圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學解題中的應(yīng)用分析

摘 要： 圓錐曲線參數(shù)方程作為高中數(shù)學中的重點知識內(nèi)容之一，在數(shù)學解題過程中應(yīng)用廣泛，需要學生在掌握基本方法的基礎(chǔ)上學會靈活運用。本文將對圓錐曲線參數(shù)方程的應(yīng)用要點進行簡單分析，進而探討基于圓錐曲線參數(shù)方程的解題過程，包括求解最值問題、求解三角形問題和求解范圍問題等。

關(guān)鍵詞： 圓錐曲線參數(shù)方程；高中數(shù)學；解題方法

圓錐曲線參數(shù)方程是幾何與函數(shù)的結(jié)合，可以利用圓錐曲線定義中圓錐曲線上的點和兩焦點之間的性質(zhì)關(guān)系進行解題，通過建立數(shù)形結(jié)合思想、等價轉(zhuǎn)換思想等，對題目進行簡化，抓住題目求解的關(guān)鍵，進而快速、準確地完成解題過程。近年來，圓錐曲線參數(shù)方程的相關(guān)問題一直在高考中占有較大比重，是學生必須掌握的知識內(nèi)容。有必要對其解題方法的具體應(yīng)用策略進行分析，幫助學生掌握正確的解題策略。

一、 圓錐曲線參數(shù)方程的應(yīng)用要點

在高中數(shù)學學習過程中，各知識點（如圖）之間有密切的聯(lián)系性，在學習圓錐曲線方程及其運用方法的過程中，也需要與之前學習的知識內(nèi)容聯(lián)系起來，從而做到對各種性質(zhì)定理和解題方法的靈活運用。

圓錐曲線參數(shù)方程知識點

圓錐曲線參數(shù)方程的知識內(nèi)容不是孤立存在的，具備扎實的數(shù)學基礎(chǔ)，有助于增進對圓錐曲線參數(shù)方程的理解?？傮w而言，圓錐曲線參數(shù)方程是利用函數(shù)方程表示曲線上的任意一點，在平面直角坐標系下，利用x，y構(gòu)成的方程組確定曲線上的點的二維坐標。在學習和運用這部分知識時，要求學生具備一定的數(shù)學思維能力，包括觀察能力、空間幾何能力、發(fā)散性思維能力等。在準確捕捉題目中所給條件和求解目的的同時，利用參考曲線圖形或自己畫出的草圖，建立曲線圖形與參數(shù)方程之間的直觀聯(lián)系，從而快速找出解題重點，求解出正確答案。通過圓錐曲線參數(shù)方程知識的學習和應(yīng)用，培養(yǎng)從圖形到方程、從方程到數(shù)字的轉(zhuǎn)化能力。

二、 圓錐曲線參數(shù)方程在求解高中數(shù)學題中的具體應(yīng)用

（一） 求解最值問題

求解最值問題屬于圓錐曲線參數(shù)方程的常見類型題，通過采用典型題聯(lián)系方法，可以達到舉一反三的效果，幫助學生快速提高此類問題的求解能力。

比如在例題1中：“橢圓 x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0），在橢圓內(nèi)接一個四邊形ABCD，各邊均與坐標軸平行，求解四邊形ABCD的最大面積和最大周長。”

首先根據(jù)題目進行分析推斷，打開思路，采用創(chuàng)新性思維，通過與其他知識內(nèi)容聯(lián)系在一起，尋找求解圓錐曲線參數(shù)方程問題的突破口。根據(jù)題目已知條件，首先假設(shè)A點坐標為（acosθ，bsinθ），由于題目中說四邊形ABCD的各邊均與坐標軸平行，可以推斷該四邊形為矩形，因此，四邊形ABCD的面積可以用S=4（acosθ×bsinθ）=2absin2θ進行表示，當sin2θ取最大值時，S取得最大值，由于sin2θ最大值為1，此時Smax=2ab。同理，四邊形ABCD周長可以用L=4（acosθ+bsinθ）=4（a2+b2） 1 2 sin（θ+β）表示，sinβ= a a2+b2 ，cosβ=

b a2+b2 ，當sin（θ+β）取最大值1時，Lmax=4 a2+b2 。

（二） 求解三角形問題

在高中數(shù)學圓錐曲線參數(shù)方程運用過程中，其本身具有一定的難度，對學生學習能力提出了較高要求。在具體解題過程中，應(yīng)具備探索性思維，通過主動思考，或采取小組合作學習等方式，提升解題能力。圓錐曲線參數(shù)方程涉及到許多復雜性較高的復合型題目求解，在解題時不能拘泥于方法或公式的應(yīng)用形式，而應(yīng)完成知識的內(nèi)化過程，把握好解題總體思路。

比如在例題2中：“已知雙曲線 x2 a2 - y2 b2 =1（a>0，b>0）上任意一點P，∠F1PF2=θ，求解△F1PF2的面積。 ”

在求解該題時，需要結(jié)合正余弦定理，并利用三角形面積公式進行求解。根據(jù)三角形面積公式，S= 1 2 |PF1|×

|PF2|sinθ，根據(jù)圓錐雙曲線定義有|PF1|-|PF2|=2a，|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|×|PF2|=4a2，進而可以推導出|PF1|×2|PF2|= 2b2 1-cosθ ，將其帶入三角形面積公式后，可以求解出S= b2sinθ 1-cosθ =b2cot θ 2 。

（三） 求解范圍問題

高中階段的數(shù)學學習強調(diào)發(fā)揮學生的自主學習能力，通過深入開展自主探究和合作探究，并對學習過程進行反思，及時發(fā)現(xiàn)學生在學習過程中存在的問題，同時積累經(jīng)驗和教學，促進解題能力的提高。在圓錐曲線參數(shù)方程的學習過程中，逐漸掌握靈活的解題方法和技巧，針對不同問題，采取不同的求解方法。

比如在例3中：“已知橢圓方程 x2 a2 + y2 b2 =1（a>b>0）與x軸正半軸的交點為M，如果存在一點N，有ON垂直于MN，求橢圓離心率。 ”

在求解此題的過程中，設(shè)M點坐標為（a，0），N點坐標為（acosθ，bsinθ），根據(jù)題目已知條件構(gòu)建圓錐曲線參數(shù)方程，結(jié)合ON⊥MN，有（bsinθ/acosθ）×（bsinθ/acosθ-a）=-1，簡化后可以得到b2/a2=1-1/（1+cosθ）。與方程b2=

c2-a2聯(lián)立，可以確定離心率e的范圍為 2 2

三、 結(jié)束語

綜上所述，通過對應(yīng)用圓錐曲線參數(shù)方程求解問題需要具備的基礎(chǔ)知識和數(shù)學思維能力進行分析，可以幫助學生有目的地提高相關(guān)知識技能水平，從而更好地學習和應(yīng)用圓錐曲線參數(shù)方程知識。在此基礎(chǔ)上，通過將新舊知識相結(jié)合，靈活運用圓錐曲線參數(shù)方程的相關(guān)性質(zhì)定理，可以求解多種數(shù)學問題，同時達到培養(yǎng)學生空間幾何能力和邏輯思維能力的效果。

參考文獻：

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[2]陶蘋麗，童嘉森.參數(shù)方程在圓錐曲線中的應(yīng)用[J].高中數(shù)理化，2015（1）：1-2.

作者簡介： 廖春龍，廣東省韶關(guān)市，始興縣始興中學。