利用多元化手段優(yōu)化傅里葉變換教學(xué)

羅忠濤, 張 剛

(重慶郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院， 重慶 600065)

0 引言

傅里葉變換在數(shù)據(jù)分析與信息處理專業(yè)中有著重要地位和廣泛運(yùn)用，同時(shí)也是高等學(xué)校電子信息類專業(yè)基礎(chǔ)課程“信號(hào)與系統(tǒng)”的重點(diǎn)和難點(diǎn)[1]。由于傅里葉變換具有知識(shí)抽象度高、數(shù)學(xué)公式多且枯燥的特點(diǎn)，學(xué)生理解起來感到很困難。由于對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)、變換及頻譜等認(rèn)識(shí)不深，一部分學(xué)生采取死記硬背方式，其學(xué)習(xí)興趣和效果差。

鑒于上述情況，運(yùn)用多元化的教學(xué)手段來改革傅里葉變換授課方式顯得十分必要了。比如近年新興的微課和翻轉(zhuǎn)課堂形式就是較好的教學(xué)方式[2～3]。

微課具有主體明確突出、內(nèi)容短小精悍等特點(diǎn)，適合專門設(shè)計(jì)“傅里葉變換”主題課程。

翻轉(zhuǎn)課堂將學(xué)生的被動(dòng)學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化為主動(dòng)學(xué)習(xí)，使學(xué)生在主動(dòng)操作中形成形象感性的認(rèn)識(shí)。

此外，教學(xué)設(shè)計(jì)使用Matlab的GUI工具，制作實(shí)驗(yàn)軟件實(shí)現(xiàn)任意波形的傅里葉分析，整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)以方便友好的用戶界面環(huán)境，詳細(xì)完備的軟件使用說明和演示視頻，提升學(xué)生課程學(xué)習(xí)的興趣，引導(dǎo)學(xué)生輕松地學(xué)習(xí)和正確地理解傅里葉變換知識(shí)[4]。

1 傅里葉變換授課內(nèi)容

傅里葉變換實(shí)質(zhì)上是將連續(xù)信號(hào)分解為不同頻率余弦信號(hào)的加權(quán)和，該權(quán)值隨頻率的變化即為頻譜。傳統(tǒng)授課將本部分重點(diǎn)只放在傅里葉級(jí)數(shù)及變換的定義與性質(zhì)、頻譜和功率譜的特點(diǎn)上。教學(xué)實(shí)踐表明，若無傅里葉變換的必要引入環(huán)節(jié)，學(xué)生對(duì)于傅里葉變換及其性質(zhì)的理解也會(huì)變得困難且膚淺。缺少定性分析和感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)，對(duì)于傅里葉變換性質(zhì)的定量分析和理性認(rèn)識(shí)也難以持久。為建立對(duì)傅里葉變換完好的認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)，我們將授課內(nèi)容做了如下安排。

(1)從歷史發(fā)展的角度簡(jiǎn)要介紹一下傅里葉的工作意義，由信號(hào)擬合這一簡(jiǎn)明主題引出傅里葉變換。學(xué)生從比較容易理解的余弦信號(hào)、時(shí)域及誤差等概念起步，形成對(duì)傅里葉變換來源、用處和特點(diǎn)的形象認(rèn)識(shí)。

(2)對(duì)具體周期信號(hào)進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)分析，使學(xué)生建立起時(shí)域信號(hào)和頻域譜圖的關(guān)聯(lián)印象。以實(shí)偶信號(hào)為例，分析其虛指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)，觀察各諧波實(shí)部與信號(hào)波形的關(guān)系。

(3)增大周期信號(hào)的周期，讓學(xué)生觀察傅里葉系數(shù)的漸變趨勢(shì)，加深對(duì)傅里葉變換的認(rèn)識(shí)。注意引導(dǎo)學(xué)生由傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)概念轉(zhuǎn)變到傅里葉變換頻譜密度概念。

(4)對(duì)具體非周期信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換分析，認(rèn)識(shí)連續(xù)頻譜密度和頻域積分；傅里葉反變換實(shí)現(xiàn)了滿足狄利赫利條件的任意信號(hào)擬合，構(gòu)成傅里葉變換對(duì)的整體認(rèn)識(shí)。

(5)講授虛指數(shù)型與三角函數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)、傅里葉變換及其性質(zhì)、頻譜與功率譜等相關(guān)知識(shí)，使學(xué)生能將數(shù)學(xué)公式與物理意義相結(jié)合，真正理解有關(guān)推導(dǎo)和公式。

