一類新的非線性發(fā)展包含問題

劉小佑，代 帆

(南華大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，湖南 衡陽，421001)

最近，在文獻(xiàn)[1-3]中討論了幾類帶歷史依賴(history-dependent)項(xiàng)的變分-半變分不等式解的存在性及其在接觸力學(xué)中的應(yīng)用。在這些文獻(xiàn)中，由于多值項(xiàng)是由Clarke次微分[4]定義的，可知這些多值項(xiàng)是取凸值的。在文中，將把上述問題推廣到多值項(xiàng)允許取非凸值的非線性發(fā)展包含的情形。眾所周知，非線性發(fā)展包含[1-3,5-9]具有很廣泛的應(yīng)用。

記I=[0,T]，T>0為常數(shù)。設(shè)(V,H,V*)為一個(gè)三重發(fā)展包含(evolution triples of spaces)?？紤]如下一類抽象的非線性發(fā)展包含問題：

(1)

其中A：I×V→V*是一個(gè)非線性單調(diào)算子，δ為一個(gè)適當(dāng)定義的，用來模擬歷史依賴項(xiàng)的非線性算子(此處的δu(t)?(δu)(t))，F(xiàn)：I×H→2H{Φ}是一個(gè)可能取非凸值的集值函數(shù)，u0∈V為方程給定的初值，此處關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)是向量值分布(vectorial distributions)意義下的。在下文中將討論上述非線性發(fā)展包含問題(1)弱解的存在性。

1 預(yù)備知識

在此小節(jié)將介紹一些以后要用到的預(yù)備知識。

稱(V,H,V*)為一個(gè)三重發(fā)展包含，若V是一個(gè)可分自反的Banach空間，H是一個(gè)可分的Hilbert空間，嵌入V?H是連續(xù)和稠密的。V*表示V的對偶空間。

設(shè)2≤p<+。引入以下空間，其中1/p+1/q=1。記空間此處的時(shí)間導(dǎo)數(shù)同上也是向量值分布意義下的?？臻gW賦予范數(shù)后，它成為一個(gè)可分自反的Banach空間[6]。此時(shí)有以下連續(xù)嵌入W???和W?C(I,H)。另外若嵌入V?H還是緊的，則W緊嵌入到用w～V表示給空間V賦予的是弱拓?fù)?。如無特別說明，空間V都是指強(qiáng)拓?fù)?范數(shù)拓?fù)?。

設(shè)Y和H為兩個(gè)可分的Banach空間。集值函數(shù)F：I→2Y稱為是可測的(弱可測的)，若對任意閉集(開集)E?Y，集合{t∈I：F(t)∩E≠Φ}是可測的。相應(yīng)地，若集值函數(shù)為F：I×H→2Y，其可測性的定義是相對于I×H中的σ代數(shù)Σ×B，此B表示空間H中的Borel集σ代數(shù)[10]。設(shè)X和Z是兩個(gè)Hausdorff拓?fù)淇臻g。集值函數(shù)F：X→2Z{Φ}稱為在點(diǎn)x0∈X是下半連續(xù)的(簡記為l.s.c.)，若對任意開集O?Z，F(xiàn)(x0)∩O≠Φ，則存在點(diǎn)x0的鄰域U(x0)，使得對任意x∈U(x0)有F(x)∩O≠Φ。有關(guān)更多集值分析的內(nèi)容請參看文獻(xiàn)[11]。集值函數(shù)F：I→2Y所有屬于Lp(I,Y)(1≤p≤+)的可測選擇記為即有

