與葉尖速比呈一定的函數(shù)關(guān)系。

潮流能發(fā)電水輪機(jī)的額定功率設(shè)定50 kW，葉片數(shù)設(shè)為3，功率系數(shù)為0.3，葉輪直徑為7.3 m，海水流速為2 m/s，根據(jù)兩種翼型分別建立水輪機(jī)葉片模型，用計(jì)算流體軟件Fluent對(duì)其進(jìn)行數(shù)值模擬，對(duì)比兩種翼型下水輪機(jī)的獲能性能。

將優(yōu)化葉片與原始葉片沿展向分為10個(gè)截面,分別采用優(yōu)化后的翼型與原始翼型按照參考文獻(xiàn)[20]中的方法建立各個(gè)葉片截面弦長(zhǎng)和扭角的關(guān)系如表2所示。

根據(jù)水輪機(jī)實(shí)際運(yùn)行工況模擬采用兩種翼型建立的葉片在不同槳距角下的功率系數(shù)如圖9所示。

圖9 原始和優(yōu)化翼型功率系數(shù)Fig.9 Power coefficient of original and optimal blades

從圖9可以看出，采用優(yōu)化翼型后的水輪機(jī)與采用原始翼型的水輪機(jī)功率系數(shù)變化趨勢(shì)一致，即保持槳距角不變時(shí)，隨葉尖速比升高呈現(xiàn)先增大后減小趨勢(shì)。當(dāng)槳距角為3°時(shí)優(yōu)化后的水輪機(jī)功率系數(shù)相比原始翼型提高了約3.9%，槳距角為6°時(shí)提高了約7%，當(dāng)槳距角增大到10°時(shí)提高了6.4%?？梢钥闯鲈?種不同槳距角下，采用優(yōu)化翼型水輪機(jī)的功率系數(shù)均得到提高。

表2 水輪機(jī)葉片結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 2 Turbine blade structure parameters

6 結(jié) 論

(1)采用NURBS曲線對(duì)翼型曲線進(jìn)行參數(shù)化擬合后的翼型曲線與原始翼型相比吻合精度較高,驗(yàn)證了該方法的可行性與高效性。

(2)優(yōu)化后的翼型升阻比性能在多個(gè)攻角工況下均得到明顯提升,提高了水輪機(jī)的適應(yīng)性。隨著攻角增大，優(yōu)化后翼型相比較原始翼型上、下面壓力系數(shù)差值逐漸增大，但最小壓力系數(shù)絕對(duì)值相比原始翼型先增大后減?。徊捎脙?yōu)化翼型的水輪機(jī)在多個(gè)槳距角下水輪機(jī)的功率系數(shù)相比原始翼型水輪機(jī)有一定的提升，優(yōu)化后的翼型對(duì)提高水輪機(jī)的效率是有效的。