第(5)部分內(nèi)容理論性較強(qiáng)，適合采用傳統(tǒng)的講座式授課，一般采用文稿展示和板書推導(dǎo)。第(1)-(4)部分內(nèi)容則是必要的鋪墊，適合運(yùn)用多媒體影像和互動(dòng)實(shí)驗(yàn)等多元手段，吸引學(xué)生注意，切入教學(xué)主題，進(jìn)入教學(xué)情境。

2 傅里葉分析實(shí)驗(yàn)與教學(xué)設(shè)計(jì)

傅里葉變換及其諧波與頻譜概念的講解，適合采用交互性強(qiáng)的軟件仿真的實(shí)驗(yàn)方式。Matlab軟件是國內(nèi)外高校常見的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證和仿真工具，能夠方便地使用和提高課程教學(xué)效率?；贛atlab GUI設(shè)計(jì)的傅里葉變換實(shí)驗(yàn)軟件，源程序文件小，GUI界面友好，方便學(xué)生共享，且可采用deploytool打包為可執(zhí)行文件。該軟件具有三大功能：基本波形的載入、波形參數(shù)的設(shè)置以及信號(hào)的傅里葉變換分析。

軟件界面簡(jiǎn)潔明了，如圖1所示。

圖1 傅里葉分析軟件界面

軟件實(shí)驗(yàn)功能與相應(yīng)教學(xué)設(shè)計(jì)介紹如下。

2.1 傅里葉分析的功能

實(shí)驗(yàn)軟件允許操作者可以選擇想要載入的信號(hào)波形，這給予學(xué)生很大的操作空間。考慮到學(xué)生本身好奇心重，允許學(xué)生選擇任意感興趣的信號(hào)，通過軟件來讀取波形信號(hào)。其中一種方法是：將感興趣波形繪制為一個(gè)像素圖片；使用者在軟件界面中，選擇該圖片文件并打開；編寫的Matlab程序自動(dòng)讀取波形。

基礎(chǔ)波形需要設(shè)置的參數(shù)有兩個(gè)，即波形時(shí)長和波形點(diǎn)數(shù)，由此可確定采樣頻率。待分析信號(hào)由基礎(chǔ)波形構(gòu)成，主要設(shè)置三個(gè)參數(shù)：基礎(chǔ)信號(hào)周期T、待分析信號(hào)參數(shù)P(信號(hào)時(shí)長TP=P×T)以及是否為周期信號(hào)。待分析信號(hào)時(shí)長TP越大，采樣點(diǎn)數(shù)和運(yùn)算時(shí)間增加，帶來的好處是進(jìn)行傅里葉分析的分辨率越高。

傅里葉分析輸出的結(jié)果為多種信號(hào)時(shí)域和頻譜圖，不僅有常規(guī)的待分析信號(hào)與擬合信號(hào)對(duì)比圖和頻譜幅度圖，還能特意地調(diào)整擬合精度和諧波次數(shù)來展示各次諧波的頻率-時(shí)間-幅度的二維和三維圖，如圖2所示。這兩種圖可以很形象地表現(xiàn)出原信號(hào)、諧波信號(hào)、諧波信號(hào)頻率及幅度(即頻譜)之間的關(guān)系。

基于軟件程序進(jìn)行傅里葉分析和結(jié)果展示，教師和學(xué)生可以利用該程序，分析具體信號(hào)的傅里葉變換和頻譜。結(jié)合軟件功能元素，設(shè)計(jì)傅里葉變換的教學(xué)和實(shí)驗(yàn)內(nèi)容。

2.2 傅里葉分析的功能

傅里葉變換的一個(gè)重要性體現(xiàn)在：基于虛指數(shù)

(a) 諧波二維圖 (b) 諧波三維圖圖2 矩形波的傅里葉分析

函數(shù)的傅里葉變換，能夠擬合滿足狄利赫利條件的任意連續(xù)信號(hào)，從而給LTI系統(tǒng)中信號(hào)的表達(dá)、分析和處理提供了很大的便利。在確定x(t)之后，對(duì)其進(jìn)行傅里葉分析。引入指數(shù)型正交函數(shù)集exp(jnw0t)，其中w0為基波角頻率。傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)系數(shù)為

(1)

信號(hào)擬合由傅里葉復(fù)系數(shù)與正交函數(shù)集來實(shí)現(xiàn)。假設(shè)除直流分量之外，正負(fù)頻率一側(cè)各有K個(gè)諧波分量，此時(shí)擬合信號(hào)為

(2)

擬合信號(hào)與原信號(hào)的偏差，可采用偏差量的功率與原信號(hào)功率之比作為衡量的指標(biāo)。

(3)