下面給出考慮問題(1)所需要的假設(shè)條件。

H(A)算子A：I×V→V*滿足：

1)?v∈V，t→A(t,v)是可測的；

2)對a.e.t∈I，v→A(t,v)是單調(diào)的和半連續(xù)的(hemicontinuous)；

H(F)集值函數(shù)F：I×H→2H{Φ}是取閉值的，且滿足：

1)對a.e.t∈I，h→F(t,h)是下半連續(xù)的；

2)映射(t,h)→F(t,h)是弱可測的；

其中R：I×H→H滿足：

1)t→R(t,h)是可測的；

2)h→R(t,h)是連續(xù)的；

2 相關(guān)引理

首先給出問題(1)的解的一個(gè)先驗(yàn)估計(jì)。

引理1 若假設(shè)H(A)，H(δ)和H(F)滿足，則存在常數(shù)L>0，使得對問題(1)的任一可能解u都有

江西省的網(wǎng)絡(luò)教研平臺早已經(jīng)建立，它的目標(biāo)是在全國實(shí)現(xiàn)最優(yōu)的教研平臺。通過該平臺以及江西省網(wǎng)絡(luò)教育資源的多方扶持，從而將信息技術(shù)對教師開展教學(xué)活動(dòng)的優(yōu)勢得到最大限度發(fā)揮，為教師開展高效的網(wǎng)絡(luò)教研提供支持，使教師的教學(xué)能力不斷提升，從而實(shí)現(xiàn)教育的均衡發(fā)展。系統(tǒng)采用了成熟的平臺技術(shù)，系統(tǒng)設(shè)計(jì)采用了“平臺+應(yīng)用”的思想進(jìn)行建構(gòu)，從而使得系統(tǒng)具有高效性與靈活性。例如在教師的教研環(huán)節(jié)，可以設(shè)立評比板塊，展示教師的教研成果，從而激發(fā)教師對于網(wǎng)絡(luò)空間建設(shè)的積極性。

‖u‖W≤L，‖u‖C(I,H)≤L

(2)

引理1的證明過程是相對容易的，故在此略去。可以參看文獻(xiàn)[7-8]中類似估計(jì)的證明過程。記ψ(t)=d(t)+a1(t)+b1L2/q+e(TLp)2(p-1)，顯然ψ∈Lq(I,R+)。引入集合

(3)

為求解問題(1)，先考慮以下輔助算子方程：

(4)

上述輔助問題的解算子記為u=S(g)。

3 存在性證明

定理1 若假設(shè)H(A)，H(δ)和H(F)滿足，則問題(1)至少存在一個(gè)解。

下面將證明u→G(u)是下半連續(xù)的。設(shè)u*∈C(I,H)，g*∈G(u*)和在空間C(I,H)中，un→u*。由集值函數(shù)G的定義，不妨設(shè)g*=δu*+f*，其中f*(t)∈F(t,u*(t))。由文獻(xiàn)[13]中引理3.2，存在fn(t)∈F(t,un(t))使

‖g*(t)-gn(t)‖H≤

‖δu*(t)-δun(t)‖H+‖f*(t)-fn(t)‖H≤

‖δu*(t)-δun(t)‖H+dH(f*(t),F(t,un(t)))+1/n

(5)

對a.e.t∈I成立，其中g(shù)n=δun+fn。由于集值函數(shù)h→F(t,h)是下半連續(xù)的，由文獻(xiàn)[11]可知，函數(shù)u→dH(f*(t),F(t,u))是上半連續(xù)的。因此由式(5)和δ算子的連續(xù)性(注意到在空間C(I,H)中，un→u*)可知，必要時(shí)可取子列，對a.e.t∈I有，

m(u)∈G(u)，?u∈Δ。

4 結(jié)語

文中研究了一類具有歷史依賴項(xiàng)的非線性發(fā)展包含問題，它是最近一些文獻(xiàn)中相應(yīng)問題的推廣。在這里最主要的創(chuàng)新點(diǎn)是允許多值項(xiàng)取非凸值(而非已有文獻(xiàn)中的只取凸值)，并且非線性算子v→A(t,v)只要求單調(diào)就行，而非文獻(xiàn)中的嚴(yán)格單調(diào)。在適當(dāng)?shù)臈l件下，得到了發(fā)展包含問題解的存在性。