信號(hào)擬合過程可由原信號(hào)圖與諧波分析的比較圖動(dòng)態(tài)展示。隨著諧波個(gè)數(shù)K的增加，信號(hào)功率偏差減小，形象生動(dòng)地說明了傅里葉當(dāng)初提出的論斷。由于二維圖片的行與列幅度和個(gè)數(shù)均為有限，待分析信號(hào)必然滿足狄利赫里條件，因此信號(hào)一定可以由傅里葉變換來擬合。

2.3 傅里葉級(jí)數(shù)漸變?yōu)楦道锶~變換

傅里葉級(jí)數(shù)到傅里葉變換的轉(zhuǎn)換，采用了極限的思想，是學(xué)生理解上的一個(gè)難點(diǎn)[5]。理論上，當(dāng)信號(hào)周期趨近于無窮大而基波角頻率趨近于零時(shí)，傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)概念變成了傅里葉變換譜密度的概念，即為傅里葉反變換。

(4)

實(shí)驗(yàn)軟件可改變信號(hào)周期參數(shù)，動(dòng)態(tài)觀察傅里葉級(jí)數(shù)的漸變，使學(xué)生更容易接受傅里葉變換的由來，并理解其中蘊(yùn)含的極限思想。實(shí)驗(yàn)設(shè)置信號(hào)周期呈指數(shù)增大，觀察傅里葉頻譜圖和諧波譜圖的變化。角頻率間隔在等比例減小，頻譜本身輪廓保持不變，傅里葉級(jí)數(shù)有效值頻點(diǎn)變密，最終接近于面狀。由此學(xué)生容易想象到，周期無限大的信號(hào)具有的傅里葉級(jí)數(shù)頻點(diǎn)不再是離散值，而是連續(xù)值；傅里葉級(jí)數(shù)關(guān)于頻點(diǎn)的函數(shù)是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，故而傅里葉級(jí)數(shù)變成了傅里葉變換。

2.4 傅里葉級(jí)數(shù)與變換的頻譜特點(diǎn)

傅里葉頻譜特點(diǎn)可以結(jié)合軟件實(shí)驗(yàn)來幫助學(xué)生理解。觀察信號(hào)傅里葉分析的諧波圖或譜圖，可以歸納出周期信號(hào)和非周期信號(hào)的頻譜規(guī)律。周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)頻譜有離散性和諧波性，非周期信號(hào)的頻譜則是連續(xù)性和諧波性，共同點(diǎn)是基本要素為黑白條紋相間的余弦函數(shù)，不同點(diǎn)是頻譜是否連續(xù)。該現(xiàn)象在諧波的頻率-時(shí)間-幅度二維圖上可以看得非常明顯。信號(hào)參數(shù)P越大，待分析信號(hào)的時(shí)域TP越長，對(duì)其傅里葉分析的頻率分辨率越高，頻譜圖細(xì)節(jié)也就越清楚。

二維圖中灰度表示幅度大小。諧波的表現(xiàn)是對(duì)準(zhǔn)角頻率的各次諧波頻率處、沿著時(shí)間維的余弦函數(shù)條紋。條紋黑白相間漸進(jìn)變化，表示了余弦函數(shù)由負(fù)到正循環(huán)過程。條紋黑白變換頻率表現(xiàn)了諧波頻率絕對(duì)值；周期信號(hào)諧波離散性體現(xiàn)在其諧波幅度較大值有效值出現(xiàn)于基波頻率整數(shù)倍的位置；非周期信號(hào)頻譜連續(xù)性體現(xiàn)在其諧波幅度幅度變?yōu)闈u進(jìn)連續(xù)。換句話說，周期信號(hào)在特定的頻率上才有橫條，非周期信號(hào)的橫條幅度則是延續(xù)的。

3 傅里葉變換微課設(shè)計(jì)

微課以視頻為主要呈現(xiàn)方法，反映教師針對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)或教學(xué)環(huán)節(jié)而開展教與學(xué)活動(dòng)的教學(xué)資源的有機(jī)結(jié)合體，具有主體突出、情景真實(shí)、交互性強(qiáng)等優(yōu)勢(shì)[6]。傅里葉變換作為教學(xué)內(nèi)容，符合微課教學(xué)主題突出、重點(diǎn)明確的要求，微課設(shè)計(jì)的思路有三點(diǎn)考慮。

(1)知識(shí)點(diǎn)選取。傅里葉變換公式和性質(zhì)繁復(fù)，不適合采用微課方式講授。信號(hào)擬合與傅里葉變換頻譜的意義，則適合采用軟件設(shè)計(jì)和視頻講解，且符合微課短小精悍、主題性強(qiáng)的特點(diǎn)。因此微課設(shè)計(jì)內(nèi)容在于傅里葉變換的引入鋪墊部分。

(2)資源準(zhǔn)備與設(shè)計(jì)。首先收集教學(xué)背景，突出傅里葉變換的發(fā)展背景和原理描述；其次明確教學(xué)目的，以建立學(xué)生對(duì)諧波和頻譜的認(rèn)識(shí)為主要目標(biāo)；改進(jìn)教學(xué)手段，采用Matlab實(shí)驗(yàn)仿真，進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示和學(xué)生實(shí)驗(yàn)操作；注重教學(xué)過程，啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)；最后教學(xué)總結(jié)，將授課主題凝聚到教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容上。

(3)錄制視頻與發(fā)布微課。錄制視頻采用錄屏型，需要捕捉鼠標(biāo)狀態(tài)。錄屏內(nèi)容包括微課目標(biāo)、軟件介紹和演示。編輯和完善視頻使學(xué)生領(lǐng)會(huì)微課思路，清楚明白傅里葉變換微課的學(xué)習(xí)要求和任務(wù)。微課發(fā)布手段很多，學(xué)生普遍使用的QQ群即可完成微課發(fā)布與共享。

總之，微課設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)充分調(diào)動(dòng)必要的教學(xué)手段和策略，形成清晰明了的教學(xué)思路，使學(xué)生可利用碎片化時(shí)間，進(jìn)行個(gè)性化自主學(xué)習(xí)。

4 翻轉(zhuǎn)課堂優(yōu)化實(shí)驗(yàn)和教學(xué)

翻轉(zhuǎn)課堂將傳統(tǒng)的課上傳授與課下消化的學(xué)習(xí)過程翻轉(zhuǎn)過來，通過教學(xué)視頻在課下先進(jìn)行知識(shí)傳授而上課時(shí)教師幫助學(xué)生消化、理解和運(yùn)用知識(shí)。傅里葉變換教學(xué)中，實(shí)驗(yàn)是提高學(xué)生學(xué)習(xí)主動(dòng)性、激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造性的有效工具，翻轉(zhuǎn)課堂將學(xué)生變成實(shí)驗(yàn)課主角，可以提高傅里葉變換的授課效果和教學(xué)效率。

翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)過程主要分為課前、課中、課后三個(gè)階段。

(1)課前階段精心準(zhǔn)備教學(xué)資源，主要是傅里葉變換軟件和配套使用說明，通過網(wǎng)絡(luò)化教學(xué)平臺(tái)發(fā)布至共享；學(xué)生預(yù)習(xí)實(shí)驗(yàn)軟件，對(duì)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行自主操作和分析。

(2)課中階段分為問題交流討論和典型實(shí)驗(yàn)演示兩部分，教師解答學(xué)生在課前階段的問題，并對(duì)典型情形(如方波和周期方波)進(jìn)行示范講解。

(3)課后階段，學(xué)生對(duì)任意感興趣信號(hào)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析，分析討論實(shí)驗(yàn)結(jié)果，歸納理解信號(hào)時(shí)域與頻譜概念，為后期傅里葉變換對(duì)及其性質(zhì)的學(xué)習(xí)與運(yùn)用奠定基礎(chǔ)。

“信號(hào)與系統(tǒng)”課程教學(xué)過程，主要以理論講授形式為主，學(xué)生容易產(chǎn)生枯燥和厭學(xué)情緒。在傅里葉變換這樣的教學(xué)難點(diǎn)攻堅(jiān)戰(zhàn)前，適當(dāng)?shù)丶尤?課時(shí)左右的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容，改為微課或翻轉(zhuǎn)課堂的授課模式，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和熱情。

5 結(jié)語

本文探索了采用多元化教學(xué)手段來優(yōu)化傅里葉變換的教學(xué)。運(yùn)用Matlab GUI工具設(shè)計(jì)任意信號(hào)的傅里葉分析軟件，制作微課視頻演示實(shí)驗(yàn)和引導(dǎo)學(xué)生實(shí)驗(yàn)操作，采取翻轉(zhuǎn)課堂形式使學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主角。采用多元教學(xué)手段優(yōu)化的傅里葉變換教學(xué)設(shè)計(jì)，激發(fā)學(xué)生對(duì)于信號(hào)擬合和傅里葉分析的興趣，開展傅里葉分析實(shí)驗(yàn)加強(qiáng)了學(xué)生對(duì)于傅里葉變換知識(shí)和概念的理解，有利于學(xué)生在電子信息類專業(yè)課程學(xué)習(xí)和工程師能力的培養(yǎng)。